Контрольна робота з дисципліни «Математика»
для студентів заочного відділення
1. Знайти границі функцій:
а)
=; 
=
=
= 
=
=
= 
= 
= 0;
б)
= 
=
=
=
= 
= 
=. 6290;
в)
= 
=
= 
= 
= 0;
г)
= 
= 
= 
=
= Ln = 
= Ln e * 
= 1 * 56 / 3 = 18.667;
д)
; 
= 
=
=
= 
; 
;
е)
= 
= 
=
=
= 
+ 
=
=
- 
= 
- 
=
=
= 2.
2. Знайти похідні
функцій:
а)
= 
=
=
;
б)
= 
= 
= 
;
в)
= 
=
=
=
=
=
=
;
г)
= 
=
=
=
=
= 
;
д)
= 
;
е)
; 
;
; 
ж)
; 
; 
;
; 
; 
; 
; 
;
з)
. 
= 
=
=
= 
;
3. За допомогою методів диференціального обчислення побудувати графік функції
.
1 Знаменник позитивний не для всіх значень Х, область визначення функції має точку розриву.
звідси IхI = 7 або точки розриву х = -7 і х = 7.
2. Функція непарна, отже графік симетричний відносно центру координат. У (-х) =-У (х). Періодичної функція не є.
3. Оскільки область визначення вся речовинна вісь, вертикальних асімтот графік не має.
4. Знайдемо асимптоти при
у вигляді у = KХ + b. Маємо:
k =
b =
Таким чином при асимптотой служить пряма ДГ осі координат.
Знайдемо лівий і правий межі в точках розриву функції х =- 7 і х = +7
=- 1,19,
.
У точці (-7: -1,19) перший розрив функції, До розриву функції х = 7 функції наближається нескінченно близько.
5. Знайдемо точки перетину з осями координат:
Точка (0:3,86) з віссю ОУ.
6. Досліджуємо на зростання й убування:
=
. 
0;
Це говорить про те що функція зростаюча.
Будуємо графік:
4. Знайти інтеграли при m = 3, n = 4:
а)
= 
=
:
б)
= 
= 
нехай t = arcsin4x,
отримаємо 
= 
= 
.
в)
= 
=
;
= 
= 
.
Вирішуємо рівність і отримаємо:
;
аналогічно другий доданок
3 
- 
отримаємо 
= 
підставимо всі останнім рівність
... =
+ +9 
+ - 
+ С.
г)
.= 
= 
=
=
= 
=
= .... Позбувшись
від знаменника отримаємо
B + C + A = 0; 25B = 332;-625A = 625; 25 = 25 (BC);
Тобто: A = 1; B = 13.28; C =- 12.28;
... =
= = 
= 2,527766.
5. Обчислити інтеграли або встановити їх розбіжність при m = 3, n = 4:
а)
= 
...
нехай t = arctg (x / 4), тоді
і 
підставимо і отримаємо
... =
;
б)
= 
=
0,6880057.
6. Побудувати схематичне креслення і знайти площу фігури, обмеженої лініями:
, При m = 3, n = 4.
х = -1,5, у = -18,25.
точки перетину з віссю ОХ: А (-4,19:0) і В (1,19:0) з віссю ЗУ - З (0: -16), точка перегину - D (-1,5: -18,25 )
або 
Точки перетину двох функцій:
= 
і 
тобто: 
і 
.
Площа вийти з виразу
= 
= 49,679.
Графік виглядає:
7. Знайти приватні похідні
функцій при m = 3, n = 4:
а)
= 
,
,
,
б)
. 
;
;
8. Знайти диференціал
функції: 
при m = 3, n = 4.
9. Для функції
в точці 
знайти градієнт і похідну за напрямом 
при m = 3, n = 4.
в точці А (-4,3)
grad (z) = (-0,1429:0,1875);
= Grad (z) * ( 
) * Cos 
= ...
cos
10. Знайти найбільше і найменше значення функції при m = 3, n = 4
в області, заданої нерівностями:
.
D = AC-B;
A =
B =
C =
D = AC-B = (
) ( 
) - 
;
знайдемо
; 
Отримаємо чотири точки: 1) (2,236:7,18), (1,236:0,82), (-2,236:7,18), (-2,236:0,82).
A = 8 +7,18 * 7,18-8 * 7,18 = 2,11> 0;
= -114,74 <0 - немає екстремуму функції,
= 45097,12> 0 - min функції 
= 12,279;
= 1767.38> 0 - min функції = 65,94;
= -160,296 <0 - немає екстремуму функції.
11. Змінити порядок інтегрування при m = 3, n = 4:
.
= 
, Так як 
підставляючи x = 0 x = 4 в останні рівняння одержимо
.
12. Зробити креслення і знайти об'єм тіла, обмеженого поверхнями
, 
і площиною, що проходить через точки 
, 
і 
.
А)
див. рис.
- Отримаємо рівняння площини, через яку проходять точки А, В і С.
7 (х-4) +7 * 16 * (z-0) - (y-16) * 4 +4 (z-0) +49 (y-16) +16 (x-4) =
23x-812 +116 z-45y = 0
Отримаємо межі інтегрування:
Для z - від 0 до z = 7-0,198 x +0,388 y. Для у - від 0 до в = х ^ 2. Для х - від 0 до х = 76,81 (обсяг фігури розбиваємо навпіл).
= 
=
=
= 
=
= 232,109 куб.ед.,
13. Обчислити при m = 3, n = 4
, Де 
, 
, А контур 
утворений лініями 
, 
, 
.
а) безпосередньо;
б) за формулами Гріна.
,
P (x, y) = 4y +2 x, Q (x, y) = 3x +2 y, і контур З утворений лініями 16y = 9x ^ 3, y = 9, x = 0.
