Контрольна робота з дисципліни «Математика» для студентів заочного відділення 1. Знайти границі функцій:
а)
=;
=
=
=
=
=
=
=
= 0;
б)
=
=
=
=
=
=
=. 6290;
в)
=
=
=
=
= 0;
г)
=
=
=
=
= Ln
=
= Ln e *
= 1 * 56 / 3 = 18.667;
д)
;
=
=
=
=
;
;
е)
=
=
=
=
=
+
=
=
-
=
-
=
=
= 2.
2. Знайти похідні
функцій:
а)
=
=
=
;
б)
=
=
=
;
в)
=
=
=
=
=
=
=
;
г)
=
=
=
=
=
=
;
д)
=
;
е)
;
;
;
ж)
;
;
;
;
;
;
;
;
з)
.
=
=
=
=
;
3. За допомогою методів диференціального обчислення побудувати графік
функції .
1 Знаменник позитивний не для всіх значень Х,
область визначення функції має точку розриву.
звідси IхI = 7 або точки розриву х = -7 і х = 7.
2.
Функція непарна, отже графік симетричний відносно центру координат. У (-х) =-У (х). Періодичної
функція не є.
3. Оскільки область визначення вся речовинна вісь, вертикальних асімтот графік не має.
4. Знайдемо асимптоти при
у вигляді у = KХ + b. Маємо:
k =
b =
Таким чином при
асимптотой служить пряма ДГ осі координат.
Знайдемо лівий і правий
межі в точках розриву функції х =- 7 і х = +7
=- 1,19,
.
У точці (-7: -1,19) перший розрив функції, До розриву функції х = 7 функції наближається нескінченно близько.
5. Знайдемо точки перетину з осями координат:
Точка (0:3,86) з віссю ОУ.
6. Досліджуємо на зростання й убування:
=
.
0;
Це говорить про те що
функція зростаюча.
Будуємо графік:
4. Знайти інтеграли при m = 3, n = 4:
а)
=
=
:
б)
=
=
нехай t = arcsin4x,
отримаємо
=
=
.
в)
=
=
;
=
=
.
Вирішуємо рівність і отримаємо:
;
аналогічно другий доданок
3
-
отримаємо
=
підставимо всі останнім рівність
... =
+
+9
+
-
+ С.
г)
.=
=
=
=
=
=
= .... Позбувшись
від знаменника отримаємо
B + C + A = 0; 25B = 332;-625A = 625; 25 = 25 (BC);
Тобто: A = 1; B = 13.28; C =- 12.28;
... =
= =
= 2,527766.
5. Обчислити інтеграли або
встановити їх розбіжність при m = 3, n = 4:
а)
=
...
нехай t = arctg (x / 4), тоді
і
підставимо і отримаємо
... =
;
б)
=
=
0,6880057.
6. Побудувати схематичне креслення і знайти площу
фігури, обмеженої лініями:
, При m = 3, n = 4.
х = -1,5, у = -18,25.
точки перетину з віссю ОХ: А (-4,19:0) і В (1,19:0) з віссю ЗУ - З (0: -16), точка перегину - D (-1,5: -18,25 )
або
Точки перетину двох функцій:
=
і
тобто:
і
.
Площа вийти з виразу
=
= 49,679.
Графік виглядає:
7. Знайти приватні похідні
функцій при m = 3, n = 4:
а)
=
,
,
,
б)
.
;
;
8. Знайти диференціал
функції:
при m = 3, n = 4.
9. Для функції
в точці
знайти градієнт і похідну за напрямом
при m = 3, n = 4.
в точці А (-4,3)
grad (z) = (-0,1429:0,1875);
= Grad (z) * (
) * Cos
= ...
cos
10. Знайти найбільше і найменше значення функції при m = 3, n = 4
в області, заданої нерівностями:
.
D = AC-B;
A =
B =
C =
D = AC-B = (
) (
) -
;
знайдемо
;
Отримаємо чотири точки: 1) (2,236:7,18), (1,236:0,82), (-2,236:7,18), (-2,236:0,82).
A = 8 +7,18 * 7,18-8 * 7,18 = 2,11> 0;
= -114,74 <0 - немає екстремуму функції,
= 45097,12> 0 - min функції
= 12,279;
= 1767.38> 0 - min функції
= 65,94;
= -160,296 <0 - немає екстремуму функції.
11. Змінити порядок інтегрування при m = 3, n = 4:
.
=
, Так як
підставляючи x = 0 x = 4 в останні рівняння одержимо
.
12. Зробити креслення і знайти об'єм тіла, обмеженого поверхнями
,
і площиною, що проходить через точки
,
і
.
А)
див. рис.
- Отримаємо рівняння площини, через яку проходять точки А, В і С.
7 (х-4) +7 * 16 * (z-0) - (y-16) * 4 +4 (z-0) +49 (y-16) +16 (x-4) =
23x-812 +116 z-45y = 0
Отримаємо межі інтегрування:
Для z - від 0 до z = 7-0,198 x +0,388 y. Для у - від 0 до в = х ^ 2. Для х - від 0 до х = 76,81 (обсяг фігури розбиваємо навпіл).
=
=
=
=
=
= 232,109 куб.ед.,
13. Обчислити при m = 3, n = 4
, Де
,
, А контур
утворений лініями
,
,
.
а) безпосередньо;
б) за формулами Гріна.
,
P (x, y) = 4y +2 x, Q (x, y) = 3x +2 y, і контур З утворений лініями 16y = 9x ^ 3, y = 9, x = 0.
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
= 32,4060912,
де межі інтегрування були отримані:
і в = 9, то
звідки х =
2,52.
14. Дано полі
і
піраміда з вершинами
,
,
,
. Знайти при m = 3, n = 4:
O (0:0:0), A (3:0:0), B (0:4:0), C (0:0:7).
а) потік поля
через грань
піраміди в напрямку нормалі, складовою гострий кут з віссю
;
=
=
=
=
=
=
=
=
= ...
після підстановки і
перетворення однорідних членів отримаємо:
... = 8423,43 - 3336,03 * у - 293,9 * z ^ 2 +118,98 * у ^ 2 - 24y ^ 3 + 42y * z ^ 2, тобто
потік поля
= 8423,43 - 3336,03 * у - 293,9 * z ^ 2 +118,98 * у ^ 2 - 24y ^ 3 + 42y * z ^ 2.
б) потік поля
через зовнішню поверхню
піраміди за допомогою теореми
Остроградського - Гаусса;
в) циркуляцію поля
вздовж замкнутого контуру
;
за допомогою теореми Стоку (обхід контуру відбувається в позитивному напрямку щодо зовнішньої нормалі до
поверхні піраміди).
rot (F) =
,
в нашому випадку
15. Знайти Первісні і обчислити значення визначеного інтеграла:
=
.