1.2.1 Перша інтерполяційна формула Ньютона
Нехай для функції
задані значення 
для рівновіддалених значень незалежної змінної: 
, де - крок інтерполяції. Необхідно підібрати поліном 
степені не вище п, який приймає в точках значення 
(1. 2. 3)Умови (1. 2. 3) еквівалентні тому, що
. Слідуючи Ньютону, будемо шукати поліном у вигляді 
Використовуючи загальний степінь, вираз (1. 2. 3) запишемо так:
Наша задача заклечається у визначенні коефіцієнтів
полінома . Покладаючи у вираз (1. 2. 5), отримаємо 
.Щоб знайти коефіцієнт , складемо першу кінцеву різницю
. Припускаючи в останньому виразі , отримаємо: 
; звідки 
. Для визначення коефіцієнта складемо кінцеву різницю другого порядку 
. Покладаючи , отримаємо: 
; звідки 
. Послідовно продовжуючи цей процес, ми виявимо, що 
, де 
.Підставляючи знайдені значення коефіцієнтів у вираз (1. 2. 5) отримаємо інтерполяційний поліном Ньютона
. (1. 2. 6)Легко побачити, що поліном (1. 2. 6.) повністю задовольняє вимогам поставленої задачі. Дійсно, по-перше, степінь поліному
не вище п, по-друге, 
і 
Замітимо, що при формула (1. 2. 6) перетворюється в ряд Тейлора для функції . Дійсно,
Крім того, очевидно, 
. Звідси при формула (1. 2. 6) приймає вид поліному Тейлора: 
.Для практичного використання інтерполяційну формулу Ньютона (1. 2. 6) зазвичай записують в дещо перетвореному вигляді. Для цього введемо нову змінну за формулою
; тоді 
підставляючи ці вирази у формулу (1. 2. 6), отримаємо:
, (1. 2. 7)де
являє собою кількість кроків, необхідних для досягнення точки , виходячи із точки . Це і є кінцевий вигляд першої інтерполяційної формули Ньютона.Формулу (1. 2. 7) вигідно використовувати для інтерполювання функції в околі початкового значення , де мале за абсолютною величиною.
Якщо у формулі (1. 2. 7) покласти п=1, то отримаємо формулу лінійного інтерполювання:
. При п=2 будемо мати формулу параболічного або квадратичного інтерполювання 
.Якщо дана необмежена таблиця значень , то число в інтерполяційній формулі (1. 2. 7) може бути довільним. Практично в цьому випадку число обирають так, щоб різниця
була постійною із заданою точністю. За початкове значення можна приймати довільне табличне значення аргументу .Якщо таблиця значень функції скінчена, то - число обмежене, а саме: не може бути більше числа значень функції , зменшеного на одиницю.
Відзначимо, що при застосуванні першої інтерполяційної формули Ньютона зручно використовувати горизонтальну таблицю різниць, так як потрібні значення різниць функції знаходяться у відповідному горизонтальному рядку таблиці.
1.2.2 Друга інтерполяційна формула Ньютона
Перша інтерполяційна формула Ньютона практично незручна для інтерполювання функції поблизу вузлів таблиці. В такому випадку зазвичай застосовують другу інтерполяційну формулу Ньютона. Виведемо цю формулу.
Нехай маємо систему значень функції
для рівновіддалених значень аргументу 
, де - крок інтерполяції. Побудуємо поліном наступного вигляду:
або, використовуючи узагальнену степінь, отримуємо:
. (1. 2. 8)Наша задача полягає у визначенні коефіцієнтів
таким чином, щоб виконувались умови (1. 2. 3). Для цього необхідно і достатньо, щоб
(1. 2. 9) Покладемо у формулі (1. 2. 8). Тоді будемо мати:
, отже 
.Далі беремо від лівої і правої формули (1. 2. 8) кінцеві різниці першого порядку
.Звідси, вважаючи і враховуючи відношення (1. 2. 9) будемо мати:
. Отже 
.Покладаючи знаходимо:
. І таким чином 
.Характер закономірності коефіцієнтів достатньо зрозумілий. Застосовуючи метод математичної індукції, можна строго довести, що
(1. 2. 10)Підставляючи ці значення у формулу (1. 2. 8) будемо мати остаточно
(1. 2. 11)Формула (1. 2. 11) носить назву другої інтерполяційної формули Ньютона.
