1 2 3 4 5 1.8 Приклади застосування інтерполяційних формул 1.8.1 Приклад 1 Використовуючи першу і другу інтерполяційну формулу Ньютона і Гауса, а також інтерполяційні формули Стірлінга і Бесселя необхідно знайти значення функції , заданої таблицею (табл. 1) при значенні аргументу . При цьому крок . Таблиця 1. Значення функції
Розв’язання: Складемо спочатку таблицю кінцевих різниць (табл. 2). Таблиця 2. Кінцеві різниці
При складанні таблиці різниць обмежимося різницями третього порядку, оскільки вони практично постійні. · За першою інтерполяційною формулою Ньютона (1. 2. 7), приймаючи , (табл. 2), отримаємо: ; ; · За другою інтерполяційною формулою Ньютона (1. 2. 11), приймаючи , (табл. 2), отримаємо: ; ; · За першою інтерполяційною формулою Гауса (1. 3. 4), приймаючи , , матимемо: . Отже, отримаємо: · За другою інтерполяційною формулою Гауса (1. 3. 6), приймаючи , , отримаємо: ; · За інтерполяційною формулою Стірлінга, підставляючи відповідні коефіцієнти із таблиці різниць (табл. 2) у формулу (1. 5. 1) отримаємо: · За інтерполяційною формулою Бесселя, підставляючи відповідні коефіцієнти із таблиці різниць (табл. 2) в формулу (1. 4. 3) отримаємо: Тепер проведемо оцінку отриманих результатів. Введемо наступні позначення: ІФН – інтерполяційна формула Ньютона; ІФГ - інтерполяційна формула Гауса; ІФБ - інтерполяційна формула Бесселя; ІФС - інтерполяційна формула Стірлінга. Для зручності результати запишемо у вигляді таблиці (табл. 3):
Таблиця 3. Отримані результати. Тепер визначимо похибку отриманих результатів. Для цього від значення, отриманого за допомогою першої ІФН, віднімемо результати, отримані зі допомогою інших формул. В результаті отримаємо таку розрахункову табличку (табл. 4):
Таблиця 4. Абсолютні похибки результатів. Тоді, щоб отримати відносну похибку результату, необхідно абсолютні похибки поділити на відповідні отримані наближені значення , отримані за формулами (1. 2. 7), (1. 2. 11), (1. 3. 4), (1. 3. 6), (1. 4. 3), (1. 5. 1). Тобто маємо (табл. 5):
Таблиця 5. Відносні похибки. Бачимо, найкраще наближення до значення, одержаного за ІФН 1-ою, досягається інтерполяційною формулою Стірлінга. Висновок. Як зазначалося вище (див. пункт 1.6), ІФС краще використовувати, для інтерполювання в середині таблиці, в чому ми і переконалися в даному прикладі, оскільки знаходиться всередині таблиці. 1.8.2 Приклад 2 Знайти значення функції , заданої таблицею (табл. 6) при значенню аргументу , використовуючи інтерполяційну формулу Ньютона для нерівновіддалених вузлів. При розрахунках враховувати лише розділені різниці першого і другого порядків. Таблиця 6. Значення функції
Розв’язання: Оскільки в умові сказано використовувати лише розділені різниці другого і третього порядку, то формула Ньютона для нерівновіддалених вузлів (1. 7. 5) матиме вигляд: , де . Попередньо обчислимо необхідні значення розділених різниць (табл. 7). Таблиця 7. Розділені різниці
Для визначення приймаємо . Для зручності складаємо допоміжну розрахункову таблицю (табл. 8), звідки отримаємо: Таблиця 8. Розрахункова таблиця 1 2 3 4 5 |