= 
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
= 32,4060912,
де межі інтегрування були отримані:
і в = 9, то 
звідки х = 
2,52.
14. Дано полі
і піраміда з вершинами 
, 
, 
, . Знайти при m = 3, n = 4:
O (0:0:0), A (3:0:0), B (0:4:0), C (0:0:7).
а) потік поля
через грань 
піраміди в напрямку нормалі, складовою гострий кут з віссю 
;
=
=
=
=
=
=
=
=
= ...
після підстановки і перетворення однорідних членів отримаємо:
... = 8423,43 - 3336,03 * у - 293,9 * z ^ 2 +118,98 * у ^ 2 - 24y ^ 3 + 42y * z ^ 2, тобто
потік поля
= 8423,43 - 3336,03 * у - 293,9 * z ^ 2 +118,98 * у ^ 2 - 24y ^ 3 + 42y * z ^ 2.
б) потік поля через зовнішню поверхню піраміди за допомогою теореми Остроградського - Гаусса;
в) циркуляцію поля вздовж замкнутого контуру ;
за допомогою теореми Стоку (обхід контуру відбувається в позитивному напрямку щодо зовнішньої нормалі до поверхні піраміди).
rot (F) =
,
в нашому випадку
15. Знайти Первісні і обчислити значення визначеного інтеграла:
= 
.
для студентів заочного відділення
1. Знайти границі функцій:
а)
=
=
б)
в)
г)
= Ln
д)
=
е)
=
=
=
2. Знайти похідні
а)
=
б)
в)
=
=
=
г)
=
=
д)
е)
ж)
з)
=
3. За допомогою методів диференціального обчислення побудувати графік функції
1 Знаменник позитивний не для всіх значень Х, область визначення функції має точку розриву.
2. Функція непарна, отже графік симетричний відносно центру координат. У (-х) =-У (х). Періодичної функція не є.
3. Оскільки область визначення вся речовинна вісь, вертикальних асімтот графік не має.
4. Знайдемо асимптоти при
k =
b =
Таким чином при
Знайдемо лівий і правий межі в точках розриву функції х =- 7 і х = +7
У точці (-7: -1,19) перший розрив функції, До розриву функції х = 7 функції наближається нескінченно близько.
5. Знайдемо точки перетину з осями координат:
| Х | 0 |
| У | 1,08 |
6. Досліджуємо на зростання й убування:
Це говорить про те що функція зростаюча.
Будуємо графік:
4. Знайти інтеграли при m = 3, n = 4:
а)
=
б)
в)
=
Вирішуємо рівність і отримаємо:
аналогічно другий доданок
підставимо всі останнім рівність
... =
г)
=
від знаменника отримаємо
B + C + A = 0; 25B = 332;-625A = 625; 25 = 25 (BC);
Тобто: A = 1; B = 13.28; C =- 12.28;
... =
5. Обчислити інтеграли або встановити їх розбіжність при m = 3, n = 4:
а)
нехай t = arctg (x / 4), тоді
... =
б)
=
6. Побудувати схематичне креслення і знайти площу фігури, обмеженої лініями:
точки перетину з віссю ОХ: А (-4,19:0) і В (1,19:0) з віссю ЗУ - З (0: -16), точка перегину - D (-1,5: -18,25 )
| X | -4.19 | 1.19 | 0 |
| Y | 0 | 0 | -16 |
| Х | 0 | 4 |
| У | -4 | 0 |
Площа вийти з виразу
Графік виглядає:
7. Знайти приватні похідні
а)
б)
8. Знайти диференціал
9. Для функції
grad (z) = (-0,1429:0,1875);
cos
10. Знайти найбільше і найменше значення функції при m = 3, n = 4
в області, заданої нерівностями:
D = AC-B;
A =
B =
C =
D = AC-B = (
знайдемо
Отримаємо чотири точки: 1) (2,236:7,18), (1,236:0,82), (-2,236:7,18), (-2,236:0,82).
A = 8 +7,18 * 7,18-8 * 7,18 = 2,11> 0;
11. Змінити порядок інтегрування при m = 3, n = 4:
підставляючи x = 0 x = 4 в останні рівняння одержимо
12. Зробити креслення і знайти об'єм тіла, обмеженого поверхнями
А)
- Отримаємо рівняння площини, через яку проходять точки А, В і С.
23x-812 +116 z-45y = 0
Отримаємо межі інтегрування:
Для z - від 0 до z = 7-0,198 x +0,388 y. Для у - від 0 до в = х ^ 2. Для х - від 0 до х = 76,81 (обсяг фігури розбиваємо навпіл).
=
= 232,109 куб.ед.,
13. Обчислити при m = 3, n = 4
а) безпосередньо;
б) за формулами Гріна.
P (x, y) = 4y +2 x, Q (x, y) = 3x +2 y, і контур З утворений лініями 16y = 9x ^ 3, y = 9, x = 0.
=
=
=
=
=
=
де межі інтегрування були отримані:
14. Дано полі
O (0:0:0), A (3:0:0), B (0:4:0), C (0:0:7).
а) потік поля
=
=
=
=
після підстановки і перетворення однорідних членів отримаємо:
... = 8423,43 - 3336,03 * у - 293,9 * z ^ 2 +118,98 * у ^ 2 - 24y ^ 3 + 42y * z ^ 2, тобто
потік поля
б) потік поля
в) циркуляцію поля
за допомогою теореми Стоку (обхід контуру відбувається в позитивному напрямку щодо зовнішньої нормалі до поверхні піраміди).
rot (F) =
в нашому випадку
15. Знайти Первісні і обчислити значення визначеного інтеграла: