Ім'я файлу: Системи числення Поясн_записка_до_курсової_роботи.doc
Розширення: doc
Розмір: 1306кб.
Дата: 27.02.2021
скачати
Розширення: doc
Розмір: 1306кб.
Дата: 27.02.2021
скачати
Аналіз сучасного стану розвитку систем числення
Загальна характеристика систем числення
Система числення – це сукупність прийомів і правил для позначення та найменування чисел. Символи, які використовують для позначення чисел називаються цифровим алфавітом, або цифрами.
Сукупність цифр, які складають дану систему числення називають її основою, позначається вона латинською літерою Р. За основою системи числення розрізняють такі основні системи: двійкова – складається з чисел 1 і 0, використовується для обчислення арифметичних операцій в мікропроцесорах, на основі яких зараз побудована майже вся побутова техніка і персональні комп’ютери; десяткова – використовується людьми для виконання арифметичних операцій, складається з діапазону чисел від 0 до 9; шістнадцяткова – використовується у обчислювальній техніці для запису адрес комірок пам’яті, складається з чисел від 0 до 15 але після 9 числа записані як великі латинські літери A,B,C,D,E,F.
Також системи числення поділяються на позиційні і непозиційні.
Непозиційні системи числення
З історії відомо, що першими системами числення були саме непозиційні системи. Одним з основних недоліків є складність запису великих чисел. Великі числа в таких системах або дуже довгі,що створює труднощі в подальшому оперуванні ними, або алфавіт системи надзвичайно великий. Прикладом непозиційної системи числення є так звана римська нумерація.
Для встановлення значення числа недостатньо знання типу і алфавіту системи числення. для цього також необхідне ще задання правила, що дозволяє по значенню цифр встановити значення числа. Наприклад, для визначення значення числа 867 в звичайній десятковій системі числення застосовується функція десяткового складання, тобто значення числа визначається по значенню цифр (8 в крайній лівій позиції, 7 в крайній правій позиції, 6 між ними) звичайним підсумовуванням: значення числа 867 є 800+60+7 [5].
Найпростішою непозиційною системою є система, алфавіт якої складається лише з одного символу, як привило палички. Кількість паличок і означає число. Також прикладами непозиційної системи є древньоєгипетська і римська система числення.
В римській системі числення в основі лежать символи I (один палець) для числа 1, V (розкрита долоня, п’ятірня) для числа 5, X (дві складені долоні) для 10, а для позначення таких чисел як 50, 100, 500 і 1000 існують спеціальні символи.
Для позначення чисел 100, 500 і 1000 у римській системі числення стали застосовувати перші букви відповідних латинських слів (Centum — сто, Demimille — половина тисячі, Mille — тисяча), а для позначення числа 50– застосовувати знак L.
Для запису числа, римляни використовували не тільки додавання, але й вирахування ключових чисел. При цьому застосовувалося таке правило: якщо значення символу який стоїть ліворуч менше від значення символу який стоїть праворуч, то значення меншого символу, поставленого ліворуч від більшого, віднімається зі значення більшого знаку. Наприклад, запис IX у римській системі числення позначає число 9, а запис XI — число 11. Десяткове число 28 представляється наступним чином:
XXVIII = 10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1.
Істотним недоліком римської системи є те що при записі нових чисел ключові числа можуть не тільки складатися, але й відніматися, і запис чисел римськими цифрами позбавляє число однозначного вигляду. Прикладом написаного вище правила є запис числа 1995, у римській системі числення його можна записати такими способами:
MCMXCV = 1000 + (1000 - 100) + (100 -10) + 5,
MVM = 1000 + (1000 - 5) і так далі.
Єдиних правил запису римських чисел немає і дотепер, але існують пропозиції про прийняття для них міжнародного стандарту. У наші дні кожну з римських цифр пропонується записувати в одному числі не більш трьох раз підряд. Ще 200 років тому в ділових паперах числа повинні були позначатися римськими цифрами (вважалося, що звичайні арабські цифри легко підробити). Римська система числення сьогодні використовується, в основному, для найменування знаменних дат, томів, розділів і глав у книгах.
Позиційні системи числення
Системи, в яких зміна позиції цифри в числі змінює його значення, називаються позиційними. Позиційною системою числення є звичайна десяткова система числення [2].
Загальноприйнятою в сучасному світі є десяткова позиційна система числення, яка з Індії через арабські країни прийшла в Європу. Основою цієї системи є число десять. Основою системи числення називається число, яке означає, у скільки разів одиниця наступного розрядку більше за одиницю попереднього.
Загальновживана форма запису числа є насправді не що інше, як скорочена форма запису розкладу за степенями основи системи числення, наприклад:
130678=1*105+3*104+0*103+6*102+7*101+8
Число 10, що присутнє у кожному доданкові, називають основою системи числення, саму ж систему десятковою системою числення, а показник степеня – це номер позиції цифри в записі числа (нумерація ведеться зліва на право, починаючи з нуля). Наприклад, додаючи два багатозначних числа, застосовуємо правило додавання стовпчиком. Тобто додаються одно розрядні числа, одиниці до одиниць, десятки до десятків і так далі, при цьому принципіально починати дії зліва.
