НОУ «Волгоградського ІНСТИТУТ БІЗНЕСУ»
кафедра математики і природничих наук
КОНТРОЛЬНА РОБОТА ПО ІНФОРМАТИЦІ
ТЕМА:
Арифметичні ОСНОВИ РОБОТИ ЕОМ
Виконав: студент групи 1 - МТ71з
ШАЛІМОВ ОЛЕКСІЙ ЕДУАРДОВИЧ
«10» травня 2008 року.
Перевірив:
МАКАРОВА МАРІЯ ОЛЕКСАНДРІВНА
ВОЛГОГРАД 2008
ЗМІСТ
Введення
Представлення інформації у комп'ютері
Системи числення
Переклад числа з однієї системи числення в іншу
Арифметичні операції в позиційних системах числення
Висновок
Список літератури
Введення
Якісно нове обслуговування інформаційних процесів, які пронизують різні сфери людської діяльності тісно пов'язане з використанням сучасної електронно-обчислювальної техніки.
Термін комп'ютер, так міцно ввійшов у російську мову, в перекладі означає «обчислювач», тобто пристрій для здійснення обчислень.
Потреба в автоматизації обчислень або, як зараз кажуть - обробки даних, виникла давно. Вже більше півтора тисяч років тому для полегшення обчислень стали використовувати рахунки.
Але тільки в 1642 році Блез Паскаль винайшов пристрій для механічного складання чисел, а в 1673 році Г. В. Лейбніц сконструював арифмометр, що дозволяв механічним способом виконувати чотири арифметичних дії, І хоча, починаючи з XIX століття, арифмометри набули широкого поширення, у них був один істотний недолік: розрахунки проводилися дуже повільно. Причина проста - вибір виконуваних дій і запис результатів при здійсненні розрахунків проводилася людиною, швидкість роботи якого досить обмежена.
Для усунення цього недоліку англійський математик Ч. Беббідж спробував побудувати універсальний обчислювальний пристрій, що виконує обчислення без участі людини. Для цього воно повинно було вміти виконувати програми, що вводяться з допомогою перфокарт (прямокутних пластин з щільного паперу з інформацією, що наноситься за допомогою отворів). Беббідж не зміг довести до кінця роботу по створенню своєї Аналітичної машини: її пристрій виявився занадто складним для технічного оснащення промисловості першої половини XIX століття. Проте ідеї, закладені в основу цього пристрою, дозволили американцеві Г. Ейкен в 1943 році побудувати на одному з підприємств фірми IBM машину, що функціонує на електромеханічних ролі і отримала назву «Марк-1».
До цього часу потреба в автоматизації обробки даних (в першу чергу, для військових потреб - балістики, криптографії і т.д.) стала настільки відчутною, що над створенням подібних машин одночасно працювало кілька груп дослідників у різних країнах світу. Починаючи з 1943 року, група фахівців під керівництвом Д. Мочлі і П. Екерта в США займалася конструюванням більш сучасної обчислювальної машини на основі електронних ламп, яка могла б зберігати виконувану програму у своїй пам'яті. Для прискорення роботи в 1945 році до цього проекту був залучений знаменитий математик Джон фон Нейман. У результаті його участі було підготовлено доповідь, що містив цілий ряд принципів, на основі яких і повинна була функціонувати розробляється машина.
Перший комп'ютер, в якому в повній мірі реалізувалися принципи фон Неймана був побудований в 1949 році англійським дослідником М. Уїлксом. З тієї пори пройшло більше 50 років, і тим не менше, більшість сучасних комп'ютерів в тій чи іншому ступені відповідають принципам, викладеним фон Нейманом.
У своїй роботі Д. Фон Нейман описав, як має бути влаштований комп'ютер для того, щоб він був універсальним і ефективним пристроєм обробки інформації (рис.1). До складу такого комп'ютера повинні входити:
♦ арифметико-логічне пристрій, що виконує арифметичні і логічні операції;
пристрій управління, що організує процес виконання програм і синхронізуючий роботу інших пристроїв комп'ютера;
запам'ятовуючий пристрій (пам'ять), призначене для зберігання виконуваних програм і оброблюваних даних;
зовнішні пристрої, призначені для введення і виведення інформації.
1 Представлення інформації у комп'ютері
Комп'ютер може обробляти тільки інформацію, представлену в числовій формі. Вся інша інформація (наприклад, звук, відео, графічні зображення і т.д.) перед обробкою на комп'ютері повинна бути перетворена в числову форму. Так, щоб привести до цифрового вигляду (оцифрувати) музичний звук, можна через невеликі проміжки часу вимірювати інтенсивність звуку на певних частотах, представляючи результати кожного вимірювання в числовій формі. Потім, за допомогою спеціальної комп'ютерної програми здійснюються необхідні перетворення отриманих даних: накладення звуків від різних джерел один на одного (ефект оркестру), зміна тональності окремих звуків і т.п. Після чого, остаточний результат перетвориться назад у звукову форму.
2. Системи числення
Система числення - це спосіб запису чисел за допомогою заданого набору спеціальних знаків (цифр).
Двійкова система числення. У цій системі всього дві цифри - 0 і 1. Особливу роль тут відіграє число 2 і його ступеня: 2, 4, 8 і т.д. Сама права цифра числа показує число одиниць, наступна цифра - число двійок, наступна - число четвірок і т.д. Двійкова система числення дозволяє закодувати будь-яке натуральне число - представити його у вигляді послідовності нулів та одиниць. У двійковому вигляді можна представляти не лише числа, але і будь-яку іншу інформацію: тексти, картинки, фільми та аудіозаписи. Інженерів двійкове кодування приваблює тим, що легко реалізується технічно.
Десяткова система числення. Прийшла в Європу з Індії, де вона з'явилася не пізніше VI століття н.е. У цій системі 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, але інформацію несе не тільки цифра, але й місце, на якому цифра стоїть (тобто її позиція). У десятковій системі числення особливу роль грають число 10 і його ступеня: 10, 100, 1000 і т.д. Сама права цифра числа показує число одиниць, друга праворуч - число десятків, наступна - число сотень і т.д.
Вісімкова система числення. У цій системі числення 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Цифра 1, зазначена в самому молодшому розряді, означає - як і в десятковому числі - просто одиницю. Та ж цифра 1 в наступному розряді означає 8, в наступному 64 і т.д. Число 100 (вісімкове) є не що інше, як 64 (десяткове). Щоб перевести в двійкову систему, наприклад, число 611 (вісімкове), треба замінити кожну цифру еквівалентної їй двійковій тріадою (трійкою цифр). Легко здогадатися, що для перекладу багатозначного двійкового числа у вісімкову систему потрібно розбити його на тріади справа наліво і замінити кожну тріаду відповідної вісімковій цифрою.
Шістнадцяткова система числення. Запис числа в вісімковій системі числення достатньо компактна, але ще компактніше вона виходить у шістнадцятковій системі. Як перші 10 з 16 шістнадцяткових цифр взяті звичні цифри 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а от в якості інших 6 цифр використовують перші букви латинського алфавіту: A, B, C, D, E, F. Цифра 1, записана в самому молодшому розряді, означать просто одиницю. Та ж цифра 1 у наступному - 16 (десяткове), в наступному - 256 (десяткове) і т.д. Цифра F, зазначена в самому молодшому розряді, означає 15 (десяткове). Переклад з шістнадцятковій системи в двійкову і назад здійснюється аналогочно того, як це робиться для вісімковій системи.
Існують позиційні і непозиційної системи числення. У непозиційних системах вага цифри (тобто той внесок, який вона вносить у значення числа) не залежить від її позиції у запису числа. Так, в римській системі числення в числі ХХХII (тридцять два) вага цифри Х в будь-якій позиції дорівнює просто десяти.
У позиційних системах числення вага кожної цифри змінюється в залежності від її положення (позиції) в послідовності цифр, що зображують число. Наприклад, в числі 757,7 перша сімка означає 7 сотень, друга - 7 одиниць, а третя - 7 десятих часток одиниці.
Сама ж запис числа 757,7 означає скорочений запис вираження
700 + 50 + 7 + 0,7 = 7 * 10 2 + 5 * 10 1 + 7 * 10 0 + 7 * 10 -1 = 757,7.
Будь-яка позиційна система числення характеризується своєю основою.
