Глава 6. Статистическое изучение динамики.
Социально-экономические явления общественной жизни находятся в непрерывном развитии, т.е. в динамике. Их изменения во времени в статистике изучается при помощи построения и анализа рядов динамики (их также называют динамическими, временными или хронологическими рядами).
6.1. Виды рядов динамики. Средний уровень ряда динамики.
Ряд динамики – это последовательность упорядоченных во времени значений статистических показателей, характеризующих уровень развития исследуемого явления. Элементами динамического ряда являются два ряда чисел: время и конкретное значение показателя или уровень ряда . Уровни выражаются в виде абсолютных, относительных и средних величин статистических показателей. Различают моментные и интервальные ряды динамики. У моментных рядов уровни характеризуют объёмы явления в определенные моменты времени (например, показатели численности населения на начало года, величины запаса какого-либо материала на начало периода), а у интервальныхрядов уровни характеризуют объёмы явления за какие-то периоды (например, ряды показателей объёма продукции по месяцам года, количества отработанных человекодней по отдельным периодам). Если уровни интервального ряда представляют собой абсолютные величины, то их уровни можно суммировать или дробить во времени, получая новые численные значения объёма явления. Уровни же моментных динамических рядов суммировать нельзя; сумма не имеет смысла, так как каждый последующий уровень полностью или частично включает в себя предыдущий уровень. Однако разность уровней имеет смысл, характеризуя увеличение или уменьшение уровня ряда между датами учета.
Важнейшим условием правильного формирования рядов динамики является сопоставимость уровней, образующих ряд, т.е. осуществление смыкания рядов динамики.
| Пример 6.1. Объём инвестиций по фирме характеризуется следующими данными:
Приведенный ряд дает неправильное представление о динамике инвестиций, так как показатели относятся к периодам с различной продолжительностью. Чтобы выявить изменение объёма, следует определить величину капитальных вложений на одну и ту же единицу каждого периода. Объём капитальных вложений за один год составляет: 1987–1992 гг. – ; 1993–1996 гг. – ; 1997–1999 гг. – ; 2000 г. – 200,5. Как видно из этих данных, объём капитальных вложений снижался до 1997 г., и лишь начиная с 1997 г. наметилось некоторое его повышение. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Пример 6.2. Общий объём продукции в одном из регионов (в млн. руб.):
Здесь показатели за 1991 –1993 гг. не сопоставимы непосредственно с показателями 1995 – 1997 гг., так как относятся к различным границам региона. Для приведения ряда динамики к сопоставимому виду для 1994 г. определим коэффициент соотношения уровней двух рядов: . Умножив на этот коэффициент уровни первого ряда, получают скорректированные данные за 1991 – 1993 гг. в новых границах. Таким образом, сопоставимый ряд динамики имеет вид:
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Методы расчета среднего уровня ряда зависят от его вида и способов получения статистических данных. В интервальном ряду с равноотстоящими уровнями расчет среднего уровня ряда производится по формуле простой средней арифметической:
(6.1)
где уровни ряда; число уровней ряда.
Если интервальный ряд имеет не равноотстоящие уровни, то средний уровень вычисляется по формуле взвешенной средней:
(6.2)
где длительность периода времени, в течение которого ряд имел уровень .
Для моментного ряда с равноотстоящими уровнями средний уровень ряда рассчитывается с помощью средней хронологической:
, (6.3)
где – число уровней ряда.
| Пример 6.3. Рассмотрим моментный динамический ряд: товарные запасы в торговом предприятии на начало каждого месяца характеризуются следующими данными:
Средние товарные запасы за 1-й квартал, можно найти, используя формулу средней хронологической (6.3): млн. руб. От моментного ряда можно перейти к интервальному ряду. Для этого определим средние запасы за месяц: за январь: млн. руб.; за февраль: млн. руб.; за март: млн. руб.
Средние запасы за 1-й квартал рассчитываем, используя формулу простой средней арифметической (6.1): млн. руб. |
Для моментного ряда с неравными интервалами предварительно находятся значения уровней в серединах интервалов: а затем определяется средний уровень ряда:
. (6.4)
| Пример 6.4. Товарные запасы на начало каждого месяца характеризуются следующими данными:
Определяем средние запасы за интервал: млн. руб.; млн. руб. Вычислим средние товарные запасы за 1-й квартал (11.4): млн. руб. |
6.2. Аналитические показатели динамики.
Развитие явления во времени характеризуют следующие основные показатели динамики: абсолютные приросты, коэффициенты роста, темпы роста и темпы прироста. Эти показатели можно исчислять с переменной и постоянной базой. Если производится сравнение каждого уровня с предыдущим уровнем, то получаются показатели динамики с переменной базой – цепные показатели динамики. Если каждый уровень сравнивается с начальным уровнем или каким-то другим, принятым за базу сравнения, то получаются показатели динамики с постоянной базой – базисные показатели динамики. База сравнения должна выбираться обоснованно, в зависимости от экономических особенностей изучаемого явления и задач исследования.