Ми користуємось десятковою системою з цілком зрозумілих причин - на руках у людини десять пальців. Ми звикли до неї, і ніколи свідомо не підкреслюємо значення основи. Але немає ніяких перешкод побудувати систему числення, якщо за основу взяти будь-яке інше натуральне число.
Проблема вибору системи числення для подання чисел у пам'яті комп'ютера має велике практичне значення. В разі її вибору звичайно враховуються такі вимоги, як надійність подання чисел при використанні фізичних елементів, економічність (використання таких систем числення, в яких кількість елементів для подання чисел із деякого діапазону була б мінімальною).
Подання чисел у мікропроцесорах
При розгляді систем числення доцільно розглянути як подаються числа в мікропроцесорах, оскільки мікропроцесор це основа мозку обчислювальної техніки.
У регістрах або комірках пам'яті МП інформацію розміщено у вигляді двійкових чисел, причому для кожного розряду числа відведено окрему комірку, що зберігає один біт інформації. Сукупність комірок, призначених для розміщення одного двійкового числа, називають розрядною сіткою. Кількість комірок у розрядній сітці обмежена і залежить від конструктивних особливостей МП. Спосіб розміщення розрядів числа в розрядній сітці визначається формою подання двійкових чисел цілих, із фіксованою або з плаваючою комою (знакових та беззнакових).
Залежно від способу обробки бітів, розміщених у розрядній сітці, розрізняють два види кодів: паралельний, коли в кожний момент часу всі розряди сітки доступні для обробки, і послідовний, коли в кожний момент часу доступний один розряд сітки. Числа, подані паралельним кодом, доступні за один такт, а числа, подані послідовним кодом, доступні за n тактів, де n – розрядність сітки. Якщо розрядність числа перевищує довжину сітки, то його обробка ведеться по частинах.
Подання цілих чисел
Беззнакові цілі числа представляються натуральним кодом. Натуральним кодомназивають подання числа як цілого беззнаковогоу двійковій системі числення. Діапазон чисел у натуральному коді для n-розрядної сітки складає від 0 до
, тобто для 8-розрядної сітки діапазон чисел у натуральному коді складає від 0 до 255.Для подання цілих знакових чиселвикористовуються наступні коди: 1)прямий код; 2)обернений код; 3)додатковий код. Старший розряд сітки є знаковим. Значення цього розряду дорівнює нулю для додатних чисел і одиниці – для від‘ємних. В інших розрядах розміщується модуль числа. Додатні числаподаються однаково у всіх трьох кодах. Так, додатне число +5310 має вигляд, поданий на рис.1.5. Але оскільки старший розряд є знаковим, діапазон додатних чисел складає від 0 до 2n-1-1. Наприклад, для 8-розрядної сітки діапазон додатних чисел складає від 0 до +127. Подання від‘ємних чисел залежить від використання того чи іншого коду.
Подання від‘ємного числа упрямому коді здійснюється наступним чином: у старшому, знаковому, розряді розміщується 1, а в інших розрядах – модуль числа. Діапазон від‘ємних чисел у прямому коді складає від 0 до –(2n-1-1). Перевагами прямого коду є простота виконання арифметичних операцій та однаковий діапазон значень додатних і від‘ємних чисел. Недоліками прямого коду є те, що операції додавання і віднімання чисел з різними знаками потребують додаткових операцій для визначення більшого за модулем числа та знаку результату. Крім того, наявність знаку при поданні числа 0 (+0=000000 і -0=1000000) потребує виконання зайвих операцій.
Подання від‘ємного числа у оберненому кодіздійснюється обчисленням числа, яке доповнює додатне число з тим самим модулем до найбільшого беззнакового числа, яке може бути розташоване в даній розрядній сітці. Одержання оберненого коду від‘ємного числа зводиться до порозрядного інвертування розрядів додатного числа, включаючи знаковий розряд. Діапазон від‘ємних чисел у оберненому коді складає від 0 до –(2n-1-1). Перевагами оберненого коду є простота операцій одержання та додавання чисел із різними знаками, недоліками - два подання нуля: +0=00000000 і -0=111111111, а також потреба в апаратній реалізації коригування результату.
Подання від‘ємного числа у додатковому коді здійснюється обчисленням числа, яке доповнює додатне число з тим самим модулем до найбільшого беззнакового числа, з подальшим додаванням одиниці до результату. Інакше кажучи, додатковий код отримується шляхом додавання 1 до оберненого коду. Додатковий код можна одержати за наступним формальним правилом: цифри прямого коду додатного числа необхідно інвертувати послідовно зліва направо до останньої одиниці, не включаючи її. Останню праву одиницю і наступні за нею (праворуч) нулі необхідно залишити без зміни. Діапазон від‘ємних чисел у додатковому коді складає від 0 до –2n-1. Перевагами додаткового коду є простота операцій одержання та додавання чисел із різними знаками, а також те, що нуль має єдине подання 0=00000000. Завдяки цим перевагам додатковий код використовується найбільш часто [6].