Підстава позиційної системи числення - це кількість різних знаків або символів, що використовуються для зображення цифр в даній системі. За заснування системи можна прийняти будь-яке натуральне число - два, три, чотири і т.д. Отже, можливо незліченна безліч позиційних систем: двійкова, трійкова, четверичная і т.д. Запис чисел у кожній з систем числення з основою q означає скорочений запис вираження
a n-1 q n-1 + a n-2 q n-2 + ... + A 1 q 1 + a 0 q 0 + a -1 q -1 + ... + a-m q-m,
де a i - цифри системи числення; n і m - число цілих і дробових розрядів, відповідно.
У кожній системі числення цифри упорядковані у відповідності з їх значеннями: 1 більше 0, 2 більше 1 і т.д.
У будь-якій системі числення для подання чисел вибираються деякі символи (слова або знаки), звані базисними числами, а всі інші числа виходять в результаті будь-яких операцій з базисних чисел даної системи числення.
Системи числення розрізняються вибором базисних чисел і правилами освіти з них інших чисел.
Одиницею інформації в комп'ютері є один біт (bit), тобто двійковий розряд, який може приймати значення 0 або 1. Біт - це фундаментальна одиниця, яка визначає кількість інформації, подвергаемое обробці або переносний з одного місця в інше. Оскільки біти записуються нулями та одиницями, їх послідовні сукупності дозволяють кодувати двійкові числа (binary numbers) - значення в двійковій системі числення.
У більш звичної для людини десятковій системі числення (по підставі 10) для подання чисел використовується десять символів: 0, 1, 2, 3, 4,5,6,7,8 і 9. Щоб скласти число, значення якого в десятковій системі числення більше 9 (наприклад, 27), комбінують дві цифри: при цьому позиції символів мають певний сенс. Прогресія значень, пов'язана з позицією цифри, зростає, як показано на рис. 2., Пропорційно ступеню підстави.
Рис. 2. Приклад подання числа в десятковій системі числення
Десяткове число, що складається хоча б з двох цифр, є сумою різних ступенів підстави, помножених на відповідну цифру. Так, число 10 є сумою з одного десятка (10 1) і нуля одиниць (10 0), а число 423 - суму з чотирьох сотень (10 2), двох десятків (10 1) і трьох одиниць (10 0).
Розглянутий метод представлення чисел досить універсальний і використовується в інших системах числення, в яких підставу відмінно від десяти. Наприклад, у системі з основою 8 задіяно вісім символів: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 і 7, а значимість кожної позиції зростає пропорційно ступеню числа 8, як показано на рис.3.
Рис. 3. Приклад надання числа в вісімковій системі числення.
Як вже зазначалося, комп'ютер здатний обробляти інформацію у двійковій системі числення. У ній використовуються тільки два символи 0 і 1, а зсув символу на одну позицію вліво збільшує значення числа пропорційно ступеню підстави 2. На рис. 4 показано восьмибітових (1 байт) представлення числа 58 у двійковій системі числення.
Рис. 4. Приклад подання числа в двійковій системі числення.
3. Переклад числа з однієї системи числення в іншу
З усіх систем числення особливо проста і тому цікава для технічної реалізації в комп'ютерах двійкова система числення. Ця система має ряд переваг перед іншими системами:
для її реалізації потрібні технічні пристрої з двома стійкими станами (є струм - немає струму, намагнічений - не намагнічений і т.п.), а не, наприклад, з десятьма, - як у десятковій;
подання інформації за допомогою лише двох станів надійності та завадостійкості;
можливе застосування апарату булевої алгебри для виконання логічних перетворень інформації;
двійкова арифметика набагато простіше десяткової.
Недолік двійкової системи - швидке зростання числа розрядів, необхідних для запису чисел. Будучи зручною для комп'ютерів, для людини двійкова система незручна через її громіздкість і незвичною запису.
Переклад чисел з десяткової системи в двійкову і навпаки виконує машина. Однак, щоб професійно використовувати комп'ютер, слід навчитися розуміти слово машини. Для цього і розроблені вісімкова і шістнадцяткова системи.
