Ім'я файлу: короткі теоретичні відомості.docx
Розширення: docx
Розмір: 128кб.
Дата: 11.11.2020
скачати
Пов'язані файли:
МОДУЛЬ_2_економіка_підприємства_051_19_1 (1).docx
Розширення: docx
Розмір: 128кб.
Дата: 11.11.2020
скачати
Пов'язані файли:
МОДУЛЬ_2_економіка_підприємства_051_19_1 (1).docx
2. Зародження і розвиток перших математичних уявлень у праукраїнців.
2.1. Передісторія математики. Це ті часи, коли виникли і почали використовуватися первісною людиною поняття й уміння, які згодом оформились у математичні: число, рахунок, геометрична форма, побудова тощо.
Щоб отримати уявлення про цей період накопичення математичних знань, слід звернутись до матеріалів археології, порівняльного мовознавства і етнографії. На території України виявлено 25 археологічних культур: від другої половини VI тисячоліття до н.е. до V століття н.е.
Так на місці відомої Мізинської стоянки, вік якої 30-25 тис. років знайдено вироби із кісток, прикрашені геометричними орнаментами, зокрема браслети. Один із них складається із п’яти смуг, прикрашених паралельними штрихами у вигляді ялинки. Вивчення цього орнаменту наводить на думку, що у його творця існували ідеї: кількості і рахунку (кількість штрихів на смугах однакова), симетрії, вимірювання (відстань між штрихами і їх довжина однакові), кута і нахилу, перші уявлення про геометричну форму (відрізок прямої, точка, квадрат, трикутник).
В період мідно-кам’яного віку – енеоліту (від 4 тис. до 3 тис. рр. до н.е.) на території України склалася яскрава трипільська культура (назва від с. Трипілля на Київщині). Трипільці головним чином займались землеробством і скотарством, знаряддя праці виготовляли з каменю і міді, кісток і рогів тварин, уміли гарно розписувати орнаментом посуд, із міді виготовляли прикраси і культові предмети. Їх житло мало досить точний прямокутний план, тобто вони уміли вимірювати відрізки і будувати прямий кут.
Орнаменти трипільців відрізняються складною і геометричною точністю, розширенням арсеналу елементів, що мають геометричний зміст. Зокрема з’являються кола і спіралі. Самі спіральні вироби мають правильні геометричні форми. Число набуває містичного значення: дощ символізується з чотирма потоками, що виливаються із хмари у вигляді півкола, чотири деталі на поверхні посудини, символізують чотири божества. Особливе значення мало число три (нерідко людина зображається із трьома пальцями замість п’яти). Деякі елементи трипільського орнаменту підтверджують, що автори знали дію ділення: ділення пополам зображень хвилястою лінією, “триярусне” зображення людей з двома парами рук кожне. Знахідки трипільської культури дозволяють стверджувати, що трипільці виробили деякі обчислювальні системи.
Лінгвістичні дані свідчать, що вже в ІІІ тисячолітті до н.е. населення Східної Європи знало рахунок до тисячі (єдність походження чисел, що означають перший десяток, сто і тисячу), була відома дія додавання (слова, що визначають числа другого, третього і т.д. десятків), множення (слова, що означають 20,30,40, ..., 90), ділення на два, три, чотири (слова для позначення половини, треті, четверті). Тобто в цей час існували дії усної математики.
