«Обрахування площ багатокутників на еліпсоїді»

Ім'я файлу: МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ.docx
Розширення: docx
Розмір: 193кб.
Дата: 27.01.2020
скачати
Пов'язані файли:
Конфуцианство.doc
ZMIST2.docx
1111 Методологія та методи наукового дослідження.ppt
Кримінально- процесуальне право.docx
Історичне есе на тему Соціально-економічне та політичний розвито
Історична довідка про Тараса Шевченка.docx
службова Никифорову.docx
Zubchaste_koleso.docx

ДОДАТОКЕМіС2.docx
ФБ_КП_ЦарікС.О._(fixed) (1).doc
21.pdf
Хоменко Поради батькам при запинках в мовленні у дітей.docx
Реферат на тему_Українські та міжнародні організації зі стандарт
Реферат на тему_Українські та міжнародні організації зі стандарт
1 ENDOCRINE SYSTEM.docx
Задачи похідна.docx
цуацаца.rtf
case-tehnologiya-rozroblennya-vimog-do-programnogo-zabezpechenny
gosudarstvennoe_i_municipalnoe_upravlenie-shpargal.pdf
текст доклада ъ.docx
Bedyukh_Yuliya_Oleksandrivna_Mm-21.docx.pdf
Типи календарів.docx
курсова психологія.doc
Реферат 2629.docx
пояснююча записка111.doc
Зміст практики.doc
Основи автоматики. Лекція 2.docx
Особливості організації інклюзивного навчання.docx
Практичне завдання_1.docx
Контрольні запитання ЛР № 8.docx
2 питання.rtf
Документ Microsoft Office Word.docx
kazedu_179257.docx
Рожков_Ниссенбаум_ТЧМК_лекции.doc
Курсова_робота_Пасевич_Аліна,_ЮД_046,_1_курс.docx
1 (1).docx
конспект заняття.docx
d71d73ee90c56_1797715607_1707122403.doc

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

Національний Авіаційний Університет

Навчально-науковий інститут інформаційно-діагностичних систем

Кафедра прикладної математики

Курсова робота

На тему: «Обрахування площ багатокутників на еліпсоїді»

Студентки ІІ курсу 251 групи

денної форми навчання

напряму підготовки 6.040301

«Прикладна математика»

Жултинської А.К.

Керівник

викладач, доцент кафедри

прикладної математики

Піскунов О.Г.___________

Національна шкала___________

Кількість балів:_____Оцінка:ECTS____

Члени комісії _____________ _________________________

(підпис) (прізвище та ініціали)
_____________ _________________________

(підпис) (прізвище та ініціали)

Київ 2018

Зміст

Вступ

Розділ 1. Теоретична частина .………………………………………………...…,,,,...4

Вступ 3

Розділ І. Теоретична частина 4

1.1.Геодезичні обчислення на еліпсоїді 4

1.2. Види Земного еліпсоїду 4

_{1.3. Площа сфероїдної трапеції} 10

1.4. Обернена геодезична задача 12

Розділ 2. Практична частина .………………………………………………...…,,,,...4

Вступ

Актуальність теми: Знаходження площі об’єкту на Земному еліпсоїді займає важливу нішу у геодезичних обчисленнях. Через кривизну поверхні Землі ця площа буде значно відрізнятися, ніж площа фігури на плоскій поверхні. Серапінас, Вахрамеєва та Гавриленко знайшли формули для підрахування площі сфероїдних трикутників та трапецій на еліпсоїдах Красовського та WGS-84. Проте у джерелах не було виявлено обчислювальну схему для знаходження площі полігону, тобто багатокутника на еліпсоїді.

Мета роботи - створення програмного забезпечення для обрахування площі об’єктів на еліпсоїдах.

Завдання:

Розробити програмне забезпечення для обчислення площ багатокутників на еліпсоїді, яке складається з наступних пунктів:

реалізувати алгоритм обчислення площі полігону на еліпсоїдах, зокрема, WGS-84, Красовського;
для отримання вихідних даних зчитати текстовий документ з координатами;
включити програмне забезпечення в раніше розроблену бібліотеку GisLab, яка представляє собою динамічно приєднувану бібліотеку як збірку за технологією Microsoft .NET Framework.

Провести тестування отриманих результатів. Зробити висновки про можливість використання даного алгоритму в подальшому.

Об’єкт дослідження – знаходження площі об’єкту на Земних еліпсоїдах типу Красовського та WGS-84.

Предмет дослідження – геодезичні обчислювальні схеми для знаходження площі об’єкту на еліпсоїдах.