Числа в цих системах читаються майже так само легко, як десяткові, вимагають відповідно в три (вісімкова) і в чотири (шістнадцяткова) рази менше розрядів, ніж у двійковій системі (адже числа 8 і 16 - відповідно, третій і четвертий ступені числа 2) .
Переклад вісімкових і шістнадцяткових чисел в двійкову систему дуже простий: досить кожну цифру замінити еквівалентною їй двійковій тріадою (трійкою цифр) або тетрадою (четвіркою цифр).
Тобто, щоб перевести число з двійкової системи в вісімкову або шістнадцяткову, його потрібно розбити вліво і вправо від коми на тріади (для вісімковій) або тетради (для шістнадцятковій) і кожну таку групу замінити відповідною вісімковій (шістнадцятковій) цифрою.
Як перевести ціле число з десяткової системи в будь-яку іншу позиційну систему числення?
При перекладі цілого десяткового числа в систему з основою q його необхідно послідовно ділити на q до тих пір, поки не залишиться залишок, менший або рівний q-1. Число в системі з основою q записується як послідовність залишків від ділення, записаних у зворотному порядку, починаючи з останнього.
Приклад: Перевести число 75 з десяткової системи в двійкову, вісімкову і шістнадцяткову:
Відповідь: 75 10 = 1 001 011 2 = 113 8 = 4B 16.
Як перевести пpавильно десяткову дpобь в будь-яку іншу позиційну систему числення?
Пpи перекладі правильної десяткової дpобі в систему числення з основою q необхідно спочатку саму дріб, а потім дробові частини всіх наступних творів послідовно множити на q, відокремлюючи після кожного множення цілу частину твору. Число в новій системі числення записується як послідовність отриманих цілих частин твору. Множення проводиться до тих пір, поки дробова частина твору не стане рівною нулю. Це означає, що зроблено точний пеpевод. В іншому випадку переклад здійснюється до заданої точності. Досить тієї кількості Цифри в результату, якому поміститься в клітинку.
Приклад: Перевести число 0,35 з десяткової системи в двійкову, вісімкову і шістнадцяткову:
Відповідь: 0,35 10 = 0,01011 2 = 0,263 8 = 0,59 16.
Як перевести число з двійкової (вісімковій, шістнадцятковій) системи в десяткову?
При перекладі числа з двійкової (вісімковій, шістнадцятковій) системи в десяткову треба це число представити у вигляді суми ступенів підстави його системи числення.
4. Арифметичні операції в позиційних системах числення
Розглянемо основні арифметичні операції: додавання, віднімання, множення і ділення. Правила виконання цих операцій у десятковій системі добре відомі - це складання, віднімання, множення стовпчиком і поділ кутом. Ці правила застосовні і до всіх інших позиційним систем числення.
При складанні цифри сумуються по розрядах, і якщо при цьому виникає надлишок, то він переноситься вліво.
Приклад: Складемо числа 15 і 6 в шістнадцятковій системі числення: F 16 + 6 16 15 + 6 = 21 10 = 10101 2 = 25 8;
Відповідь: = 15 16.
Перевірка. Перетворимо отримані суми до десяткового вигляду:
10101 2 = 2 4 + 2 2 + 2 0 = 16 +4 +1 = 21,
25 серпня = 2 * 8 1 + 5 * 8 0 = 16 + 5 = 21,
15 16 = 1 * 16 1 + 5 * 16 0 = 16 +5 = 21.
Віднімання
Приклад: Віднімемо одиницю з чисел 10 лютого 1910 8 і 16 жовтень
Віднімемо одиницю з чисел 100 2, 100 8 і 100 16.
Віднімемо число 59,75 з числа 201,25.
Відповідь: 201,25 10 - 59,75 10 = 141,5 10 = 10001101,1 2 = 215,4 8 = 8D, 8 16.
Перевірка: Перетворимо отримані різниці до десяткового вигляду:
10001101,1 2 = 2 7 + 2 3 + 2 2 + 2 0 + 2 -1 = 141,5;
215,4 8 = 2 * 8 2 + 1 * 8 1 + 5 * 8 0 + 4 * 8 -1 = 141,5;
8D, 8 16 = 8 * 16 1 + D * 16 0 + 8 * 16 -1 = 141,5.
