1   2   3   4
Ім'я файлу: № 4919.docx
Розширення: docx
Розмір: 621кб.
Дата: 17.05.2021
скачати
Пов'язані файли:
Аналіз підприємства.docx
ТЗН.docx
Order-full-id-7955-138.docx
Левчук Софія .docx

Приклад. 200 однотипних деталей були піддані шліфуванню. Результати вимірювання наведені як дискретний статистичний розподіл, поданий у табличній формі:

, мм
3,7
3,8
3,9
4,0
4,1
4,2
4,3
4,4



1
22
40
79
27
26
4
1

Знайти точкові незміщені статистичні оцінки для .

Розв’язання. Оскільки точковою незміщеною оцінкою для є то обчислимо







Для визначення точкової незміщеної статистичної оцінки для обчислимо :











Тоді точкова незміщена статистична оцінка для дорівнюватиме:



Приклад. Граничне навантаження на сталевий болт хі, що вимірювалось в лабораторних умовах, задано як інтервальний статистичний розподіл:

хі, км/мм2
4,5—5,5
5,5—6,5
6,5—7,5
7,5—8,5
8,5—9,5
9,5—10,5
10,5—11,5
11,5—12,5
12,5—13,5
13,5—14,5

ni
40
32
28
24
20
18
16
12
8
4

Визначити точкові незміщені статистичні оцінки для .

Розв’язання. Для визначення точкових незміщених статистичних оцінок перейдемо від інтервального статистичного розподілу до дискретного, який набирає такого вигляду:
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14

ni
40
32
28
24
20
18
16
12
8
4

Обчислимо





Отже, точкова незміщена статистична оцінка для

Для визначення S2 обчислимо DB:





.

Звідси точкова незміщена статистична оцінка для є
2.2. Інтервальні оцінки
Точкові статистичні оцінки є випадковими величинами, а тому наближена заміна θ на часто призводить до істотних похибок, особливо коли обсяг вибірки малий. У цьому разі застосовують інтервальні статистичні оцінки.

Статистична оцінка, що визначається двома числами, кінцями інтервалів, називається інтервальною.

Різниця між статистичною оцінкою та її оцінювальним параметром θ, взята за абсолютним значенням, називається точністю оцінки, а саме:



де δ є точністю оцінки.

Оскільки є випадковою величиною, то і δ буде випадковою, тому нерівність (414) справджуватиметься з певною ймовірністю.

Імовірність, з якою береться нерівність (414), тобто

,

називають надійністю.

Рівність можна записати так:

.

Інтервал , що покриває оцінюваний параметр θ ге­неральної сукупності з заданою надійністю , називають довірчим.

Нехай ознака Х генеральної сукупності має нормальний закон розподілу. Побудуємо довірчий інтервал для , знаючи числове значення середнього квадратичного відхилення генеральної сукупності із заданою надійністю γ. Оскільки як точкова незміщена статистична оцінка для має нормальний закон розподілу з числовими характеристиками , то, скориставшись, дістанемо

.

Випадкова величина має нормальний закон розподілу з числовими характеристиками







Тому матиме нормований нормальний закон розподілу N(0; 1).

Звідси рівність можна записати, назначивши так:



або



Згідно з формулою нормованого нормального закону



для (418) вона набирає такого вигляду:



З рівності (419) знаходимо аргументи х, а саме:



Аргумент х знаходимо за значенням функції Лапласа, яка дорівнює 0,5 γ за таблицею.

Отже, довірчий інтервал дорівнюватиме:

,

що можна зобразити умовно на рис. 1



Рис. 1

Величина називається точністю оцінки, або похибкою вибірки.

Приклад. Вимірявши 40 випадково відібраних після виготовлення деталей, знайшли вибіркову середню, що дорівнює 15 см. Із надійністю побудувати довірчий інтервал для середньої величини всієї партії деталей, якщо генеральна дисперсія дорівнює .

Розв’язання. Для побудови довірчого інтервалу необхідно знати: , n, x.

З умови задачі маємо: Величина х обчислюється з рівняння





Знайдемо числові значення кінців довірчого інтервалу:





Таким чином, маємо:

.

Отже, з надійністю 0,99 (99% гарантії) оцінюваний параметр перебуває усередині інтервалу [14,87; 15,13].