За археологічними матеріалами можна скласти певні уявлення про рівень математичних знань у пізніх скіфів і сарматів. Про геометричні знання скіфів свідчать залишки пам’яток, знайдених при розкопках городища на околиці Сімферополя. Це були залишки міста Неаполіса – столиці Скіфії в ІІІ – ІІ ст. до н.е. Там знайдено зерносховище, вирубане в скелі у формі прямокутного паралелепіпеда, розміром 11,75м
5,47м 0,9м. Вивчення плану міста показує, що вулиці були прямолінійними, будинки будувались паралельно міській стіні і стінам сусідніх будинків. У І ст. до н.е. – І ст. н.е. скіфам стають відомі властивості кола. В деяких орнаментах зустрічаються кола, поділені на 3, 4, 6 і 8 рівних частин, концентричні кола, а також кола з вписаними правильними многокутниками. Про ідею симетрії свідчать прикраси із золота і срібла, знайдені у скіфських курганах; щити, чаші, фігурки людей і тварин, нагрудна золота прикраса – пектораль (IV ст. до н.е.). Виходячи із рівня будівельних прийомів, пропорцій споруд, торгівлі із сусідами, значних розмірів планів міст, можна допустити, що скіфи в ІІ – І ст. до н.е. рахували до тисячі і використовували чотири арифметичні дії. Пізніше у них з’явилась п’ятіркова система числення, дроби із знаменником п’ять (виявилось, що більшість засічок на кістах тварин кратна 5). Тривале спілкування скіфів і сарматів з ольвійськими, херсонеськими і боспорськими греками привело до запозичень у останніх разом з писеменістю і деяких математичних знань.
2.2. Математика в державах Північного Причорномор’я. Однією з найцікавіших сторінок минулого нашої Батьківщини є історія і культура античних держав Півночного Причорномор’я, заснованих греками у VII – V ст. до н. е. За час свого існування протягом майже тисячі років (до IV ст. н. е.) вони досягли значного розвитку у матеріальному виробництві, містобудівництві, культурі та мистецтві. Ці держави знаходились у тісному зв’язку з оточуючим їх іноплемінним світом і зіграли значну роль в історичній долі скіфів, сарматів, фракійців, таврів, синдів, меотів: збагатили їх досягненнями античного світу, особливо в області ремесла і мистецтва. Досягнення античних держав Північного Причорномор’я не пройшли безслідно для наступних поколінь на нашій території. Риси античної культури просліджуються в області техніки і мистецтва слов’ян майже до часів Київської Русі.
Близько середини VII ст. до н. е., переселившись на північний берег Чорного моря, греки заснували на нинішньому острові Березань своє поселення. Протягом VI ст. на Північному узбережжі виникало ряд міст і багато сільських поселень. Найбільші з них – Ольвія на правому березі Бузького лиману, Тіра (на місці теперішньго Білгород-Дністровського) – на правому березі Дністровського лиману, Феодосія, Пантікапей – теперішня Керч, Фанагорія, а також Херсонес.
Головним організатором переселенського руху в райони Чорного і Азовського морів було велике грецьке місто Мілет. До мілетян приєдналися десятки тисяч греків з інших областей, особливо з малоазійської та острівної Греції. Переселення великої кількості греків у Північне Причорномор’я було однією із ланок великої колонізації, яка охопила грецький світ у VIII – VII ст. до н. е. З самого початку колонізації греки вступили в спілкування з іноплемінним оточенням, головним чином – економічні. Такі взаємовідносини сприяли взаємним впливам, перш за все в галузі виробництва, культури і побуту. З часом спостерігається переселення найбільш заможних скіфів, сарматів, таврів, синдів, меотів, фракійців до грецьких міст.
Найбільш значним грецьким містом Північно-Західного Причорномор’я була Ольвія, яку заснували у першій половині VI ст. до н. е. мілетяни і жителі інших частин Греції. Ольвія була містом високої культури. Тут були розвинені писемність, образотворче мистецтво, існував театр. Робити певні висновки щодо розвитку математики в Ольвії можна, виходячи поперше з того як будувалися міста, як обиралася територія для побудови.
