Атестаційна робота пояснювальна записка сторінка 2

31 квантової суперпозиції, простором станів такого квантового регістра є 2
𝐿
-мірний ймовірнісний гільбертовий простір. Кожній операції над квантовим регістром відповідає поворот вектору стану регістра в гільбертовому просторі. Внаслідок таких властивостей, квантовий комп’ютера з 𝐿 кубітами, що знаходяться у суперпозиції, може виконувати паралельно 2
𝐿
операцій. Загалом квантова система з 𝐿 кубітів на борту, має 2
𝐿
класичних станів (00000 (𝐿 -нулів), 00001 (𝐿 -цифр), ..., 11111 (𝐿 - одиниць)), кожен з яких може бути отриманий під час вимірювання з вірогідністю від
0 до 100%.
|𝜓⟩ = ∑ 𝑐
𝑛
|𝑛⟩
2
𝐿
−1
𝑛=0
,
(2.1) де
|n> - базисні квантові стани (наприклад, стан |001101>;
|c n
|
2
– це ймовірність отримання базисного стану |n>, як результату вимірювання
З вищеописаного виходить, що одна операція над групою кубітів впливає на вірогідності усіх можливих (базисних) значень, що і забезпечує абсолютний паралелізм обчислень.
Під час квантових обчислень, квантова програма уявляє собою послідовність квантових логічних операцій (гейтів) над введеними даними, які з математичної точки зору описуються унітарним перетворенням (матрицями певної розмірності), які впливають на ймовірнісне поле станів усього регістру, що можна спостерігати на рисунку 2.1. Як результат такої властивості, вихідний квантовий стан квантового комп’ютера стає новою суперпозицією через усього кілька тактів роботи [9].
Окрім цього, для квантового комп’ютера можна побудувати необмежену кількість перетворень, що не мають класичних аналогів.

32
Рисунок 2.1 – Архітектура квантового комп’ютера
Обчислювальні перетворення в квантових обчисленнях прийнято називати вентилями або гейтами. Для регістрів у класичному комп’ютері існує тільки один однобітний гейт, а саме базисне перетворення not.
В той же час для квантового регістру існує набагато більше однокубітних перетворень. Серед таких перетворень, для яких існує проста фізична інтерпретація, можна виділити наступні перетворення: S-фазовий гейт, π / 8-гейт, H-гейт Адамара
(2.2).
Н =
1
√2
(
1 1
1 −1
),
𝑆 = (
1 0
0
𝑖
),
𝑅 = (
1 0
0
𝑒
𝑖𝜋/4
),
(2.2) де
H - гейт Адамара;
S - фазовий гейт;
R - π / 8-гейт.

33
Для визначення стану n-розрядного регістру необхідно тензорно помножити n кубітів регістру.Так, наприклад, дано два кубіта у станах| Q
1
> і | Q
2
>, тоді для визначення стану 2-розрядного регістра необхідно розрахувати їх тензорний добуток
(2.3).
|𝑄
12
>= |𝑄
1
> ⨂|𝑄
2
>,
(2.3) де
|Q
1
> та|Q
2
> - певні стани регістра;
|Q
12
> - загальний стан регістра.
Якщо кубіти знаходяться у зплутаному стані то описання стану регістра за допомогою тензорного добутку стає неможливим. Саме завдяки таким зплутаним станам квантові обчислення придатні для вирішення складних задач і саме завдяки ним забезпечується квантовий паралелізм.
Загалом же, стан регістра з двох кубітів описується формулою (2.4).
|𝑄
12
> = 𝑎|00 > +𝑏| 01 > +𝑐|10 > +𝑑|11 >,
(2.4) де a,b,c та d – деякі коефіцієнти ймовірності при можливих станах;
|Q
12
> - загальний стан регістра.
Ввівши умови нормування і ототожнення представлені формулою (2.5).
| ij> ≡ | i> ⊗ | j>,
(2.5) де
|i> та |j> - певні стани регістра;
|ij> - загальний стан регістра.
Маємо, що умовою невиконання є нерівність (2.6).