Введемо більш зручний запис формули (1. 2. 11). Нехай
, тоді 
і т. д. Підставивши ці значення у формулу (1. 2. 11), отримаємо:
.(1.2.12)Це і є загальний вигляд другої інтерполяційної формули Ньютона. Для наближеного обчислення значень функції вважають, що
.Як перша, так и друга інтерполяційні формули Ньютона можуть бути використані для екстраполяції, тобто, для знаходження значень функції для значень аргументів , котрі лежать за межами таблиці. Якщо і близько до , то вигідно використовувати першу інтерполяційну формулу Ньютона, причому тоді
. Якщо ж і близько до , то зручніше використовувати другу інтерполяційну формулу Ньютона, причому тоді 
. Таким чином, перша інтерполяційна формула Ньютона використовується для інтерполяції вперед і екстраполяції назад, а друга інтерполяційна формула Ньютона, навпаки, – для інтерполяції назад і екстраполяції вперед (див. [8]).Відмітимо, що операція екстраполяції, взагалі кажучи, менш точна, ніж операція інтерполяції у вузькому значенні слова.
1.2.3 Оцінка похибок інтерполяційних формул Ньютона
Для функції
ми побудували інтерполяційний поліном Ньютона , який приймає в точках 
задані значення 
. Виникає питання, наскільки близько побудований поліном наближається до функції в інших точках, тобто наскільки великий залишковий член 
. Для визначення цього степеня наближення накладемо на функцію додаткові обмеження. А саме, ми будемо припускати, що в області зміни : , котра містить вузли інтерполювання, функція 
маєвсі похідні 
до (п+1)-го порядку включаючи.Введемо допоміжну функцію
, (1.2.12)де 
і - постійний коефіцієнт, котрий буде обрано нижче.
Функція
, очевидно, має п+1 корінь в точках 
. Підберемо тепер коефіцієнт таким чином, щоб мала (п+2)-ий корінь в будь-якій, але фіксованій точці відрізка 
, яка не співпадає з вузлами інтерполювання (мал. 1). Для цього достатньо покласти 
.Звідси, так як
, то 
(1. 2. 13)При цьому значення множника функції
має п+2 кореня на відрізку і буде обертатись в нуль на кінцях кожного з відрізків 
. Застосовуючи теорему Ролля [11] до кожного із цих відрізків, переконуємось, що похідна 
має не менше п+1 кореня на відрізку .
Малюнок 1. Графік функції
Застосовуючи теорему Ролля до похідної
, ми переконаємося, що друга похідна 
перетворюється в нуль не менше п разів на відрізку .Продовжуючи ці роздуми, прийдемо до висновку, що на відрізку
похідна 
має хоча б один корінь, котрий позначимо через , тобто 
.Із формули (1. 2. 11) так як
, маємо: 
. При , отримуємо: 
Звідси 
. (1. 2. 14)Порівнюючи праві частини формул (1. 2. 13) і (1. 2. 14), будемо мати:
, тобто
. (1. 2. 15)Так як довільне, то формулу (1. 2. 15) можна записати і так:
, (1. 2. 16)де залежить від і лежить всередині відрізка
. Відмітимо, що формула (1. 2. 16) справедлива для всіх точок відрізка
, в тому числі і для вузлів інтерполювання.На основі формули (1. 2. 16) отримаємо залишковий член першої інтерполяційної формули Ньютона:
, (1. 2. 17)де - деяка внутрішня точка найменшого проміжку, що містить всі вузли
і точку .Аналогічно, покладаючи в формулі (1. 2. 17)
, отримаємо залишковий член другої інтерполяційної формули Ньютона:
, (1. 2. 18)де - деяка внутрішня точка найменшого проміжку, що містить всі вузли
і точку . Зазвичай при практичних обчисленнях інтерполяційна формула Ньютона обривається на членах, що містять такі різниці, які в межах заданої точності можна вважати постійними.
Вважаючи, що
майже постійними для функції і достатньо малим, і враховуючи, що 
, наближено можна покласти:
.В цьому випадку залишковий член першої інтерполяційної формули Ньютона наближено рівний
.При таких самих умовах для залишкового члена другої інтерполяційної формули Ньютона отримаємо вираз
.1 2 3 4 5