При расчете показателей приняты следующие обозначения:
уровень текущего периода (уровень ряда);
уровень предшествующего периода;
уровень, принятый за базу сравнения (базисный уровень).
Абсолютный прирост - это разность между двумя уровнями ряда. Он показывает, на сколько в абсолютном выражении уровень текущего периода больше (меньше) предыдущего или базисного:
. (6.5)
Коэффициент роста - это отношение текущего уровня к предыдущему или базисному:
. (6.6)
Темп роста – это коэффициент роста, выраженный в процентах:
. (6.7)
Он показывает, сколько процентов текущий уровень составляет по отношению к предыдущему или базисному уровню.
Темп прироста - это отношение абсолютного прироста к предыдущему или базисному уровню:
. (6.8)
Темпы прироста часто выражают в процентах.
Для характеристики динамики явлений в ряде случаев используются пункты роста(%), представляющие собой разность темпов прироста с постоянной базой двух смежных периодов.
| Пример 6.5. Расчет темпов роста, темпов прироста и пунктов роста иллюстрируется следующей таблицей:
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Пример 6.6. Имеются следующие данные о розничном товарообороте торгового дома по годам:
Необходимо определить показатели динамики розничного товарооборота. Результаты вычислений основных показателей торгового дома по формулам (6.5) – (6.8) приведены в таблице.
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Для характеристики интенсивности развития за длительный период рассчитываются средние показатели динамики. Кроме среднего уровня, определяемого по формулам (6.1) – (6.4), к ним относятся средний абсолютный прирост, средний темп роста и прироста.
Для исчисления среднего абсолютного прироста используется следующая формула:
, (6.9)
где сумма цепных абсолютных приростов (по годам, если вычисляется среднегодовой абсолютный прирост), – число цепных приростов или число периодов, и – конечный и базисный уровни ряда.
Средний коэффициент роста исчисляется следующим образом:
. (6.10)
Средний темп роста рассчитывается как
. (6.11)
Средний темп прироста получается из среднего темпа роста
. (6.12)
Средний темп роста, рассчитанный по данным о конечном и начальном уровнях ряда динамики, используется лишь в случае более или менее равномерного изменения уровней. Особую осторожность при применении средних абсолютных приростов или средних темпов роста (прироста) следует соблюдать в тех случаях, когда появляется перелом в имевшей место тенденции изменения уровней динамического ряда.
| Пример 6.7. По данным примера 6.6 определим средние абсолютный прирост, темп роста и прироста за 3 года. Среднегодовой абсолютный прирост находим по формуле (6.9) или . Средний коэффициент роста (6.10) , следовательно, , а . Розничный товарооборот за период с 2000 по 2003 год в среднем возрастал за год на 53,8%, в абсолютном выражении – на 967 млн. руб. |
6.3. Выявление основной тенденции ряда динамики.
Уровни ряда динамики формируются под влиянием многих факторов, каждый из которых определяет соответствующую составляющую ряда. При анализе временных рядов выделяют следующие его составляющие:
тренд - основная тенденция развития динамического ряда (долговременное его изменение);
сезонные (циклические) колебания, зависящие от времени года (например, при продаже мороженого);
остаточные или случайные колебания, определяемые несистематическими, носящими непредсказуемый характер, причинами и вызывающие колебания уровней относительно тренда;
Наиболее простым способом выделения тренда является метод укрупнения интервалов. Он может применяться только к интервальным рядам абсолютных величин.
При использовании средней переменной укрупнение интервала обычно начинают с наименьшего возможного, т.е. с интервала, объединяющего два периода. Если в этом случае тенденция развития четко не проявляется, переходят к следующему возможному интервалу, объединяющему три периода, осуществляя расчет средних для укрупненных интервалов по формулам простой средней арифметической:
,
где уровни исходного ряда динамики.
| Пример 6.8. Имеются данные о выпуске продукции на предприятии по месяцам за год:
Рассчитанные суммарный и среднемесячный выпуск продукции по кварталам путем укрупнения интервалов до трех месяцев выглядят следующим образом:
Видно, что новые данные более четко выражают закономерности изменения выпуска продукции за год – увеличение из квартала в квартал. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
Выявление тренда может осуществляться также методом скользящей средней. Скользящая средняя – подвижная динамическая средняя, которая исчисляется по ряду при последовательном передвижении на один интервал, т.е. сначала вычисляют средний уровень из определенного числа первых по порядку уровней ряда, затем - средний уровень из такого же числа членов, начиная со второго. На практике удобнее использовать нечетный период, так как в этом случае скользящая средняя будет отнесена к середине периода скольжения. Так, скользящие средние с продолжительностью периода, равной трем, получаются следующие:
Полученные средние приписываются к соответствующему срединному интервалу – второму, третьему и т.д.