34
𝐴𝐷 − 𝐵𝐶 ≠ 0,
(2.6) де
A,B,C та D – деякі квантові стани системи.
Умова невиконання еквівалентна тому, що стан регістру | Q
12
> заплутаний Будь- який регістр у незаплутаному стані можна перетворити у регістр зі заплутаним станом використовуючи універсальний квантовий гейт, такий, що після його виконання сума ймовірностей всіх станів зберігається [10].
З опису квантових обчислювальним систем випливає те, що квантові алгоритмі маються деякі цікаві особливості. Базовою такою особливістю є те, що усі операції над кубітами оперують ймовірностями і усі обчислення мають ймовірнісний характер.
Зазвичай квантові алгоритми поділяють на три наступних класи:
 алгоритми для моделювання квантових систем та систем мікросівту;
 алгоритми пошуку на квантовому комп’ютері;
 алгоритми, які засновані на використанні квантового перетворення Фур'є.
Для кожної з перелічених задач квантовий комп’ютер дозволяє домогтися великого прискорення, яке досягається завдяки використанню, в обчисленнях, квантового паралелізму. Квантовий паралелізм робить можливим обчислення функції f (x) для великої кількості значень x одночасно [11].
2.2 Головні проблеми квантових обчислень
Квантова теорія, незважаючи на квантовий паралелізм, що полегшує роботу укладачів програм та алгоритмів, трохи обмежує їхні сфери діяльності. Вона створює певні проблеми, основні з яких ми розглянемо нижче.

35 2.2.1 Проблема клонування стану регістра на квантовому комп’ютері
Копіювання або передача інформації в регістр або між двома точками пам’яті є однією з базових операцій класичного комп’ютера. Але у квантовій теорії існує
"Теорема про заборону клонування" , яку сформулювали Вуттерс, Зурек та Дієкс [12] у 1982 році. Вона стверджує, що створення ідеальної копії довільного невідомого квантового стану є неможливим, та є фундаментальною у площині знань щодо квантової теорії інформації, квантових обчислень та суміжних.
Явище квантової телепортації допомагає обійти зазначену вище проблему. Цей термін вперше був згаданий у статті в журналі "Physical Review Letters" за 1993 рік.
Саме там є чіткий опис квантового явища, що запропонували назвати "телепортацією"
(англ. Teleporting), та його відмінності від досить популярного поняття "телепортації" серед авторів наукової фантастики. Квантова телепортація у науковому сенсі не може використовуватися як канал передачі енергії або речовини на будь-які відстані[13].
Замість того йде передача квантового стану на відстань за допомогою заплутаної пари та класичного каналу зв’язку. При такій телепортації квантовий стан руйнується під час проведення вимірювання у точці відправлення, та потім відтворюється у точці прийому.
Окрім передачі квантової інформації за допомогою квантового каналу, за класичним каналом обов’язково передається інформація, без якої повідомлення не може бути прочитано. Кореляції Ейнштейна - Подільського - Розена, що характерні для квантово-заплутаних часток використовуються для передачі “квантової”
інформації. Класичну інформацію можливо передати через звичайні канали зв’язку.
Зараз ми розглянемо досить простий приклад. Візьмемо квантову систему, що має 2 можливих стана ψ1 та ψ2 Для простоти розглянемо квантову систему з двома можливими станами ψ1 і ψ2 ( проекції спіна фотона або електрона на вісь). Не зважаючи на те, що системи такого зразка мають назву “кубіти”, за допомогою

36 способу, який описаний нижче можна передати стан будь-якій системі з кінцевою кількістю станів.
Перейдемо до розгляду опису квантової телепортації. Наприклад, відправник має частку А, вона знаходиться у довільному квантовому стані ψА = αψ1 + βψ2, та відправнику треба передати цей квантовий стан одержувачу. Мета відправника зробити так, щоб у розпорядженні одержувача опинилася частка В у ідентичному стані. Так, необхідно з максимальною точністю зробити трансфер значень двох комплексних чисел α і β. Головний критерій — не швидкість передачі інформації, а точність. Щоб досягти цієї мети, послідовно виконуються такі кроки:
 одержувач та відправник мають попередню домовленість про створення часток С та В, що є квантово заплутаними. Частка С потрапить до відправника, а частка В до одержувача. Обидві частки є квантово заплутаними, тож ступені свободи усієї пари часток описуються єдиним чотиривимірним вектором стану ψBC;
 загалом, квантова система частинок A і C має чотири стани, але її стан неможливо описати вектором, тому що повністю визначеним, або чистим станом володіє лише система з трьох частинок A, B, C. В той час, як відправник проводить вимірювання над системою з двох частинок A і C він отримує одне з 4 можливих значень вимірюваної величини. Така як в ході виміру система з трьох частинок A, B,
C колапсує в певний новий стан і стани частинок A і C стають повністю відомі, - заплутаність часток руйнується і частка B переходить до деякого певного квантового стану;
 саме перехід частки B до певного стану можна назвати процесом передачі
"квантової частини" інформації, або ж квантовою телепортацією Тим не менш, на цьому етапі дізнатися передану інформацію неможливо. Уся доступна одержувачеві
інформація, це інформація про зв’язок між станами частинок В та А, проте природа цього зв’язку, одержувачу, невідома;
 для того щоб одержувач отримав змістовну інформацію збережену у В, відправник повинен повідомити йому результат свого вимірювання використовуючи

