Ім'я файлу: Algebra-ispit (1).docx
Розширення: docx
Розмір: 1325кб.
Дата: 27.04.2021
скачати
Пов'язані файли:
Класи вантажу.docx
Petrushenko_business.pdf
Розширення: docx
Розмір: 1325кб.
Дата: 27.04.2021
скачати
Пов'язані файли:
Класи вантажу.docx
Petrushenko_business.pdf
Апофемою є проведена з вершини висота бічної грані правильної піраміди.
Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює добутку півпериметра її основи на апофему.
Перерізи піраміди площинами, що проходять через її вершину, є трикутниками.
Трикутниками є діагональні перерізи піраміди, тобто перерізи піраміди площинами, що проходять через два несусідніх ребра піраміди.
Властивості правильної піраміди:
бічні ребра рівні;
бічні грані рівні;
апофеми рівні;
двогранні кути при основі рівні;
двогранні кути при бічних ребрах рівні;
кожна точка висоти правильної піраміди рівновіддалена від усіх вершин основи, бічних граней, бічних ребер.
52. Циліндр: властивості та основні характеристики.
Циліндр – це тіло, яке складається з двох кругів, що лежать у різних площинах та суміщаються паралельним перенесенням, і всіх відрізків, що сполучають відповідні точки даних кругів.
Основами циліндра є круги, твірними циліндра є відрізки, що сполучають відповідні точки кіл даних кругів.
Радіусом циліндра є радіус його основи. Висотою циліндра є відстань між основами.
Переріз циліндра площиною, паралельною його основі, є коло, яке дорівнює колу основи.
Циліндр називається прямим, якщо його твірні перпендикулярні площинам основи.
Віссю циліндра називається пряма, що проходить через центри основ. Вісь циліндра паралельна його твірним.
Поверхня циліндра складається з основ і бічної поверхні.
Переріз циліндра площиною, паралельною його осі, є прямокутником, дві сторони якого твірні циліндра, а дві інші – паралельні хорди його основ.
Осьовим перерізом циліндра називається переріз, що проходить через його вісь. Осьовий переріз циліндра є прямокутником.
Циліндр, осьовий переріз якого є квадратом, називається рівностороннім циліндром.
Властивості циліндра:
- основи циліндра рівні;
- основи циліндра лежать у паралельних площинах;
- твірні циліндра паралельні і рівні;
- переріз циліндра площиною, паралельною його осі, є прямокутник.
53. Конус: властивості та основні характеристики.
Конус – це тіло, що складається з круга, точки, що не лежить на площині круга, та відрізків, що сполучають дану точку з точками круга.
Основою конуса є круг, вершиною конуса є точка, що не лежить у площі круга, твірними конуса є відрізки, що сполучають вершину конуса з точками кола основи.
Прямим є конус, у якого пряма, що сполучає вершину конуса з центром його основи, перпендикулярна до площини основи. Висотою конуса є перпендикуляр, опущений з вершини на площу основи.
Віссю прямого конуса є пряма, що містить його висоту.
Площина, паралельна основі прямого конуса, перетинає конус по кругу, а бічну поверхню по колу з центром на осі конуса.
Якщо січна площина проходить через вісь конуса, то його переріз – це рівнобедрений трикутник, основа якого дорівнює діаметру основи конуса, а бічні сторони є твірними конуса. Такий переріз називається осьовим.
Конус, осьовий переріз якого є рівностороннім трикутником, називається рівностороннім конусом. Якщо січна площина проходить через вершину конуса під кутом до площини основи, то його переріз – це рівнобедрений трикутник, основа якого є хордою основи конуса, а бічні сторони – твірними конуса.
Якщо січна площина проходить паралельно основі конуса, то перерізом є круг з центром на осі конуса. Така січна площина розтинає конус на дві частини – конус і зрізаний конус. Круги, що лежать у паралельних площинах цього конуса, – його основи; відрізок, що з’єднує їх центри, - це висота зрізаного конуса.
Пірамідою, вписаною в конус, називається така піраміда, основа якої є многокутник, вписаний у коло основи конуса, а вершиною є вершина конуса. Бічні ребра піраміди, вписаної в конус, є твірними конуса.
Дотичною площиною до конуса називається площина, що проходить через твірну конуса і перпендикулярна площині осьового перерізу, яка містить цю твірну.
Властивості конуса та його елементів:
- усі твірні конуса рівні;
- усі твірні конуса утворюють рівні кути з площиною основи;
- осьовим перерізом конуса є рівнобедрений трикутник, бічні сторони якого – твірні конуса, а основа трикутника – діаметр основи конуса.
54. Зрізаний конус: властивості та основні характеристики.
Зрізаним конусом називають частину конуса, що лежить між основою і площиною, паралельною основі.
Основи зрізаного конуса є основа цього конуса і круг, що одержали у перерізі.
Висота зрізаного конуса — це перпендикуляр, проведений із точки однієї основи до площини другої.
Твірними зрізаного конуса є відрізки твірних поданого конуса, обмежені площинами основ зрізаного конуса.
Зрізаний конус є тілом, яке утворено в результаті обертання прямокутної трапеції навколо меншої бічної сторони. Більша сторона трапеції є твірною зрізаного конуса. Пряма, яка проходить через центри основ зрізаного конуса, є його віссю.
Осьовим перерізом зрізаного конуса називають переріз площиною, яка проходить через його вісь.
Властивості зрізаного конуса:
- твірні зрізаного конуса рівні;
- осьовим перерізом зрізаного конуса є рівнобічна трапеція;
бічні сторони даної трапеції — твірні;
основи трапеції — діаметри основ зрізаного конуса
55. Куля: властивості та основні характеристики.
Куля – це тіло, що складається з усіх точок простору, які знаходяться від даної точки на однаковій відстані.
Центром кулі є дана точка, радіусом кулі називається дана відстань.
Поверхню кулі називають сферою.
Діаметром кулі є відрізок, що сполучає дві точки сфери і проходить через центр кулі. Кінці будь-якого діаметра кулі називається діаметрально протилежними точками кулі.
Будь-який переріз кулі площиною є круг. Центр цього круга є основою перпендикуляра, опущеного з центра кулі на січну площину.
Будь-яка площина, що проходить через центр кулі, є її площиною симетрії.
Площина, що проходить через центр кулі, називається діаметральною площиною. Центр кулі є його центром симетрії.
Площина, що походить через деяку точку сфери і перпендикулярна до радіуса, проведеного в дану точку, має з кулею тільки одну спільну точку — точку дотику.
Пряма, що лежить у дотичній площині до кулі і проходить через точку дотику, є дотичною до кулі в цій точці.
Радіус сфери, проведений у точку дотику сфери з площиною, перпендикулярний до дотичної площини. Якщо радіус сфери перпендикулярний до площини, що проходить через його кінець, який лежить на сфері, то ця площина є дотичною до сфери.
Лінія перетину двох сфер є коло.
Многогранник називається вписаним у кулю, якщо всі його вершини лежать на поверхні кулі.
Многогранник називається описаним навколо кулі, якщо всі його грані дотикаються поверхні кулі.
Центр кулі, описаної навколо правильної піраміди, лежить на її осі.
56. Перерізи кулі. Об’єм кулі та площа поверхні сфери.
Теорема про переріз кулі. Якщо відстань від центра кулі до площини менша за радіус кулі, то перерізом кулі цією площиною є круг. Центр цього круга є основою перпендикуляра, проведеного з центра кулі до площини перерізу.
Наслідок. Якщо відстань від центра сфери до площини менша за радіус сфери, то перерізом сфери цією площиною є коло. Центр цього кола є основою перпендикуляра, проведеного з центра сфери до площини перерізу.
Площа поверхні сфери дорівнює 4πR2.
Об'єм кулі дорівнює
3.57. Перерізи конуса. Знаходження площі поверхні та об’єму конуса.
Переріз конуса площиною, що проходить через його вершину, представляє собою рівнобедрений трикутник, у якого бокові сторони є твірними конуса. Зокрема, рівнобедреним трикутником є осьовий переріз конуса. Це переріз, що проходить через вісь конуса.
Теорема. Площина, паралельна площині основи конуса, перетинає конус по колу, а бокову поверхню – по окружності із центром на осі конуса.
Площа бічної поверхні конуса дорівнює півдобутку довжини кола основи на його твірну, тобто Sбіч=πRl.
Площа повної поверхні конуса дорівнює сумі площ бічної поверхні і площі основи:
𝑆кон = 𝑆осн + 𝑆біч = 𝜋𝑅𝑙 + 𝜋𝑅2 = 𝜋𝑅(𝑅 + 𝑙).
Об’єм конуса дорівнює третині добутку площі основи на висоту конуса, тобто
𝑉кон =
𝜋𝑅2Н.Площа бічної поверхні зрізаного конуса дорівнює півдобутку суми довжин кіл основ на довжину твірної, тобто
𝑆біч.зр.кон = 𝜋𝑙(𝑅 + 𝑟), де l – твірна, R і r – радіуси основ.
58. Перерізи циліндра площинами. Знаходження площі поверхні та об’єму циліндра.
Переріз циліндра площиною, паралельною його осі, представляє собою прямокутник. Дві його сторони – твірні циліндра, а дві інші – паралельні хорди основ. Зокрема, прямокутником є осьовий переріз. Це – переріз циліндра площиною, що проходить через його вісь.
Теорема. Площина, що паралельна площині основи циліндра, перетинає його бокову поверхню по окружності, яка дорівнює окружності основи.
 |
| |
Доведення. Нехай β – площина, яка паралельна площині основи циліндра. Паралельний перенос у напрямку осі циліндра, що сполучає площину β із площиною основи циліндра, сполучає січення бокової поверхні площиною β з окружністю основи. Теорема доведена.
Площею поверхні циліндра називається площа його розгортки.
Площа поверхні циліндра 𝑆цил дорівнює сумі площ основ 𝑆осн і бічної поверхні 𝑆біч:
𝑆цил = 2𝑆осн + 𝑆біч.
Оскільки 𝑆біч = 2𝜋𝑅𝐻, 𝑆осн = 𝜋𝑅2 , де R – радіус основи циліндра, Н – його висота, то
𝑆цил = 2𝜋𝑅𝐻 + 2𝜋𝑅2 = 2𝜋𝑅(𝑅 + 𝐻).
Об’єм циліндра дорівнює добутку площі основи на висоту, тобто
𝑉цил = 𝑆осн ∙ 𝐻 = 𝜋𝑅2𝐻.
59. Перерізи пірамід. Знаходження площі поверхні та об’єму пірамід.
Теорема. Якщо піраміда перерізається площиною, паралельною основі, то:
бічні ребра та висота піраміди діляться цією площиною на пропорційні частини;
переріз – многокутник, подібний основі;
площі перерізу та основи відносяться як квадрати їх відстаней від вершини піраміди.
Якщо довільну n-кутну піраміду перерізати площиною, паралельною основі, то ця площина відітне від піраміди многогранник, дві грані якого подібні n-кутники, а інші n граней – трапеції. Цей многогранник називається зрізаною пірамідою.
Площа Sповн повної поверхні піраміди виражається через площу Sбіч її бічної поверхні і площу Sосн основи піраміди формулою
Sповн = Sбіч + Sосн.
Бічна поверхня правильної піраміди дорівнює добутку півпериметра основи на апофему
де Р – периметр основи; l – апофема.Об'єм будь-якої піраміди дорівнює третині добутку площі її основи на висоту:
V =
SоснH.60. Перерізи призми. Знаходження площі поверхні та об’єму призми.
Переріз призми, який проходить через два бічних ребра, що не належать одній основі, називають діагональним перерізом.
Площа бічної поверхні прямої призми Sбіч = Pосн⋅H, де H – висота призми.
Площа повної поверхні призми – сума площ всіх граней призми. Вона складається з площі бічної поверхні і площі основ
Sповн. = Sбіч.+2⋅Sосн.
Об'єм прямої призми знаходиться за формулою:
V = Sосн.⋅H
1 2 3