Трикутна форма міської території інші природні перешкоди не дозволяли грекам мати єдину для всього міста систему планування. Але скрізь, де це можливо, вулиці були прокладені в прямолінійній системі. Там, де можливо, вулиці прокладалися перпендикулярно: повздовжені – з півночі на південь, що диктувалося напрямком берега лиману і головною віссю міської території, та поперечні – з заходу на схід. При плануванні міст дуже широко застосовуються знання з геометрії, арифметики, а отже переселенці, які будували ці міста вже досить глибоко володіли математичними знаннями і застосовували їх для планування кварталів. Міські квартали в районах міста з регулярним плануванням мали прямокутну форму. Звичайним для Ольвії були квартали розмірами від 19
35 до 40 50 м. Мешканці Ольвії будували житлові будинки, оборонні споруди, а також виробничі будови, які вимагали спеціальних знань, оскільки містили спеціальні кімнати, в яких зберігали зерно і фураж, склади тари для вина й олії.
Наприкінці V ст. до н.е. був заснований Херсонес. Спочатку місто займало невелику територію, простягаючись на Захід приблизно до восьмої поперечної вулиці, потім воно стало поступово розростатися в сторону пісочної бухти. Як і в Ольвії Херсонес мав свою напружену систему оборони. Стіни і башти захищали місто з усіх боків. Загальна протяжність стін становила 3,5 км, максимальна товщина їх 3,80 м, висота 8-10 м. У системі укріплень було 24 прямокутні і круглі вежі. Така складна оборонна система вимагала від конструкторів принаймні деяких математичних уявлень, вміння робити креслення, планувати розташування захисних балок, стін та башт.
Загальна площа міста становила близько 40 га. Відповідно до рельєфу місцевості вулиці розплановані в двох напрямках: з південного заходу на північний схід і з південного сходу на північний захід. Головна магістраль простягалася з південного заходу на північний схід на 900 м. Паралельно головній магістралі проведено ще кілька позвдовжних вулиць, які під прямим кутом перетинають близько 20 поперечних вулиць.
Про високий (на той час) рівень математичної підготовки будівельників свідчить Херсонеський театр. Побудований, ще в елліністичну епоху, він проіснував до IV ст. до н.е. Ця монументальна споруда, напевно, складалася з восьми секторів і вміщував близько 3 тисяч глядачів.
Вже в VI ст. до н.е. північночорноморські керамісти почали виготовляти художньо розписаний посуд – амфори, блюда, кілікі. Широкого розповсюдження розписна кераміки набуває в еліністичний час: на Боспорі, у Херсонесі та Ольвії. Дивлячись на посуд, видно, що блюда, частинки амфор в своїй основі мають форму кола, крім того, після виходу посуду з майстерні на ньому обовязково позначалися вмісткість у літрах. При чому окремо позначалася вмісткість сипучих речовин, і окремо – рідких.
Окрім гончарної промисловості в античних центрах Північного Причорномор’я дуже високого рівня розвитку досягла ювелірна галузь виробництва. Форма прикрас нагадує геометричні фігури, крім цього визначався розмір обручок, браслетів індивідуальних для кожного замовника.
Все це підтверджує надзвичайно високий рівень розвитку античних міст Північного Причорномор’я і може свідчит про те, що розвиток культури, науки і виробництва того часу в грецьких колоніях не поступався загальнодержавному.
Перші найвідоміші математичні школи Стародавньої Греції виникали на заході Малої Азії, в Іонії, а саме в містах Мілет, Самос, Хіос. Там народились і працювали перші найвідомоші математики: Фалос Мілетський, Піфагор Самоський, Гіппократ Хіоський, Анаксагор Клаземенський, Евдокс Кнідський та ін. Звідти, з Іонії, почалась розвиватись математика Стародавньої Греції і всієї Європи. Ольвію і майже всі міста Північного Причорномор’я заснували виходці з Мілету. Тому тут поширювались насамперед та математика, яка створювалась в Мілеті.
У Стародавній Греції існували школи трьох рівнів. Найнижичого рівня – школи граматиста чи кифариста. Діти 7 – 14 років у цих школах, крім іншого, вчилися писати на навощеній дощеці і рахувати. Навчались вони також розв’язувати нескладні арифметичні задачі, ознайомлювались з простішими геометричними фігурами. Після закінчення школи граматиста чи кифариста деякі діти продовжували навчання в палестрі. Тут багато уваги приділяли гімнастиці, але й за науку не забували. А до науки тоді насамперед відносили математику. Найвища школа Стародавньої Греції – гімнасій. Учителями тут були найвідоміші математики і філософи, які добре знали і цінили математику.
