1.3 Інтерполяційні формули Гауса
При побудові інтерполяційних формул Ньютона використовуються лише значення функції, що лежать з однієї сторони початкового наближення, тобто, ці формули носять односторонній характер (див.[3]).
В багатьох випадках виявляються корисними інтерполяційні формули, що містять як наступні, так і попередні значення функції по відношенню до її початкового наближеного значення. Найбільш вживаними серед них являються ті, що містять різниці, розміщені у горизонтальному рядку діагональної таблиці різниць даної функції, що відповідає початковим значенням і , або в рядках, що безпосередньо примикають до неї. Ці різниці
називаються центральними різницями, причому 
і т. д.Відповідні їм формули називають інтерполяційними формулами із центральними різницями. До їх числа відносяться формули Гауса, Стірлінга і Бесселя.
Постановка задачі. Нехай маємо 2п+1 рівновіддалені вузли інтерполяції:
,де
, ідля функції 
відомі її значення в цих вузлах 
, потрібно побудувати такий поліном 
степені не вище 2п, що
. Із останньої умови випливає, що
(1. 3. 1)для всіх відповідних значень і та k.
Будемо шукати поліном у вигляді:
Вводячи узагальнені степені (див [3]), отримаємо:
Застосовуючи для обчислення коефіцієнтів
такий же спосіб, що і при виведенні інтерполяційних формул Ньютона, і враховуючи формулу (1. 3. 1), послідовно знаходимо:
Далі вводячи змінну
і зробивши відповідну заміну у формулі (1. 3. 3), отримаємо першу інтерполяційну формулу Гауса:
або, коротше,
де
.Перша інтерполяційна формула Гауса містить центральні різниці
.Аналогічно можна отримати другу інтерполяційну формулу Гауса, котра містить центральні різниці
. Друга інтерполяційна формула Гауса має вигляд: 
або, в скорочених позначеннях,
де
.Формули Гауса застосовуються для інтерполювання в середині таблиці поблизу . При цьому перша формула Гауса застосовується при , а друга – при .
1.4 Інтерполяційна формула Бесселя
Для того, щоб вивести формулу Бесселя використаємо другу інтерполяційну формулу Гауса (1. 3. 6).
Візьмемо
рівновіддалених вузлів інтерполювання 
з кроком , і нехай 
- задані значення функції 
.Якщо обрати за початкове значення і , то, використовуючи вузли
, будемо мати:
прикладний задача інтерполяційний формула
Візьмемо тепер за початкове значення і і використаємо вузли
. Тоді 
, причому відповідно індекси всіх різниць в правій частині формули (1. 4. 1) зростуть на одиницю. Якщо замінити в правій частині формули (1. 4. 1) на і збільшивши індекси всіх різниць на 1, отримаємо допоміжну інтерполяційну формулу:
Взявши середнє арифметичне формул (1. 4. 1) і (1. 4. 2), після нескладних перетворень отримаємо інтерполяційну формулу Бесселя:
де
.Тобто, інтерполяційна формула Бесселя (1. 4. 3), як слідує із способу отримання її, представляє собою поліном, який співпадає з даною функцією
в точках 
.В окремому випадку, при п=1, нехтуючи різницею
, маємо формулу квадратичної інтерполяції по Бесселю:
або
, де 
.У формулі Бесселя всі члени, котрі містять різниці непарного порядку, мають множник
, тому при 
формула (1. 4. 3) значно спрощується:
Цей спеціальний випадок формули Бесселя називається формулою інтерполювання на середину. Якщо у формулі (1. 4. 3) зробити заміну змінної за формулою
, то вона приймає більш симетричний вигляд:
де
. Формула Бесселя використовується для інтерполювання всередині таблиці при значеннях q, близьких до 0.5. Практично вона використовується при
. 1.5 Інтерполяційна формула Стірлінга
Якщо взяти середнє арифметичне першої інтерполяційної формули Гауса (1. 3. 4) та другої формули Гауса (1. 3. 6), то отримаємо формулу Стірлінга:
де
.Легко бачити, що
при 
. Формула Стірлінга використовується для інтерполювання в середині таблиці при значеннях , близьких до нуля. Практично її використовують при
.1.6 Оцінки похибок центральних інтерполяційних формул
Приведемо залишкові члени для формул Гауса, Стірлінга і Бесселя [12].