37 класичні канали зв’язку. При цьому два біта, відповідні зачепленому стану AC втрачаються. Таким чином, слідуючи законам квантової механіки, приходимо до висновку, що знаючі стани частинок A і C, отримані шляхом вимірювання проведеного над парою цих частинок, і маючи частинку В заплутану з часткою C, одержувач матиме змогу зробити певні перетворення над станом частинки B і дізнатися початковий стан A.
Обмеженням такого виду передачі інформації є те, що одержувач зможе остаточно отримати інформацію тільки після того, як матиме доступ до даних, отриманими по обох каналах (класичному та квантовому), тобто одержувач не зможе дізнатися інформацію передану квантовим шляхом до того як отримає необхідні дані за класичним каналом.
Це явище отримало назву квантової телепортації (а не просто передачі даних) внаслідок того, що початковий стан частинки A руйнується після проведення над ним усіх необхідних дій. Внаслідок чого, можна сказати, що стан частинки A був не скопійований, а телепортований (перенесений) з одного місця в інше [14].
2.2.2 Проблема декогеренції
Теорія квантових обчислень розрахована на те, що квантові суперпозиції, якими описується стан 𝐿-кубітного регістру, в процесі обчислень, завжди залишаються когерентними. Проте, фізичні реалізації квантових комп’ютерів піддаються таким явищам, як: неточності в значеннях параметрів керуючих імпульсів, вплив неконтрольованого оточення на регістри, а також хаотична взаємодія між кубітами в регістрах. Ці явища призводять до декогеренції квантового стану регістрів. Це означає, що когерентний, тобто узгоджений стан системи) перетворюється в змішаний, хаотичний стан, для опису якого, використовують матрицю щільності.

38
Перехід до опису системи матрицею щільності означає, що інформації про фази базисних станів зникає, і позбавляє елементи квантової системи змоги інтерферувати
і заплутуватися. Простими словами, декогеренцію можна описати, як втрату системою її квантових властивостей та перехід роботи системи з площини квантової у площину класичної фізики.
Враховуючи вищеописане час за який починається декогеренції стану квантового комп’ютера, вважається важливою властивістю. Декогеренція квантових станів є однією з головних перешкод на шляху побудови великого практичного квантового комп’ютера. Особливо критичним є те що час за який квантова система втрачає когерентність має обернено пропорційну залежність до кількості операцій виконуваних на цим станом. Тобто для боротьби з декогеренцією треба, або скорочувати час виконання операцій, або ж збільшувати час за який відбувається декогеренція кубіта (тобто збільшувати резистентність кубітів до декогеренції). Тому вчені зараз активно шукають способи утримання квантового комп'ютера в когерентному стані протягом тривалого часу, щоб отримати можливість обчислення будь-якої задачі з великим (але поліноміальним) алгоритмом обчислень. На сьогодні головним методом для цього є метод квантової корекції помилок.
Цей метод полягає в періодичному очищенні стану квантового комп'ютера від малих помилок, які накопичуються в векторі стану через процеси декогеренції.
Завдяки такому процесу очищення стан регістру квантового комп’ютера не деградує до того ріквня, коли будь-які обчислення преестають бути доцільними і ведуть лише до хибних реузльтатів. Окрім цього метода, зараз ведеться дослідження активних методі боротьби з декогеренції. Тим не менш квантовий метод корекції помилок залишається головною надією дослідників на можливість побудови повномасштабного квантового комп'ютера, що працює в когерентному стані скільки завгодно тривалий час [15].

39 2.2.3 Ймовірнісний характер квантових обчислень
У квантових комп’ютерах стан системи описується суперпозицією, що означає наявність багатьох дискретних станів, пов’язаних за певними ймовірностями, одночасно. Це призводить до того, що правильний результат виконання алгоритму теж можна отримати лише з деякою ймовірністю, нехай і відмінною від 0. І це означає, що правильний результат можна отримати далеко не при кожному запуску квантового алгоритму. Зважаючи на це, можна виділити два способи вирішення цього питання і прискорення отримання правильного результату. Потрібно чи створювати такі квантові алгоритми, які будуть приводити до правильних результатів з досить високою ймовірністю і таким чином зменшать кількість запуску алгоритму, необхідну для отримання правильного результату, чи змиритися з необхідністю багаторазового запуску алгоритму, і після кожного запуску перевіряти результат на правильність.
Другий спосіб підходить тільки для задач, вирішення яких можна перевірити за поліноміальний час. До таких задач, наприклад, відносяться задачі класу складності
NP.
2.2.4 Проблема вимірювання поточного стану системи
До проблеми вимірювання поточного стану квантової системи призводить парадокс Ейнштейна - Подільського - Розена. Парадокс полягає в тому, що координатна частинки і її імпульс не можуть бути виміряні в один і той же час відповідно до співвідношення невизначеності Гейзенберга. Якщо припустити, що подібний парадокс має місце тому, що при вимір однієї з величин приводить до принципово непереборних обурень у стані частинки і ці обурення радикально