Гімнасії існували в Олівії і Херсонесі. В інших містах були палестри. Школи граматиста чи кифариста могли існувати і в більших сільских поселеннях, яких за 5 віків до нашої ери нараховувалось кілька сотень. Діти перших років навчання опановували нумерацію. В палестрах і гімнасіях розглядали також властивості простих, складених, парних, квадратних, трикутних та інших чисел, арифметичної, геометричної, музикальної пропорцій тощо. І все ж давньогрецькі вчені більше уваги приділяли геометрії. Зрозуміло, що в 6-5 ст. до н.е. учням з геометрії пояснювалось не більше, ніж знав Фалес. У наступних століттях обсяг геометричного матеріалу грецьким школярам давався значно більший. Не виключено, що в Ольвії і Херсонесі були вчителі, обізнані з матеріалом, зібраним у перших книгах “Початків” Евкліда.
З середини 5 ст. до н.е. в школах Греції запроваджено сім вільних наук. Перша частина цього комплексу- граматика, риторика і діалектика, а друга частина – арифметика, геометрія, астрономія і музика. Тоді астрономію і музику тісно пов’язували з математикою, вони були як би двома частинами прикладної математики. Щодо арифметики і геометрії, то мались на увазі цілком абстракні науки.
Найвищого рівня розвитку Ольвія досягла в 4 ст. до н.е. Згодом під натиском скіфських, сарматських та інших кочівників вони ослабла, а в І ст. до н.е. її зовсім зруйнували. Херсонес тримався довше Олівії. Навіть за часів Київської Русі в Херсонесі діяли школи. Тільки рівень викладання математики в них був небагато нижчим, ніж раніше. Як і в усій тодішній Європі.
Спілкування скіфів і сарматів з греками ольвійськими, херсонеськими і боспорськими привело до запозичення деяких математичних знаків: іонійська нумерація, прийоми обчислень тощо. Загалом рабовласницькі держави Кіммерія, Таврикос, Скіфія і Сарматія, грецькі міста-держави Ольвія, Херсонес, залишили помітний слід в історії України, сприяли культурному збагаченню сусідніх земель, і серед них – слов’янських.
2.3. Математичні знання східних слов’ян (від І ст. до ІV ст. н.е.). Історія східних слов’ян починається на рубежі бронзового і раннього залізного віків. Слов’яни здавна розселилися в Східній Європі і на території сучасної України. Про рівень математичних знань східних слов’ян у І – ІІ ст. н.е. свідчить грошовий обіг, який здійснювався з використанням римської срібної монети. Про рівень астрономічних знань ( які в свою чергу обумовлюють математичні) свідчить давньослов’янський календар, знайдений на території с. Ромашки на Київщині. Цей календар, який датується IV – V ст. н.е., було нанесено у вигляді орнаменту на стінки великого глечика. Ним охоплювався період з 1 квітня до 6 серпня і відображався своєрідний розклад сільськогосподарського циклу. Основними зафіксованими датами в календарі були: 4 червня (день Ярила), 24 червня (свято Купала), 20 липня (день бога Грому). Дні між цими датами зображалися у вигляді маленьких квадратиків, кількість яких у всіх випадках точно відповідала кількості днів, що відділяла одне свято від іншого.
Походження знань в галузі геометрії носить практичний характер. В народному мистецтві простежуються два стилі: “звіриний” і “геометричний” – створення орнаментів з трикутників, ромбів, квадратів, кругів, паралельних і перпендикулярних ліній. Використовувались знаки-символи: хрести, ромби, квадрати, кола та інші фігури. Символами влади вождів вживали залізні тризубці. Будуючи житло східні слов’яни користувались властивістю діагоналей прямокутника, вироблялись різні способи вимірювання висоти предметів, відстані до них, наприклад, при побудові кам’яних фігур ідолів (богів) 2-3 м заввишки, князівські могили насипали іноді висотою до десятків метрів.
Знайомство з народними мірами і засобами вимірювання дає можливість вивчити світ просторових уявлень людей, допомагає вивчити їх геометричні знання і вміння обчислювати. З розвитком сільськогосподарських робіт вдосконалюються засоби визначення площі прямокутника, трапеції, трикутників. Деякі джерела свідчать, що площа трапеції обчислювалась як добуток півсуми основ на меншу бічну сторону, площа трикутника – як половина добутку сторін, що містять найбільший кут. Поле довільної форми розбивали на частини, площу яких вміли визначати. В сільському господарстві і побуті були предмети різної форми: циліндричної, кубічної, прямокутного паралелепіпеда, конічна поверхня (курені). З часом вдосконалюються методи обчислення об’ємів таких тіл.
Поширення математичних знань на території України до ХІХ ст.
3.1. Математика Київської Русі. Головними джерелами, які дають
уявлення про про рівень математичних знань у Київській Русі є писемні твори, що містять деякі математичні відомості, а також пам’ятки зодчества, ремесла і народна творчість.
Найдавнішим пам’ятником математичних знань усієї епохи Київської Русі є математичний твір монаха Кирика Новгородського “Вчення бачити людині всіх років” (1134). Цей твір присвячено арифметико-хронологічним розрахункам. В ньому автор показує, як визначати кількість років, місяців, тижнів, днів і годин, що пройшли від створення світу; кількість високосних років; кількість в році звичайних і місячних місяців, тижнів, днів і годин; кількість годин в одному дні. Для визначення днів, на які припадають християнські свята, Кирик розглядає “вчення про індикту” (рахунок п’ятнадцятиріччями), “сонячний круг” (період у 28 років, після якого новий рік юліанського календаря припадає на той же день тижня), “місячний круг” (період у 19 років, після якого місячні фази припадають на ті ж числа місяця юліанського календаря), “великий круг” – період в 532 роки (532 = 1928).
Аналізі цього твору свідчить про те, що його автор володів чотирма діями арифметики, знав дії з дробовими числами, мав уявлення про геометричну прогресію.
В збірнику “Руської Правди” (перший збірник законів за часів Ярослава Мудрого) міститься 47 статей, з яких 36 містять відомості про грошову систему (1 гривня = 20 ногатам = 25 кунам = 50 резанам). В цьому та інших збірниках того часу містяться задачі про відсотки на позичені гроші, подаються сільськогосподарські розрахунки, розглядаються задачі, розв’язання яких зводиться до геометричної прогресії і чисел Фібоначчі.
Ймовірно саме такі математичні знання мали освічені люди в Київській Русі. (Порівняйте з розвитком математики в Стародавніх Єгипті, Вавилоні і Греції). Чи були в Київській Русі школи? Володимир Святославоич ще в 988 р. заснував школу “книжного учения”. А в 1060 р. Ярослав Мудрий “собра от старост и поповых детей 300 учити книгам”. Навіть окремі жінки були грамотні. Наприклад, дочка чернігівського князя Єфросиня “не в Афинеях учися, но афинейские премудрости изучи…философию же и историю и всю грамматикою, числа и кругов обхождение”. Ото ж були в Київській Русі і школи, було й ідивідуальне навчання. Але математики як окремого навчально предмета в них не вивчали. Окремих дітей і юнаків знайомили тільки з нумерацією та простішими арифметичними діями. Починаючи з 10 ст., числа на Русі позначали кириличними буквами-алфавітом, запровадженим Кирилом та Мефодієм. Ця нумерація схожа до іонійської. тільки букви мали інші форми.