Множення
Виконуючи множення багатозначних чисел у різних позиційних системах числення, можна використовувати звичайний алгоритм множення чисел у стовпчик, але при цьому результати перемноження і складання однозначних чисел необхідно запозичувати з відповідних розглянутій системі таблиць множення і додавання.
Зважаючи на надзвичайну простоти таблиці множення в двійковій системі, множення зводиться лише до зрушень множимо і складення.
Приклад: Перемножимо числа 5 і 6.
Відповідь: 5 * 6 = 30 10 = 11 110 2 = 36 8.
Перевірка: Перетворимо отримані твору до десяткового вигляду:
11110 2 = 2 4 + 2 3 + 2 2 + 2 1 = 30; 36 8 = 3 • 8 1 + 6 • 8 0 = 30.
Приклад: Перемножимо числа 115 і 51.
Відповідь: 115 * 51 = 5865 10 = 1011011101001 2 = 13351 8.
Перевірка: Перетворимо отримані твору до десяткового вигляду:
1011011101001 2 = 2 12 + 2 10 + 2 9 + 2 7 + 2 6 + 2 5 + 2 3 + 2 0 = 5865;
13351 8 = 1 * 8 4 + 3 * 8 3 + 3 * 8 2 + 5 * 8 1 + 1 * 8 0 = 5865.
Розподіл
Розподіл в будь-якій позиційній системі числення проводиться за тими ж правилами, як і поділ кутом в десятковій системі. У двійковій системі поділ виконується особливо просто, адже чергова цифра приватного може бути тільки нулем або одиницею.
Приклад: Розділимо числа 30 на число 6.
Відповідь: 30: 6 = 5 10 = 101 2 = 5 8.
Приклад: Розділимо число 5865 на число 115.
Вісімкова: 13351 8: 163 8
Відповідь: 5865: 115 = 51 10 = 110011 2 = 63 8.
Перевірка: Перетворимо отримані приватні до десяткового увазі:
110011 2 = 2 5 + 2 4 + 2 1 + 2 0 = 51; 63 8 = 6 * 8 1 + 3 * 8 0 = 51.
Висновок
У структуру автоматизованої інформаційної системи входять декілька підсистем. Однією з таких підсистем є математичне та програмне забезпечення, тобто сукупність математичних методів, моделей, алгоритмів і програм для реалізації цілей і завдань інформаційної системи, а також нормального функціонування комплексу технічних засобів.
Фундаментом науки про обчислювальних машинах є конструктивна математика, в основі якої лежить математична логіка і теорія алгоритмів з їх однозначністю в оцінці суджень і процедур виведення. Для опису елементів і вузлів ЕОМ з самого початку використовувалася математична логіка, а для опису комп'ютерних програм - теорія алгоритмів.
Математична логіка - це дисципліна, що вивчає техніку математичних доказів. Відмінність математичних суджень від звичайних розмовних висловів полягає в тому, що математичні судження завжди припускають однозначну інтерпретацію, в той час як наші звичайні висловлення найчастіше допускають багатозначну трактування.
Робота ЕОМ як автоматичних пристроїв заснована виключно на математично строгих правилах виконання команд, програм та інтерпретації даних. Тим самим робота комп'ютерів допускає сувору однозначну перевірку правильності своєї роботи в плані закладених в них процедур і алгоритмів обробки інформації.
З появою найперших комп'ютерних програм, що імітують інтелектуальну діяльність людей, виникло поняття «Штучний інтелект» і всі комп'ютерні програми, що демонструють інтелектуальну поведінку, засновані на використанні певного математичного апарату, що спирається на закони математичної логіки і відповідно, має арифметичні основи. Без розуміння цих законів і основ неможливе розуміння принципів роботи обчислювальних машин взагалі і систем штучного інтелекту зокрема.
Список літератури
Громов Ю. Ю., О. Г. Іванова, А. В. Лагутін. Інформатика: Навчальний посібник. Тамбов: Вид-во Тамбо. держ. техн. ун-ту, 2002.
Каймін В.А. Інформатика: Підручник. - М.: ИНФРА-М, 2000.
Сергєєва І.І., Мазулевская А.А., Тарасова Н.В. Інформатика: підручник. - М.: ВД «Форум»: ИНФРА - М, 2007.