Приклад. Маємо такі дані про розміри основних фондів
(у млн грн.) на 30-ти випадково вибраних підприємствах:

4,2; 2,4; 4,9; 6,7; 4,5; 2,7; 3,9; 2,1; 5,8; 4,0;

2,8; 7,8; 4,4; 6,6; 2,0; 6,2; 7,0; 8,1; 0,7,; 6,8;

9,4; 7,6; 6,3; 8,8; 6,5; 1,4; 4,6; 2,0; 7,2; 9,1.

Побудувати інтервальний статистичний розподіл із довжиною кроку h = 2млн грн.

З надійністю знайти довірчий інтервал для , якщо  = 5 млн грн.

Розв’язання. Інтервальний статистичний розподіл буде таким:

h = 2 млн грн.
2—4
4—6
6—8
8—10

ni
9
7
10
4

Для визначення необхідно побудувати дискретний статистичний розподіл, що має такий вигляд:
3
5
7
9

ni
9
7
10
4

.

Тоді



Для побудови довірчого інтервалу із заданою надійністю необхідно знайти х:



Обчислюємо кінці інтервалу:





Отже, довірчий інтервал для буде .

Приклад. Якого значення має набувати надійність оцінки γ, щоб за обсягу вибірки n = 100 похибка її не перевищувала 0,01 при .

Розв’язання. Позначимо похибку вибірки



Далі маємо:



Як бачимо, надійність мала.

Приклад. Визначити обсяг вибірки n,за якого похибка гарантується з імовірністю 0,999, якщо .

Розв’язання. За умовою задачі Оскільки то дістанемо: Величину х знаходимо з рівності Тоді

Розділ 3. Перевірка статистичних гіпотез про характер розподілу
3.1. Перевірка гіпотез за критерієм Пірсона
Достоїнством критерію Пірсона є його універсальність: з його допомогою можна перевіряти гіпотези про різні закони розподілу.

1. Перевірка гіпотези про нормальний розподіл.

Нехай отримана вибірка досить великого обсягу п з великою кількістю різних значень варіант. Для зручності її обробки розділимо інтервал від найменшого до найбільшого зі значень варіант на s рівних частин і будемо вважати, що значення варіант, що потрапили до кожного інтервалу, приблизно дорівнюють числу, що задає середину інтервалу. Підрахувавши число варіант, що потрапили в кожен інтервал, складемо так називану згруповану вибірку:

Варіанти        х1 х2 … хs

Частоти          п1 п2 … пs ,

де хi – значення середин інтервалів, а пi – число варіант, що потрапили в i-й інтервал (емпіричні частоти).

По отриманим даним можна обчислити вибіркове середнє    і вибіркове середньоквадратичне відхилення σВ. Перевіримо припущення, що генеральна сукупність розподілена за нормальним законом з параметрами M(X)=   , D(X)=   . Тоді можна знайти кількість чисел з вибірки обсягу п, що повинне виявитися в кожнім інтервалі при цьому припущенні (тобто теоретичні частоти). Для цього по таблиці значень функції Лапласа знайдемо імовірність влучення в i-й інтервал:

,

 

де аi і bi– границі i-го інтервалу. Помноживши отримані імовірності на обсяг вибірки n, знайдемо теоретичні частоти: пi=n·pi. Наша мета – порівняти емпіричні і теоретичні частоти, що, зазвичай, відрізняються друг від друга, і з'ясувати, чи є ці розходження несуттєвими (що не спростовують гіпотезу про нормальний розподіл досліджуваної випадкової величини), чи вони настільки великі, що суперечать цій гіпотезі. Для цього використовується критерій у виді випадкової величини

.

Зміст її очевидний: сумуються відношення квадратів відхилень емпіричних від теоретичних частот до відповідних теоретичних частот. Можна довести, що поза залежністю від реального закону розподілу генеральної сукупності закон розподілу випадкової величини при    прямує до закону розподілу    з числом ступенів свободи k=s–1–r, де r – число параметрів передбачуваного розподілу, оцінених за даними вибірки. Нормальний розподіл характеризується двома параметрами, тому k=s–3. Для обраного критерію будується правобічна критична область, обумовлена умовою



де α – рівень значимості. Отже, критична область задається нерівністю    а область прийняття гіпотези –   .

Отже, для перевірки нульової гіпотези Н0: генеральна сукупність розподілена нормально – потрібно обчислити по вибірці значення критерію, що спостерігається:

,

 

а за таблицею критичних точок розподілу χ2 знайти критичну крапку   , використовуючи відомі значення α і k=s–3. Якщо    – нульову гіпотезу приймають, при    неї відкидають.

1   2   3   4

скачати

© Усі права захищені
написати до нас