Деякі відомості про рівень математичних знань в Київській Русі можна одержати, вивчаючи її архітектуру і ремесло, а також народне мистецтво. Зодчі Київської Русі знали арифметику і геометрію. Для створення архітектурної форми вони використовували геометричні побудови, найпростіші відношення: 1:2, 2:3, 3:4, 4:5, 5:6, а також золотий переріз. Геометричні знання передавалися здебільшого майстровими людьми. Добрі будівельники Київської Русі вміли провішувати прямі, будувати прямі кути, проводити кола, ділити їх на кілька рівних частин, проводити паралельні прямі і т. ін. Ці знання передавались від майстра до учня індивідуально, як секрети майстерності. Ніяких доведень теорем вони, звичайно, не розглядали.
Вважається, що основою архітектурної творчості була математика, зокрема геометрія. Деякі знання з математики мали також давньоруські майстри. В Київській Русі зустрічається посуд різної форми, який змінювався. Зміну геометричних форм можна прослідкувати, наприклад, по фібулам (металічна застібка для одягу). Перша фібула складається з двох щитків (у вигляді півкола і ромбічного), в другій – півколо ділиться на 5 рівних частин, в третій – на 8, в четвертій, п’ятій і шостій – на 5, в сьомій – на 6 частин. Знахідки в давньоруських курганах свідчать, що в ХІІ – ХІІІ ст.ст. були розповсюджені орнаменти різних прикрас, що виконувались за допомогою металевого зубчастого коліщатка з 24 зубцями. А для цього потрібно було поділити коло на 24 рівні частини.
Гончарні клейма Х – ХІ ст.ст. мали певну геометричну форму: квадрат, концентричні кола, часто поділені на чотири, шість, вісім рівних частин. Різноманітні форми зустрічаються в продукції різних видів ремесел: шлеми, браслети та інші прикраси, посуд. Майстри Київської Русі знали плоскі фігури – квадрат, прямокутник, паралелограм, ромб, круг, а також геометричні тіла – куб, паралелепіпед, піраміда, циліндр, конус, куля, призма з різними основами. Вони використовували поділ кола на 4,5,6,8 і 24 частини.
Як свідчать стародавні пам’ятки історії, давні слов’яни користувались алфавітною нумерацією. Слов’янська кирилівська нумерація будувалась аналогічно до грецької (іонійської) на основі алфавіту (кирилиці) і складалася з 27 головних символів для позначення одиниць, десятків і сотень. Для відмінності символів, що виражають числа від літер над ними ставили знак “титло”. Не використовувалась у якості цифри друга літера кирилиці Б. Для позначення одиниць вищих розрядів існувала система допоміжних символів, які означали: 103тисяча, 106 – тьма, 1012 – легіон , 1024 – леодр, 1048 – ворон. Джерела ХІ ст. свідчать про те, що слов’яни на той час вже були обізнані з індійською нумерацією.
У Київській Русі були поширені такі одиниці довжини: “п’ядь, чверть, лікоть, сажень, верста, поприще. П’ядь – відстань від кінця великого пальця до вказівного, дорівнювала вона приблизно 19 см. Чверть або велика п’ядь від кінця великого пальця до мізинця (
23 см). Ліктем називалась відстань від кінця витягнутого середнього пальця руки до ліктьового згину, приблизно 46 см. Різних сажнів існувало біля десяти (від 151 см до 216 см). Верста дорівнюваоа приблизно 500 сажням. Поприще – інша назва версти. Однак, у різні часи і в ріхних місцях співвіднощення між різними значеннями величин були різними, зокрема й такими: 1 верста = 750 сажнів = 2250 ліктів = 4500 п’ядей.Окремої міри площі не існувало. Налог чи данину брали тоді не з площі поля, а “з сохи”, з “рала”. Об’єми сипучих тіл виміряли кадями, половиками, убороками, луканами, а рідини – відрами, бочками і т.п.
Головна грошова одиниця – гривня, була і вагою, і грошовою одиницею. В давній Русі були гривні вагою 96 або 48 золотників (1фунт - 96 золотників).
1 2 3 4 5 6