Розділ І. Теоретична частина

Геодезичні обчислення на еліпсоїді

Планета Земля за своєю формою є геоїдом. Проте проводити обчислення на фігурі такої форми складно навіть для сучасної науки, тому у геодезії геоїд заміняють іншим тілом, яке за формою і за розмірами близьке до поверхні геоїду і називається Земним еліпсоїдом.

Види Земного еліпсоїду

Земним еліпсоїдом називається еліпсоїд обертання, поверхня якого як і за формою, так і за розмірами близька до поверхні геоїда. Поверхня земного еліпсоїду утворюється обертанням еліпса навколо своє малої осі. Зовнішній вигляд будь-якого тіла обертання характеризується його твірною. Отже, для того, щоб дізнатися форму і розміри Земного еліпсоїду, достатньо вивчити форму і розміри його твірної, тобто еліпса.

Будь-який еліпс визначається розмірами його великої a і малої b півосей. Знаючи їх розміри, знаходимо положення фокусів F₁ і F₂ еліпса

Відносна величина e, яка визначається відношенням

називається ексцентриситетом еліпса.

В геодезії застосовують так інші відносні величини:

другий ексцентриситет

стиснення

величини, які не мають загальноприйнятої назви

_{Основна властивість еліпса: сума відстаней від будь-якої точки еліпса до його фокусів величина стала, рівна 2}_a_.

_{Розміри еліпса визначаються розмірами його великої піввісі}_a_._{Форма еліпса визначається однією з наведених вище відносних величин, найчастіше стисненням α [9].}

_{За допомогою наступної формули легко встановити зв’язок між великою та малою піввіссю:}

_{Крім того, часто застосовується ще одна лінійна величина, яка визначається рівністю}

_{Установимо систему декартових прямокутних просторових координат наступним чином. Початок координат помістимо в центрі еліпсоїду, вісь}_z_{направимо вздовж осі обертання, вісь}_x_–_{в площині, перпендикулярній до осі обертання,}_вісь_y_{доповнює систему координат до правої (рис. 1.2).}

Рис. 1.1. Еліпсоїд в декартовій системі координат

_{З аналітичної геометрії відомо, що в цій системі координат рівняння поверхні еліпсоїду обертання в канонічні формі має вигляд}

_{Помноживши його на}_a₂_{, отримаємо інший вид рівняння поверхні еліпсоїду обертання:}

_{Нехай маємо площину}_{z = const}_{. Знайдемо слід перетину поверхні еліпсоїду з цією площиною. Сумісний розв’язок рівнянь цієї площини і поверхні еліпсоїду дасть нам рівняння кола}

_де_r_{– радіус кола.}

_{Таким чином, площини}_{z = const}_{, перетинаючись з поверхнею еліпсоїду, дають нам коло. Ці кола називаються паралелями (}_r₌_const_).

_{Паралель з найбільшим радіусом називається екватором.}

_{Екватор ділить еліпсоїд на дві семетричні половини. Верхній напівсфероїд з полюсом}_P_{(рис. 1.2) називається північним напівсфероїдом, нижній з полюсом}_P_{1 – південним напівсфероїдом.}

_{Будь-якій паралелі з радіусом}_r_{у північному напівсфероїді відповідає з таким самим радіусом паралель у південному напівсфероїді. Перетинаючи поверхню еліпсоїду обертання площинами, які проходять через вісь обертання, обертання, отримаємо однакові криві – еліпси. Половина кожного еліпсу, розташована між полюсами, називається меридіаном.}

_{Паралелі та меридіани можна прийняти в якості системи ортогональних координатних ліній на еліпсоїді. Це можливо, так як кожна паралель перетинається з кожним меридіаном під прямим кутом, а їх перетин визначає положення єдиної точки на поверхні даного напівсфероїду. Виключення становлять полюси}_P_і_P_{1, в яких сходяться всі меридіани. Полюси являють собою так звані особливі точки поверхні для даної системи координатних ліній – меридіанів та паралелей.}

_{Звісно, для якої-небудь іншої системи координатних ліній полюси можуть бути і не особливими точками.}

_{Сімейство паралелей і сімейство меридіан являють собою найбільш просту мережу координатних ліній на поверхні еліпсоїда.}

_{Ця мережа аналогічна мережі координат на площині з різницею: в останній координатні лінії – прямі, тоді як меридіани і паралелі – криві лінії.}

_{В якості координат на поверхні еліпсоїду можна було б ввести лінійні величини – довжини дуг меридіан і паралелей. Така система координат можлива, але дуже незручна і створює серйозні труднощі при обробці результатів геодезичних вимірів, хоча вона застосовується в математичній картографії в деяких випадках при зображенні еліпсоїду на площині.}

_{Як відомо, з диференціальної геометрії, для одного і того ж сімейства координатних ліній можно визначити різного роду координати, кожна з яких повинна зберігати свою величину у всіх точках однієї і тієї ж координатної лінії. Наприклад, для паралелі в якості координати можна було б взяти радіус паралелі}_r_{або аплікату}_z_.

