Глава 2. Статистические показатели.
Статистический показатель – это обобщающая характеристика совокупности элементов, в отличие от признака, который определяет индивидуальное значение (например, средняя продолжительность ожидаемой жизни родившегося поколения людей в стране; продолжительность же жизни конкретного человека – признак). В качестве СП могут использоваться абсолютные, относительные и средние величины.
2.1. Абсолютные величины.
Абсолютные величины – это количественные показатели, которые отражают уровень развития явления. Индивидуальные абсолютные величины характеризуют размеры признака отдельных элементов совокупности (например, показатели численности работающих на отдельных предприятиях). Суммарные абсолютные величины характеризуют итоговое значение признака по определенной совокупности объектов (например, численность работающих по группе предприятий). Выделяют моментные и интервальные абсолютные величины. Моментные показатели показывают фактическое наличие или уровень явления на определенный момент, дату (наличие запасов материалов или оборотных средств, численность работников); вторые – итоговый накопленный результат за период в целом (объём произведенной продукции за месяц или год, величина валового сбора зерна за год и т.д.). Абсолютные величины выражаются в натуральных, стоимостных и трудовых единицах измерения. Натуральные единицы измерения могут быть простыми (тонны, метры, литры) и сложными, являющимися комбинацией нескольких разноименных величин (тонны-км, киловатт-час). Разновидностью натуральных показателей являются условно-натуральные показатели, используемые в тех случаях, когда отдельные группы слагаемых, входящие в совокупность, не поддаются непосредственному суммированию; тогда, предварительно приведя их к сопоставимому виду, с помощью специальных коэффициентов пересчета эти слагаемые выражают в единой стандартной единице измерения (например, различные виды органического топлива переводятся в условное топливо (у.т.) с теплотворной способностью 7000 ккал/кг). Стоимостные единицы измерения дают денежную оценку (в рублях) социально-экономическим объектам и явлениям. В единицах труда (человеко-днях, человеко-часах) учитываются общие затраты труда на предприятии, трудоёмкость отдельных операций технологического процесса.
2.2. Относительные величины.
Относительные величины используют, если необходимо сопоставить явления, исследовать закономерности их изменения и развития, изучить структуру совокупностей. Относительная величина (ОВ) в статистике – это обобщающий показатель, который дает числовую меру соотношения двух сопоставляемых абсолютных величин. Величина, с которой сравнивают, называется базой (основанием) сравнения. ОВ выражаются в коэффициентах, если основание принимается за 1, в процентах, если основание принимается за 100, в промилле, если основание принимается за 1000, в продецимилле, если основание принимается за 10000.
Примеры относительных величин:
1. Относительная величина динамики (ОВД) – это результат сопоставления уровней одного и того же явления, относящихся к различным периодам или моментам времени. Различают относительные показатели динамики с постоянной и переменной базой сравнения. При изучении динамики за ряд периодов относительные показатели (или темпы роста), исчисленные по отношению к одной постоянной базе сравнения, называются базисными, а исчисленные по отношению к переменной
базе сравнения – цепными. Относительная величина динамики может быть представлена в виде коэффициента (индекса) роста (в долях), темпа роста (в процентах) и темпа прироста (темп роста минус 100%).
| Пример 2.1. По данным Росстата величина прожиточного минимума в 2004 г. составила 2376 рублей в месяц в среднем на душу населения. В 2008 г. аналогичный показатель был равен 4593 рубля. Относительная величина динамики , т.е. величина прожиточного минимума в 2008 г. составляла 193% от уровня 2004 г. Показатель 1,93 принято называть коэффициентом роста, или индексом роста. Показатель 193% - это величина темпа роста, а величина называется темпом прироста. В данном случае за 4 года величина прожиточного минимума выросла на 93%. |
2. Относительная величина структуры (ОВСт) характеризует доли, удельные веса составных элементов в общем итоге и выражается в долях, а чаще в процентах:
,
т.е. (2.1)
| Пример 2.2.
Рассчитанные в последней графе этой таблицы проценты представляют собой относительные величины (удельные веса) структуры. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. Относительная величина сравнения (ОВС) сопоставляет размеры одноименных абсолютных величин, относящихся к одному и тому же периоду или моменту времени, но к различным объектам или территориям:
. (2.2)
Например, по добыче газа в 2009 г. США опережали Россию в раза, т.е. уровень добычи газа в РФ составлял от уровня США.
4. Относительная величина интенсивности (ОВИ) характеризует степень распространения или развития изучаемого процесса или явления:
. (2.3)
ОВИ получается сопоставлением разноименных, но взаимосвязанных в своём развитии величин, поэтому он представляет собой, как правило, именованную величину, но может быть выражен и в процентах.
| Пример 2.3. При изучении демографических процессов рассчитываются показатели рождаемости , смертности , естественного прироста , т.е. как отношение числа родившихся и умерших или величины прироста населения за год к среднегодовой численности населения данной территории в расчете на 1000 человек. Так, по состоянию на 2008 г. в России . |
Разновидностью ОВИ является относительная величина экономического развития, характеризующая производство продукции в расчете на душу населения и играющая важную роль в оценке развития экономики государства. При расчете этого показателя используют среднюю за период численность населения (например, среднегодовую).
| Пример 2.4. По данным МВФ по объему ВВП РФ в 2010 г. находится на 6 месте в мире – 2218,764 млрд. долларов США, что составляет 15,17 % от уровня ВВП США. Для того чтобы сделать вывод об уровне развития экономики, необходимо сопоставить её со среднегодовой численностью населения страны. В результате размер ВВП на душу населения составит 15806,877 долларов, что в 3 раза меньше, чем в США, и в 5,6 раза меньше, чем в находящемся по этому показателю на первом месте - Катаре. По уровню этого показателя РФ в 2010 году находится на 51 месте в мире. |
2.3. Средние величины.
Средняя величина (СВ) – это показатель, характеризующий типичный уровень явления и выражающий величину признака, отнесенную к элементу совокупности. Их делят на два класса:
• структурные средние (мода и медиана);
• степенные средние (средняя арифметическая, средняя геометрическая и др.).
2.3.1. Структурные средние.
Мода (Мо)– это наиболее часто встречающееся (т.е. с наибольшей частотой), значение признака у элементов совокупности. Если признак дискретная величина, мода равна значению, которое повторяется наиболее часто. Например, в группе из 11 студентов получены следующие баллы за тест: 5, 4, 3, 7, 9, 5, 6, 2, 5, 6. Мода равна пяти, т.к. число 5 встречалось наиболее часто. Другой пример. Имеются данные о размере обуви 11 девочек: 5, 3, 4, 3, 5, 4, 3, 4, 2, 6, 2. Поскольку наибольшую частоту имеют два соседних размера обуви 3 и 4, то модальное значение будет равно .
Модальным интервалом называется интервал, которому соответствует наибольшая частота. Для интервального ряда с равными интервалами, мода определяется по формуле:
, (2.4)
где - начальная граница модального интервала;
– величина модального интервала;
- частота модального интервала, частота интервала, предшествующего модальному, и частота интервала, следующего за модальным, соответственно.
| Пример 2.5. Определить моду ряда распределения роста группы девочек:
|
Медианой распределения называется такое значение величины признака, которое делит упорядоченную последовательность его значений на две равные по численности части; причем у одной половины единиц совокупности значение признака не превышает медианного уровня, а у другой – выше этого значения. Медиана дискретного ряда распределения в случае нечетного числа членов соответствует му значению ряда, а в случае четного числа членов медиана равна среднему арифметическому го и го значений ряда распределения. В случае интервального ряда распределения сначала определяют медианный интервал, т.е. такой интервал, в котором сумма накопленных частот превышает половину общего числа наблюдений, а затем численное значение медианы определяется по формуле:
, (2.5)
где нижняя граница медианного интервала,
– величина медианного интервала,
накопленная частота интервала, предшествующего медианному,
частота медианного интервала.
| Пример 2.6. Найдем медиану ряда распределения роста девочек по данным таблицы из примера 2.5. Здесь медианный интервал 164 < < 168. Поэтому имеем: . |
2.3.2. Степенные средние.
К степенным средним относятся: арифметическая, гармоническая, геометрическая, квадратическая, кубическая и др. Общая формула степенной средней имеет следующий вид:
, (2.6)
где - варианта усредняемого признака,
– показатель степени,
– число вариант (или объём выборки).
При получается средняя гармоническая величина:
. (2.7)
Если получаем среднюю арифметическую величину, при среднюю квадратическую и т.д.
Средняя геометрическая величина – это предел при
(2.8)
| Пример 2.7. Найдем средние величины размера обуви пяти человек
|
Выполняются следующие неравенства:
Глава 3. Показатели вариации.
3.1. Абсолютные и относительные показатели.
Каждый ряд распределения характеризуется рассеиванием индивидуальных значений признака, т.е. значительным или незначительным несовпадением уровней своих значений. Для измерения рассеяния (вариации) признака применяются абсолютные и относительные показатели вариации.
К абсолютным показателям вариации относится размах вариации – это разность между максимальным и минимальным значениями признака в совокупности:
. (3.1)
Размах вариации показывает лишь крайние отклонения признака и не отражает отклонений всех вариантов значений признака.
Для измерения среднего по совокупности отклонения значения признака от его среднего уровня используют среднее квадратическое (стандартное) отклонение или его квадрат, являющийся дисперсией . Их выборочные оценки будем обозначать и .
, (3.2)
Дисперсия (и как корень квадратный – среднее квадратическое отклонение) может вычисляться с помощью более простой формулы:
. (3.3)
Для сравнения изменчивости различных признаков вычисляется относительный показатель – коэффициент вариации
. (3.4)
Коэффициент вариации является характеристикой однородности совокупности. Так совокупность считается качественно однородной, если коэффициент вариации не превышает 33 %.
| Пример 3.1. Имеются данные измерений роста шести человек
Определить показатели вариации. ; ; ; . |
3.2. Виды дисперсий и правило сложения дисперсий.
Для определения степени зависимости вариации признака от некоторого фактора, всю статистическую совокупность делят на группы по числу уровней этого фактора. Влияние фактора можно оценить сравнивая межгрупповую (факторную) и внутригрупповую (остаточную) вариации признака. Соответственно рассматривают дисперсии: общую , факторную и остаточную .
Справедливо следующее статистическое тождество (правило сложения дисперсий):
. (3.5)
Пусть исходная совокупность делится на однородных групп по одному фактору (т.е. фактор с уровнями), в каждой по элементов:
| Номер испытания, | Уровни фактора, | |||
| 1 | 2 | ... | | |
| 1 2 | | | … … ... | |
| Групповые средние | | | … | |
Сначала находятся частных средних в каждой группе:
. (3.6)
Далее, определяется общая средняя как средняя арифметическая этих частных средних:
. (3.7)
Тогда общая дисперсия, отражающая вариацию признака за счет всех факторов, действующих в данной совокупности, рассчитывается по формуле
, (3.8)
где – число наблюдений .
Факторная дисперсия характеризует вариацию за счет признака-фактора, положенного в основу группировки, и равна:
. (3.9)
Остаточная дисперсия характеризует вариацию признака, не связанную с делением совокупности на группы, и вычисляется по формуле:
. (3.10)
Соотношение факторной и общей дисперсии называется коэффициентом детерминации и показывает, какая доля в общей дисперсии приходится на дисперсию, обусловленную вариацией признака, положенного в основу группировки:
. (3.11)
Для проверки гипотезы о влиянии фактора используется критерий Фишера:
, (3.12)
где и − число степеней свободы для сравниваемых дисперсий.
Чем больше влияние факторного (группировочного) признака на результативный, тем больше значение .
Расчетное значение сравнивается с критическим , определяемым по таблице в зависимости от числа степеней свободы и уровня значимости . Если , то факторный признак оказывает влияние на исследуемый признак. Если , то только с вероятностью не выше чем случайные значения величины будут превышать расчетное значение. Следовательно, с малой вероятностью факторный признак будет оказывать влияние на результативный признак и это влияние можно не учитывать.
| Пример 3.2. Банк имеет по четыре отделения в трех городах. Текущие объемы денежных вкладов (в условных единицах) представлены в таблице:
Можно ли утверждать на уровне значимости , что в среднем дела идут одинаково хорошо во всех трех городах? Вычисляем групповые средние и общее среднее . Межгрупповая (факторная) дисперсия (3.9): ; Групповая (остаточная) дисперсия (3.10): Вариация, обусловленная влиянием всех факторов, вместе взятых, определится общей дисперсией (3.5): . Полученный коэффициент детерминации (3.11): показывает, что дисперсия зависит от места расположения отделений на 52,3%; остальные же 47,7 % объясняются множеством других неучтенных факторов. Для проверки гипотезы о влиянии фактора используем критерий Фишера (3.12): Для . Следовательно, и различия значимы. | |||||||||||||||||||||||
3.3. Показатели конкуренции.
Для оценки интенсивности конкуренции используется показатель – индекс Герфиндаля, вычисляемый на основе данных о доле производства (или доходов) отдельных групп в совокупном объёме производства (или доходов):
(3.13)
где − доля й организации в общем объеме реализации (производства) продукции заданного ассортимента; − объем реализации го предприятия отрасли; общий объем реализации предприятий отрасли.
Индекс Герфиндаля увеличивается по мере роста концентрации в отрасли и достигает при чистой монополии 1. В отрасли (на рынке), где действуют 100 равномощных предприятий с равными долями, .
Индекс Герфиндаля не учитывает ранги предприятий. Этого недостатка лишен индекс Розенблюта, который рассчитывается с учетом порядкового номера предприятия, полученного на основе ранжирования долей от максимума к минимуму:
. (3.14)
Индекс Розенблюта изменяется от 0 до 1, причем равен 1 при чистой монополии.
| Пример 3.3. Определить индексы Герфиндаля и Розенблюта для групп предприятий, используя данные таблицы производства минеральных удобрений предприятиями химической промышленности России в 1997 г.:
Индекс Герфиндаля будет равен (3.13): Индекс Розенблюта вычислим, располагая доли в порядке убывания весов (3.14): |
3.4. Показатели концентрации.
Для оценки неравномерности распределения объёма изучаемого признака между группами абсолютные показатели числа элементов в группе (например, число банков и городов) и размера изучаемого признака (например, прибыль банка или численность населения) выражают в относительных показателях – в долях или процентах к итогу. Затем рассчитывают два ряда накопленных относительных частот. Кривая кумулятивных итогов для двух отдельных групп признака (например, число городов и численность населения, число банков и их прибыль) называется кривой Лоренца.
Рис. 3.1. Кривая Лоренца.
Для построения графика концентрации, т.е. кривой Лоренца, по оси абсцисс откладывают накопленные доли общего числа элементов совокупности (например, накопленные доли городов), а по оси ординат - накопленные доли по объёму изучаемого показателя (доли численности населения).
Чем дальше линия фактической концентрации (кривая Лоренца), построенная по указанным координатам, отклоняется от диагонали квадрата – линии равномерного распределения, тем выше уровень концентрации, т.е. тем более неравномерно распределен объём изучаемого показателя между единицами (группами) статистической совокупности. Чем ближе кривая Лоренца к прямой (диагонали квадрата), тем распределение признака более равномерное, т.е. концентрация меньше (Рис. 3.1).
Сопоставления кривых Лоренца за разные периоды позволяет выявить тенденции в неравномерности распределения объёма признака между группами. Такие сопоставления широко распространены в статистике, например, изучение распределения объёма денежных доходов между различными группами населения, анализ степени концентрации банковского капитала, сравнение концентрации объёма производства в различных отраслях промышленности и т.д.
Для количественного измерения концентрации используется показатель, называемый коэффициентом (индексом) Джини , т.е. отношение площади , ограниченной линией равномерного распределения (диагональ квадрата) и кривой Лоренца, к половине площади квадрата:
. (3.15)
Для равномерного распределения коэффициент Джини равен нулю, в условиях же полной концентрации он равен 1. Коэффициент Джини рассчитывается по формуле:
, (3.16)
где и - накопленные суммы удельных весов единиц распределения и кумулятивные итоги объёмного показателя, представленные по осям абсцисс и ординат, соответственно, в форме обычных относительных величин – не процентов.
Если одинаковы для всех и равны , то формула (3.16) примет вид:
,
а учитывая, что и , окончательно:
. (3.17)
| Пример 3.4. Определить коэффициент Джини для распределения общего объема денежных доходов населения, используя данные по 20-процентным группам населения за 2009 г.:
По формуле (3.17) получаем: . Для сравнения, по данным Росстата коэффициент Джини за 2010 год равен 0,42. |
1 2 3 4 5 6 7