Подання чисел у формі з фіксованою комою
Для розміщення двійкового числа, що містить цілу і дробову частини (без урахування знака) у n-розрядній сітці k комірок приділяють для розміщення цілої частини та n-k комірок – для розміщення дробової. При такому поданні двійкових чисел положення коми у розрядній сітці фіксовано. Якщо кількість розрядів у дробовій частині перевищує n-k, то молодші розряди, які знаходяться за межами розрядної сітки, не сприймаються мікропроцесором. Будь-яке двійкове число, менше, ніж 2n-k, сприймається як нульове і називається машинним нулем [2].У результаті відкидання молодших розрядів дробової частини числа, розташованої за межами розрядної сітки, виникає похибка подання. Максимальне значення абсолютної похибки подання
не перевищує одиниці молодшого розряду сітки: 
(1.1)При такій формі подання чисел мінімальне число
, максимальне 
. Тоді відносне значення похибки подання 
деякого числа N,m ≤ N ≤ M дорівнює
(1.2)Мінімальне значення відносної похибки має місце з поданням максимального числа М:
(1.3)а максимальне значення відносної похибки – з поданням мінімального числа m:
(1.4)Подання чисел у формі з плаваючою комою
Форму з плаваючою комою застосовують для розширення діапазону і зменшення відносної похибки подання чисел у МП.
Число N зображують у вигляді добутку. Першим множником є правильний дріб а, який називається мантисоючисла. Другим множником є основа 2, піднесена до степеня р, який називається порядком числа:
(1.5)Мантиса і порядок є знаковими числами. Для зазначення знаків у розрядній сітці відводяться 2 додаткових розряди. З такою формою подання існують різні варіанти запису одного і того самого числа. Наприклад, число 11,012 можна записати як
або як 
. Таким чином, кома у мантисі може зсуватися (плавати), а мантиса може набувати різних значень, менших від одиниці, при відповідних значеннях порядку. Форма подання числа, в якому старший розряд мантиси не дорівнює 0, називається нормалізованим. Всі інші форми подання є ненормалізованими. У мікропроцесорних системах, в яких реалізовано подання чисел у формі з плаваючою комою, числа зберігають в нормалізованому вигляді, при цьому більша кількість розрядів використовують для зберігання дробової частини, внаслідок чого підвищується точність обчислень. Якщо після виконання арифметичних операцій (наприклад, віднімання) результат виявляється ненормалізованим, то перед занесенням числа в пам'ять виконують його нормалізацію, тобто зсув мантиси ліворуч на відповідну кількість розрядів, і зменшення порядку числа на відповідну кількість одиниць[5].
При запису двійкового числа у формі з плаваючою комою у (n+2)-розрядній сітці k комірок приділяють для розміщення мантиси, а n-k комірок – для розміщення порядку, а 2 розряди – для зазначення знаків (рис.1.1)
Рис. 1.1 Подання чисел у формі з плаваючою комою
У нормалізованій формі значення мантиси завжди більше або дорівнюють 1/2, але не перевищують одиниці. Вага молодшого розряду мантиси дорівнює 2-k, а вага старшого розряду дорівнює 2-1. Максимальне значення мантиси складає 1-2-k і при збільшенні k наближується до одиниці. Максимальне значення числа, що визначає порядок, дорівнює 2n-k-1.
При максимальних значеннях мантиси і порядку значення М поданого числа є максимальним:
(1.6)При мінімальному значенні мантиси і максимальному за модулем від‘ємному значенні порядку значення m поданого числа є мінімальним:
(1.7)Абсолютна похибка
подання двійкових чисел визначається вагою молодшого розряду мантиси і є істотно різною для великих чисел (порядок максимальний) і малих чисел (порядок від‘ємний і за модулем максимальний). Максимальне значення абсолютної похибки визначається наступним чином: 
(1.8)де знак “+” відноситься до похибки подання великих чисел, а знак “-“ – малих чисел.
Відносна похибка подання двійкового числа N визначають як
. При поданні максимального числа значення відносної похибки є мінімальним:
(1.9)При поданні мінімального числа значення відносної похибки є максимальним:
(1.10)Відносна похибка подання чисел у формі з плаваючою комою незначно змінюється у всьому діапазоні і є малою навіть для малих чисел.
Діапазон чисел у формі з плаваючою комою
Діапазон чисел у формі з плаваючою комою істотно ширший, ніж із фіксованою комою. Наприклад, при 16-розрядній сітці (n=16) діапазон подання чисел у формі з фіксованою комою визначається 16 двійковими розрядами. У формі з плаваючою комою, в якій для розміщення мантиси відведено k=10 розрядів з урахуванням знакових розрядів діапазон
визначається 127 розрядами. Максимальна відносна похибка в першому випадку дорівнює 
, а в другому – 
Форма подання двійкових чисел обирають в залежності від типу задачі, потрібної швидкодії та точності виконання арифметичних операцій та діапазону зміни значень величин, з якими оперує МП.