40 змінюють значення іншої величини, то прийти до гіпотетичного способу, який дав би змогу обійти співвідношення невизначеності і власне парадокс. Спосіб полягає в наступному. Нехай дві однакові частинки A і B були утворені в результаті розпаду третьої частинки С., Тоді їх сумарний імпульс p
A
+p
B має дорівнювати вихідному
імпульсу частинки С p c за законом збереження імпульсу, іншими словами, імпульси частинок А і В мають бути пов'язані. Це надає нам змогу дізнатися імпульс однієї з частинок, нехай це буде A, і, використовуючи закон збереження імпульсу, розрахувати імпульс частинки B (p
B
=p
C
-p
A)
, не призводячи при цьому ні до яких обурень в її русі. Якщо тепер виміряти координату частинки В, то ми отримуємо значення двох одночасно невимірних величин для цієї частинки, а це неможливо за законами квантової механіки.
З цього виходить, що, можливо, співвідношення невизначеності не є абсолютним, а закони квантової механіки не повні, не відображають усієї картини реального світу і повинні бути уточнені і доповнені у майбутньому.
Якщо ж припустити, що закони квантової механіки в даному випадку не порушуються, це призводить до твердження, що вимір імпульсу однієї з таких частинок еквівалентний виміру імпульсу другої з них.
Проте це твердження веде до протиріччя з принципом причинності, так як походить на явище миттєвого впливу однієї з частинок ні іншу.
При побудові квантових комп’ютерів вищенаведені гіпотези і парадокси призводять до того, що перехоплення стану квантових регістрів, під час виконання програм, стає неможливим без втручання в роботу програм і пошкодження стану квантових регістрів, що може призвести до руйнування стану суперпозиції та квантової заплутаності і припинення роботи програм. Через це, процес відлагодження
(або ж дебагу), звичний на класичних комп’ютерах, на квантових комп’ютерах стає неможливим.

41 2.3 Фізична реалізація квантових комп’ютерів
До фізичних реалізацій квантових комп’ютерів, наразі висувають наступні вимоги :
 стійкість до декогеренції, яка виражається в тому що програма складена з квантових гейтів (вентилів) виконується швидше за час наступу критичної декогеренції. На даному етапі для виконання цієї вимоги час за який наступає декогеренція повинен в 10 4
або більше разів перевершувати час виконання основних квантових гейтів (час такту). При цьому допустима помилка обчислень при виконанні окремого гейту має бути менше або рівною 10
−4
;
 архітектура квантового комп’ютера має бути розрахована для масштабування, тобто збільшення числа кубітів. Окрім цього архітектура повинна дозволяти виділення і фіксацію у просторі великого числа (10 2
/
10 3
) 2-х рівневих частинок - кубітів, які можуть бути піддані певному впливу для організації їх квантової еволюції у відповідності з виконуваним квантовим алгоритмом;
 підтримка повного набору гейтів за Тюрінгом. Враховуючі, що усі унітарні квантові операції можуть бути зведені до сукупності одно- і дво-кубітних операцій, при розробці квантової системи необхідно гарантувати наявність певних нелінійних взаємодій між керованими кубітами, які б забезпечили виконання дво-кубітних операцій. Точність контролювання імпульсами, що керуються операціями, повинна бути не менше ніж 10 4
;
 можливість ініціалізації кубітів у певний базовий стан. Тут мається на увазі можливість встановлення L-кубітного вхідного регістра в вихідний базовий стан| O
1
,
O
2
, O
3
,…., O
L
> (ініціалізація);
 можливість зчитування стану. Підтримка операції вимірювання стану на виході квантової системи з високою точністю.

42
Цими днями відомо кілька варіантів реалізації фізичних систем, які можна вважати базою для квантових комп’ютерів:
 системи з використання квантових точок, що мають два електронних орбітальних та спінових стана;
 системи, що базуються на використанні надпровідникових структур з переходами Джозефсона;
 системи на базі нейтральних атомів або іонів з двома низьколежачими коливальними або надтонкими рівнями, які утримуються в силових пастках, що створені в вакуумі за допомогою електромагнітних полів, з використання лазерного охолодження до температур, що близькі до абсолютного нуля;
 системні створені на основі певних станів квантового електромагнітного поля в електродинамічних резонаторах і фотонних кристалах;
 системи на основі окремих електронних та ядерних спінів в магнітному полі.