1. Залишковий член інтерполяційних формул Гауса (1. 3. 4) і (1. 3. 6) та інтерполяційної формули Стірлінга (1. 5. 1).
Якщо 2п – порядок максимальної різниці таблиці, яка використовується
і
, то 
, де
. Якщо ж аналітичний вираз функції
невідомий, то при малому покладають [2]: 
.2. Залишковий член інтерполяційної формули Бесселя (1. 4. 3).
Якщо 2п+1 – порядок максимальної використовуваної різниці таблиці і
, то 
,де
. Якщо ж функція
задана таблично і крок hмалий, то приймають: 
.Найбільш простий вигляд формула має при q=0.5, так як всі члени, що містять різниці непарного порядку зникають. Цей спеціальний випадок формули Бесселя називається формулою інтерполювання на середину. Її використовують для ущільнення таблиць [4], тобто для складання таблиць з більш малим кроком. Для залишкового члена при q=0.5 маємо:
.1.7 Інтерполяційна формула Ньютона для нерівновіддалених вузлів
Для побудови інтерполяційних формул у випадку довільного розташування упорядкованих не співпадаючих вузлів
на проміжку 
, замість кінцевих різниць використовують розділені різниці, або інакше, різницеві відношення.Через значення функції
спочатку визначають розділені різниці першого порядку:
(1. 7. 1)На різницях (1. 7. 1) шукаються розділені різниці другого порядку:
і т.д. Таким чином, якщо визначені k-ті різницеві відношення
, то 
- ті визначаються завдяки ним рівністю: 
(1. 7. 2) Нехай
- деяка функція із відомими значеннями у вузлах 
, а - довільна фіксована точка. За означенням розділеної різниці першого порядку (1. 7. 1) маємо: 
звідки
(1. 7. 3)Для розділеної різниці другого порядку по точкам записуємо представлення:
наслідком якого являється вираз 
Підставляючи його у формулу (1. 7. 2), приходимо до рівності
Формально, на основі рекурентного відношення (1. 7. 2) цей процес може бути продовжений. В результаті можна записати формулу, яка описує своєрідне розкладання
по добуткам різниць 
, коефіцієнтами якого являються розділені різниці різних порядків: 
(1. 7. 4)Якщо
- многочлен степені п, то процес подібного розкладання вичерпується. Розкладання буде складатись з п+1 доданка, і всі вони будуть мати конкретні коефіцієнти, так як остання, яка містить , розділена різниця в (1. 7. 4), тобто 
має (п+1)-ий порядок і, значить, дорівнює нулю. Таким чином, для довільного многочленна степені п справедлива тотожність 
Припустимо, що цей многочлен
являється інтерполяційним для деякої функції . Тоді у всіх вузлах він повинен мати однакові з нею значення, а отже повинні бути однаковими і їх розділені різниці. Звідси приходимо до інтерполяційної формули Ньютона для нерівновіддалених вузлів:
Підставивши
замість у формулу (1. 7. 4), з урахуванням (1. 7. 5) отримуємо точну рівність 
другий доданок якої може розглядатись в якості залишкового члена, тобто
, (1. 7. 6)де
.Так як для обчислення різниці
необхідно знання значення 
поряд з відомими значеннями 
, представлений формулою (1. 7. 5) вираз 
фактично можна використовувати тільки для оцінювання похибки інтерполювання за формулою (1. 7. 5) через максимальні величини модулів розділених різниць (п+1)-го порядку або для одержання інших виразів залишкового члена при тих чи інших припущеннях про дану функцію. Зокрема, якщо функція має (п+1)-шу похідну, то залишковий член (1. 7. 6) може бути приведений до вигляду 
.При практичному використання інтерполяційної формули (1. 7. 5) доводиться покладатися на зменшення модулів доданків
при збільшенні номера доданка. Таке зменшення відбувається до деяких пір; потім починається зростання їх модулів із-за впливу похибок заокруглення.1 2 3 4 5