Погашение колебаний величин индивидуальных уровней ряда динамики, обеспечиваемое методом скользящей средней, называется сглаживанием динамического ряда.
Заметим, что сглаженный ряд укорачивается по сравнению с фактическим на члена с одного и другого конца, где период скользящей средней.
| Пример 6.9. Для данных примера 6.8 сгладить ряд, используя скользящую среднюю с периодом три. Результаты приведены в следующей таблице.
|
Рассмотренные приёмы выявления тренда не позволяют получить аналитическую модель (т.е. числовую характеристику тенденции). Для этой цели используется аналитическое выравнивание. Суть его заключается в замене фактических уровней теоретическими , которые рассчитаны по определенному уравнению , принятому за математическую модель тренда и где теоретические уровни рассматриваются как функция времени .
На практике выбор формы кривой может быть основан на анализе графического изображения уровней динамического ряда (диаграммы рассеивания); при этом целесообразнее воспользоваться графическим изображением сглаженных уровней, в которых случайные колебания погашены. Если условия формирования уровней ряда изменяются, то расчет параметров выбранного уравнения не следует вести за весь рассматриваемый период; в этом случае необходимо разбить исходный ряд на несколько периодов, основываясь на оценке устойчивости показателей динамики.
При выборе формы уравнения учитывают следующие рекомендации:
если относительно стабильны абсолютные приросты, выравнивание может быть выполнено с помощью линейной функции ;
при относительно стабильных темпах роста (т.е. когда цепные коэффициенты роста примерно постоянны) используют показательную функцию (или её логарифм: , получая при этом линейную функцию, если уровни ряда заменить их логарифмами);
если наблюдается замедленное снижение уровней ряда, то для описания характера тренда выбирают гиперболу вида .
Рассмотрим линейную функцию . Метод наименьших квадратов, исходя из условия:
, (6.13)
дает систему двух нормальных уравнений для нахождения параметров и :
, (6.14)
где – исходный уровень ряда,
число членов ряда,
время.
Если значения времени выбираются так, чтобы , тогда получается:
. (6.15)
По полученной модели для каждой даты определяются теоретические уровни тренда и стандартная ошибка аппроксимации (или среднее квадратическое отклонение тренда) по формуле:
, (6.16)
где число параметров в уравнении тренда.
Границы доверительных интервалов прогноза определяются как
, (6.17)
где квантиль распределения Стьюдента с степенями свободы при уровне значимости
| Пример 6.10. Рассчитать интервальный прогноз объёма перевозок на 2007 г. с доверительной вероятностью 0,95 на основе следующих отчетных данных по грузовому автотранспортному предприятию:
Для определения формы тренда и расчета его параметров составляется вспомогательная таблица.
Первые разности приблизительно равны между собой, поэтому в качестве модели можно принять уравнение прямой . Параметры определяем по формулам (6.15): ; . Модель тренда имеет вид: . Среднее квадратическое отклонение равно (6.16): . Точечный прогноз на 2007 год: тыс. т. Интервальный прогноз объёма перевозок для 2007 г. при доверительной вероятности 0,95 (уровне значимости ) и числе степеней свободы 3 определяется следующими границами (6.17): или . |
6.4. Сезонные колебания.
Сезонными называются устойчивые внутригодовые колебания, т.е. когда из года в год в одни месяцы уровень ряда повышается, а в другие – понижается. Наличие сезонных колебаний выявляют с помощью графического метода, нанося на линейные диаграммы данные об уровне ряда по месяцам за несколько лет. Измеряются сезонные колебания (сезонная волна) при помощи особых показателей, которые называются индексами сезонности. Их расчет выполняется по следующей схеме.
Находят уравнение тренда . Для каждого месяца вычисляют величины , выражают их в процентах, а затем усредняют по всем рассматриваемым годам:
, (6.18)
где фактический уровень ряда для го месяца го года,
значение тренда для го месяца го года,
количество рассматриваемых лет.
Методику учета сезонных колебаний рассмотрим на примере 6.11.
| Пример 6.11. В таблице представлены данные о производстве молока (тыс. т):
П 4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 10 20 30 40 50 месяц остроить линейный тренд, вычислить сезонные индексы по данным 2003-2005 годов. Сделать прогноз на 2006 год и сравнить его с реальными данными. Методом наименьших квадратов получаем уравнение тренда , где номер месяца (от 1 до 36). Производство молока имеет тенденцию к сокращению, обусловленную сокращением поголовья молочного скота, и подвержено сильным сезонным колебаниям с максимумом летом и минимумом зимой. При этом величина сезонных колебаний пропорциональна среднему уровню производства. Вычислим значения сезонных индексов (6.18).
Чтобы получить прогноз для какого-либо месяца, нужно умножить значение, получаемое из тренда, на соответствующий сезонный индекс. Для 1996 года полученные данные приведены в таблице (результаты округлены до целых). Видно хорошее согласие прогноза с реальными данными. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 2 3 4 5 6 7