_{У геодезії в якості координат для меридіан і паралелей прийняті кутові величини. Перейдемо до їх розгляду.}

_{Приймемо один із меридіанів за початковий. Тоді положення будь-якого іншого меридіану буде визначатися двохгранним кутом, утвореним площиною початкового меридіану і площиною даного меридіану. Цей кут має однакову величину для всіх точок даного меридіану і, отже, може бути прийнятий в якості координати для меридіану. Він позначається літерою}_L_{і називається геодезичною довготою.}

_{Довготи, які відраховуються від площини початкового меридіану до сходу (в полюсі – проти руху годинникової стрілки) в межах від 0 до +180° – західними довготами.}

_{Таким чином, меридіан є координатна лінія, у всіх точках якої геодезична довгота має однакову величину.}

_{Перейдемо до встановлення координати для паралелі.}

_{В деякій точці}_Q_(рис.₁_{.2) проведемо головну нормаль меридіану, яка перетинає вісь обертання в точці .}

_{Внаслідок симетричності поверхня еліпсоїду відносно меридіану пряма}_Qn_{буде перпендикулярна одночасно до дотичної до меридіана і дотичної площини в точці}_Q_{. А це означає, що що напрямок головної нормалі меридіану співпадає з напрямком нормалі до поверхні еліпсоїду.}

_{Гострий кут, утворений нормаллю до поверхні еліпсоїду і площиною екватора, називається геодезичною широтою і позначається літерою}_B_.

_{Геодезична широта відраховується від площини екватора у межах від 0 до 90°. Для точок, розміщених у північному напівсфероїді, її прийнято вважати додатною, а у південному – від}_’_ємною.

_{Таким чином, паралель – це координатна лінія, у всіх точках якої геодезична широта має однакову величину.}

_{Система геодезичних координат}_B_і_L_{являє собою головну систему координат, яка дозволяє днозначно визначити положення будь-якої точки на поверхні еліпсоїду. Вона широко застосовується в геодезії і картографії. Прктичне значення її в тому, що геодезичні координати}_B_і_L_{незначно відрізняються від астрономічних координат φ і λ, які визначаються астрономічними методами незалежно від геодезичних вимірів [10].}

_{1.3. Площа сфероїдної трапеції}

_{Сфероїдною трапецією називається частина поверхні еліпсоїду, обмежена меридіанами та паралелями (рис. 1.3).}

Рис. 1.2. Сфероїдна трапеція

Знайдемо формулу для обчислення площі стероїдної трапеції. Елемент площі dP рівний добутку диференціалів дуг координатних ліній і:

_{Так як}

то

Звідси спочатку знайдемо

Інтеграл правої частини цього рівняння може бути виражний в елементарних функціях. Користуючись підстановкою

знайдемо

У правій частині інтеграл вже є табличним.

У результаті і інтегрування і повернення до вихідної змінної , отримаємо наступний вираз:

Обчислення площі за цією формулою достатньо складні. Тому на практиці користуються розкладом в ряд.

Підінтегральну функцію розкладають в біноміальний ряд. Тоді отримують:

Почленним інтегруванням цього ряду знайдемо кінцевий вираз:

Знайдемо площу усієї поверхні еліпсоїду. Нехай

Маємо

Знайдемо радіус еквівалентної кулі, площа якої дорівнює площі еліпсоїда, тобто

Звідси маємо

Для еліпсоїду Красовського радіус еквівалентної кулі дорівнює 6371 116 м.

Для розв’язку багатьох задач на Земній кулі для наближених розрахунків радіус Земної кулі приймають рівним 6371,1 км [11].

1.4. Обернена геодезична задача

Через дану точку на поверхні можна провести безліч множин різних ліній. Напрямок кожної лінії в даній точці встановлюється напрямних кутом, складенням однією з координатних ліній і даною лінією, точніше, кутом між дотичними до цих ліній.

На поверхні земного еліпсоїда в якості направляючого кута приймається кут між дотичними, проведеними до меридіану в північному напрямку і до даної лінії. він відраховується від меридіана в напрямку руху годинникової стрілки.

Цей кут називається геодезичним азимутом і позначається латинською буквою А.

Геодезичний азимут можна також визначити як двогранний кут між площиною меридіана і нормальної площиною, що проходить через дотичну до даної лінії. Один і той же азимут може мати і кілька різних ліній, якщо вони мають загальну дотичну в даній точці. Наприклад, паралель і перший вертикал в заданій точці поверхні мають однаковий азимут, рівний 90 ° (або 270 °), хоча розташовані вони в різних площинах.

