1   2   3
Ім'я файлу: Algebra-ispit (1).docx
Розширення: docx
Розмір: 1325кб.
Дата: 27.04.2021
скачати
Пов'язані файли:
Класи вантажу.docx
Petrushenko_business.pdf

Властивості многогранного кута:


  • міра многогранного кута визначається даним кутом однозначно;

  • міра многогранного кута визначається додатним числом;

  • міра многогранного кута адитивна.

41. Перпендикуляр і похила. Властивості похилих

Перпендикуляром опущеним з даної точки на дану площину називають відрізок, що сполучає дану точку з точкою площини і лежить на прямій перпендикулярній до площини. Кінець цього відрізка, який лежить у площині наз. основою перпендикуляра.

Відстань від точки до площини наз. довжиною перпендикуляра опущеного з цієї точки на площину.

Похилою проведеною до даної точки площини наз. будь-який відрізок, який сполучає точку простору, з точкою площини і не є перпендикуляром до площини. Кінець відрізка, що лежить у площині, називається основою похилої.

Відрізок, який сполучає основи перпендикуляра й похилої, проведених з однієї і тієї самої точки, називається проекцією похилої.

Відстанню від прямої до паралельної їй площини називається відстань від будь-якої точки цієї прямої до площини.

Відстанню між паралельними площинами називається відстань від будь-якої точки однієї площини до другої площини.

Властивості похилих, проведених з однієї точки до однієї площини:

  1. Перпендикуляр, проведений з точки до площини, коротший за довільну похилу проведений з цієї точки до тієї ж площини.

  2. З двох похилих проведених з однієї точки до однієї площини більшою є та, у якої більша проекція.

  3. Похилі проведені з однієї точки до рівні тоді і тільки тоді коли їхні проекції рівні.

42. Теорема про три перпендикуляри.

Теорема про три перпендикуляри: Якщо пряма, проведена на площині через основу похилої, перпендикулярна до її проекції, то вона перпендикулярна і до похилої. І навпаки, якщо пряма на площині перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна і до проекції похилої.

Ознака перпендикулярності площин: Дві площини, що перетинаються, називаються перпендикулярними, якщо третя площина, перпендикулярна до прямої перетину цих двох площин, перетинає їх по перпендикулярних прямих.

Будь-яка площина, перпендикулярна до прямої перетину перпендикулярних площин, перетинає їх по перпендикулярних прямих.

Ознака перпендикулярності площин:

Теорема 1. Якщо площина проходить через пряму, перпендикулярну до другої площини, то ці площини перпендикулярні.

Теорема 2. Якщо пряма, яка лежить в одній із двох перпендикулярних площин, перпендикулярна до лінії їх перетину, то вона перпендикулярна і до другої площини.

Відстанню між мимобіжними прямими називають довжину їх спільного перпендикуляра. Вона дорівнює відстані між паралельними площинами, які проходить через ці прямі.

Спільним перпендикуляром до двох мимобіжних прямих називається відрізок із кінцями на цих прямих, перпендикулярний до кожної з них.

Теорема. Дві мимобіжні прямі мають спільний перпендикуляр, і до того ж тільки один. Він є спільним перпендикуляром до паралельних площин, які проходять через ці прямі.

43. Прямокутна Декартова система координат в просторі. Її основні задачі

Прямокутна (декартова) система координат в просторі задається трійкою попарно перпендикулярних осей.

Відстань між двома точками A(XA; YA; ZA) i B(XB; YB; ZB) в просторі визначається формулою:

d =

Якщо С(XС; YС; ZС) – середина відрізка AB, то

ХС = , УС = , ZС = .

(X–a)2+(Y–b)2+(Z–c)2 = R2 – рівняння сфери з центром точці у точці (a, b, c) і радіусом R.

44. Вектори в просторі. Дії на векторами. Розкладання вектора на складові. Координати вектора.

Вектор – це напрямлений відрізок. Вектор має початок та кінець.

Графічно вектори зображаються у вигляді напрямлених відрізків певної довжини.

Напрям вектора задається стрілкою на його кінці.

Дії над векторами: вони лежать на одній або паралельних прямих:

Сума векторів у просторі: (а1; а2; а3) + (b1; b2; b3) = (a1+b1; a2+b2; a3+b3).

Різниця векторів у просторі: (а1; а2; а3) – (b1; b2; b3) = (a1–b1; a2–b2; a3–b3).

Множення вектора на число у просторі: λ ∙ (а1; а2; а3) = (λa1; λa2; λa3).

Якщо вектор a, який знаходиться в прямокутній системі координат OXYZ, має початком точку A з координатами XA, YA, ZA, а кінцем – точку B з координатами XB, YB, ZB, то числа XB – XA, YB – YA, ZB – ZA називається його координатами: a(XB – XA; YB – YA; ZB – ZA).

Розкладання вектора на складові.

Одиничні вектори – це вектори, модулі яких дорівнюють одиниці. Координатні вектори напрямлені вздовж осей координат: (1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1).

Довільний вектор   можна розкласти єдиним способом за координатними векторами, тобто утворити лінійну комбінацію з ними.

(а1; а2; а3) = а1 ∙ + а2 ∙ + а3 ∙ .

Коефіцієнти розкладу аі є проекціями вектора   на відповідні осі координат.

46. Скалярним добутком векторів і його застосування.

Скалярним добутком векторів (а1; а2; а3) і (b1; b2; b3) називається число, що дорівнює сумі попарних добутків координат векторів з кожної осі, тобто a1b1+a2b2+a3b3.

Теорема. Скалярний добуток двох векторів дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними: ∙ cos β.

Для того щоб два вектори були перпендикулярними, необхідно й достатньо, щоб їх скалярний добуток дорівнював нулю.

┴ , .

Властивості скалярного добутку:

1) = 

2)    ;

3) = +  ;

4) скалярний квадрат: = 2.



46. Призма: властивості та основні характеристики.

Призма – це многогранник, який складається з двох плоских многокутників, що лежать у різних площинах та суміщаються паралельним перенесенням, і всіх відрізків, що сполучають відповідні точки даних многокутників.

Основами призми є плоскі многокутники, ребрами призми є відрізки, що сполучають відповідні точки многокутників.

Висотою призми є відстань між основами. Діагоналлю призми є відрізок, що сполучає дві вершини призми і не належить жодній із граней.

Властивості призми:

- основи призми рівні;

- основи призми лежать у паралельних площинах;

- бічні ребра призми паралельні і рівні.

Поверхня призми складається з її основ і бічної поверхні.

Бічна поверхня призми складається з паралелограмів. У кожного з цих паралелограмів дві сторони є відповідними сторонами основ, а дві інші – сусідніми бічними ребрами.

Діагональним перерізом призми називається переріз, що утворений площиною, яка проходить через два бічні ребра призми, що не належать одній її грані.

Прямою призмою називається призма, у якої бічні ребра перпендикулярні до площини основ. Призма, яка не є прямою, називається похилою.

Правильною призмою називається пряма призма, в основі якої лежить правильний многокутник.

Теорема. Бічна поверхня прямої призми дорівнює добутку периметра основи на висоту призми.

Теорема. Бічна поверхня похилої призми дорівнює добутку довжини бічного ребра призми і периметра перерізу призми площиною, перпендикулярною до бічного ребра.

Об’єм будь-якої призми дорівнює добутку площі її основи на висоту.
47. Паралелепіпед: властивості та основні характеристики.

Паралелепіпедом називається призма, основи якої є паралелограмами.

У паралелепіпеда всі грані – паралелограми.

Властивості паралелепіпеда

  1. Протилежні грані паралелепіпеда попарно рівні та паралельні.

  2. Усі діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці та діляться нею навпіл.

Паралелепіпед називається прямим, якщо в нього бічні ребра перпендикулярні до основ. Прямий паралелепіпед має всі властивості паралелепіпеда, і, крім того, бічні грані прямого паралелепіпеда є прямокутниками.

Прямий паралелепіпед, основами якого є прямокутники, називається прямокутним.

Усі грані прямокутного паралелепіпеда – прямокутники. Довжини трьох ребер прямокутного паралелепіпеда, які виходять з однієї вершини, називаються лінійними розмірами (або вимірами) прямокутного паралелепіпеда.

Властивості прямокутного паралелепіпеда

  1. Усі діагоналі рівні.

  2. Квадрат діагоналі дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів.

Прямокутний паралелепіпед, у якого всі ребра рівні, називається кубом.

48. Правильні многогранники: поняття та види.

Правильним многогранником є многогранник, грані якого є правильними многокутниками з рівною кількістю сторін, а в кожній вершині многогранника сходиться однакова кількість ребер.

Існує п’ять типів правильних опуклих многогранників: правильний тетраедр, куб, октаедр, додекаедр, ікосаедр.

У правильного многогранника:

- усі ребра рівні;

- усі двогранні кути, що містять дві грані зі спільним ребром, також рівні;

У правильного тетраедра всі чотири грані – рівносторонні трикутники. Кожна з його вершин є вершиною трьох трикутників. Сума плоских кутів при кожній із вершин дорівнює 180 градусам. Правильний тетраедр не має центра симетрії.

У правильного октаедра всі вісім граней – рівносторонні трикутники. Кожна вершина октаедра є вершиною чотирьох трикутників. Сума кутів плоских кутів при кожній вершині дорівнює двомстам сорока градусам. Правильний октаедр має центр симетрії.

У правильного ікосаедра всі двадцять граней – рівносторонні трикутники. Кожна з вершин ікосаедра є вершиною п’яти трикутників. Сума плоских кутів при кожній з вершин ікосаедра дорівнює трьомстам градусам. Правильний ікосаедр має центр симетрії.

У куба всі шість граней – квадрати. Кожна з вершин куба є вершиною трьох квадратів. Сума плоских кутів при кожній з вершин куба дорівнює двомстам сімдесяти градусам. Куб має один центр симетрії.

У правильного додекаедра всі дванадцять граней – правильні п’ятикутники. Кожна з вершин додекаедра є вершиною трьох правильних п’ятикутників. Сума плоских кутів при кожній з вершин дорівнює трьомстам двадцяти чотирьом градусам. Правильний додекаедр має центр симетрії.

49. Піраміда: властивості та основні характеристики.

Піраміда – це многогранник, що складається з плоского многокутника, точки, що не лежить на його площині, та відрізків, що сполучають дану точку з точками плоского многокутника.

Основою піраміди є многокутник, вершиною піраміди є точка, що не лежить у площі основи,бічними ребрами є відрізки, що сполучають вершину піраміди з вершинами основи.

Поверхня піраміди складається з основи і бічних граней. Кожна бічна грань піраміди – це трикутник. Площа бічної поверхні піраміди дорівнює сумі площ кожної з бічних граней піраміди. Площа повної поверхні дорівнює сумі площі основи і площі бічної поверхні піраміди.

Висотою піраміди є перпендикуляр, опущений з вершини на площу основи.

Піраміда називається n-кутною, якщо в її основі лежить n-кутник.

Трикутна піраміда називається тетраедром.

Теорема. Якщо піраміда перерізається площиною, паралельною основі, то:

  1. бічні ребра та висота піраміди діляться цією площиною на пропорційні частини;

  2. переріз – многокутник, подібний основі;

  3. площі перерізу та основи відносяться як квадрати їх відстаней від вершини піраміди.

50. Зрізана піраміда: властивості та основні характеристики.

Площина, паралельна основі піраміди, розтинає її на піраміду і фігуру, яка називається зрізаною пірамідою. Піраміда, що відтинається цією площиною, подібна даній.

Грані зрізаної піраміди, що лежать у паралельних площинах, називаються основами піраміди; всі інші грані – бічні грані піраміди. Основи зрізаної піраміди – гомотетичні многокутники. Кожна з бічних граней зрізаної піраміди – трапеція.

Зрізана піраміда, одержана з правильної піраміди, називається правильною зрізаною пірамідою. Бічні грані правильної зрізаної піраміди – рівнобокі трапеції.

Висоти бічних граней правильної зрізаної піраміди називаються її апофемами.

У правильній зрізаній піраміді:

  • бічні ребра рівні;

  • бічні грані рівні;

  • апофеми рівні;

  • двогранні кути при кожній основі рівні;

  • двогранні кути при бічних ребрах рівні;

  • кожна точка прямої, яка проходить через центри її основ, рівновіддалена від усіх вершин кожної основи, рівновіддалена від площини бічних граней, рівновіддалена від прямих, на яких лежать бічні ребра.

51. Правильна піраміда: властивості та основні характеристики.

Правильна піраміда – це піраміда, основою якої є правильний многокутник, а основа висоти збігається з центром даного многокутника.

Віссю правильної піраміди є пряма, що містить її висоту.

1   2   3

скачати

© Усі права захищені
написати до нас