Диференціал дуги ds довільної кривої називають лінійним елементом поверхні.

Проектуючи лінійний елемент на координатні лінії, отримаємо диференціал дуг меридіана і паралелі. Тому, можемо написати :

Звідси маємо:

Права частина останньої рівності називається першою квадратичною формою поверхні еліпсоїда в функції геодезичних координат.

З рівності (2.1.1) можна знайти такі диференціальні рівняння:

Ці рівняння показують характер змін широти і довготи при русі уздовж будь-якої лінії s на поверхні еліпсоїда.

Опис методу Гауса

Візьмемо точку C, розташовану на середині кривої Q₁Q₂. Якщо довжина геодезичної лінії Q₁Q₂рівна s, то точка C буде знаходитися від точок Q₁і Q₂на однаковій відстані

Позначимо координати точки C через B₀,L₀ і азимут геодезичної лінії в цій точці через A₁₂.

Запишемо ряди для обрахування різниці широт точок Q₁ і C, а також Q₂і Cпо аналогії з першою формулою, приймаючи точку Cза початкову.

Віднімаючи від другого ряду перший, знаходимо шукану різницю широт точок Q₁ і Q₂з урахуванням членів четвертого порядку включно

Рис. 1.3. Ілюстрація оберненої геодезичної задачі

Аналогічно, використовуючи ряди для приросту довгот і азимутів, отримаємо

Нульовий індекс у формулах показує, що похідні мають братися по B₀,L₀і A₀.

Порівняння рядів показує безсумнівну перевагу рядів із середніми аргументами, а саме:

члени з парними степенями зникли;
коефіцієнти членів з непарними степенями, які залишилися, зменшилися в декілька разів.

Тому нові ряди краще збігаються і мають більш компактний вигляд.

Значення B₀,L₀і A₀, нам невідомі, тому доцільніше перейти до середніх значень широти, довготи і азимуту

Ці значення відповідають точкам B_m,L_mі A_m, і на рис.2.1, які не співпадають між собою і з точкою C. Тому у формулах необхідно внести поправки за різниці (B_m– B₀), (L_m– L₀) і (A_m– A₀).

Із врахуванням вказаних поправок кінцеві формули матимуть вигляд:

Всі коефіцієнти при s і s³у формулах являються функціями середньої широти B_m і середнього азимуту A_m. Якщо визначити значення похідних і підставити їх у , то отримаємо так звані повні формули Гауса із середньою широтою і середнім азимутом, які не враховують лише члени п’ятого порядку малості. Їх застосовують для розв’язання прямих і обернених геодезичних задач при відстанях до 200 км. При виведенні менш точних формул для s < 30-40 км можуть бути відкинуті члени четвертого порядку малості. За цієї умови після надходження частинних похідних, підстановки їх в рівняння і зведення подібних членів отримаємо:

Пряма геодезична задача. Із помилкою на величини п’ятого порядку запис членів у формулах можна спростити. Тоді

Маючи різниці координат і азимутів, можна знайти координати кінцевої точки і обернений азимут:

При рішенні прямої задачі середні значення широт і азимутів являються невідомими. Невідомі також різниці b, l і a, необхідні для обчислення поправочних членів. Тому рішення прямої задачі із середніми аргументами може бути виконано тільки способом послідовних наближень, при чому в першому наближенні приймається, що

або ж ці координати визначають наближено, наприклад по картах.
Обернена геодезична задача. При рішенні оберненої геодезичної задачі середні аргументи визначаються просто, так як відомі координати початкової і кінцевої точок. В цьому випадку відразу визначаються різниці

, а також середня широта

. Тим самим основний недолік рішення прямої геодезичної задачі, пов’язаний з необхідністю використання методу послідовних наближень, в даному випадку виключається. Із формули отримаємо

Рішення задачі завершується застосуванням наступних формул:

По знаках чисельника і знаменника визначають чверть, до якої відноситься азимут

.

1.5. Повний поворот контура

В загальному випадку визначення площі багатокутника на викривленій поверхні – нетривіальна задача. Потрібно інтегрувати по поверхні з границями, що задані неявно.

Рис. 1.3. Кути при вершині полігону

Уявимо собі точку, що рухається по контуру полігона. Вершини – точки повороту. Внутрішній кут при вершині θ дорівнює різниці азимутів направлень а в попередню і наступну вершину, а поворот – кут т, суміжний внутрішньому.

На евклідовій поверхні, проходячи любий замкнутий контур без самопересечений, точка здійснює поворот рівно на одну
скачати