Механічна система під дією сил
тяжіння приходить в рух зі
стану спокою, початкове положення системи показано на рис. 1. Враховуючи опір коченню тіла
3, що котиться без ковзання, нехтуючи іншими силами опору і масами ниток, передбачуваних нерозтяжних,
визначити швидкість тіла 1 в той момент часу, коли пройдений шлях стане рівним s. У завданні прийняті наступні позначення: m
1, m
2, m
3, m
4 - маси тіл 1, 2, 3, 4; R
3 - радіус великому колу;
δ - коефіцієнт тертя кочення.
Необхідні для вирішення дані наведені в
таблиці 1. Блоки і катки вважати суцільними однорідними циліндрами. Похилі ділянки ниток паралельні
відповідним похилим площинам.
Таблиця 1.
m 1, кг
| m 2, кг
| m 3, кг
| m 4, кг
| R 3
| δ, см
| s, м
|
m
| 1/2m
| 5m
| 4m
| 25
| 0,20
| 2
|
| | | | | | |
Рішення Застосуємо теорему про зміну кінетичної енергії системи:
(1)
де T
0 і T - кінетична
енергія системи в початковому і кінцевому положеннях;
- Сума робіт зовнішніх сил, прикладених до системи;
- Сума робіт внутрішніх сил системи.
Для розглянутих систем, що складаються з абсолютно твердих тіл, з'єднаних нерозтяжних нитками,
Так як у початковому положенні система перебуває в спокої, то Т
0 =
0. Отже, рівняння (1) приймає вигляд:
(2)
Кінетична енергія даної системи Т в кінцевому її положенні (рис.2) дорівнює сумі кінетичних енергій тіл
1, 2, 3 і
4: Т = Т
1 + Т
2 + 4Т
3 + Т
4. (3)
Кінетична енергія вантажу
1, що рухається поступально,
(4)
Кінетична енергія барабана
2, коїть обертальний рух,
, (5)
де J
2 x - момент інерції барабана
2 щодо центральній подовжній осі:
, (6)
w
2 - кутова швидкість барабана
2: . (7)
Після підстановки (6) і (7) в (5) вираз кінетичної енергії барабана
2 приймає вигляд:
. (8)
Кінетична енергія
колеса 3, коїть плоскопараллельной рух:
, (9)
де V
C 3 - швидкість центра ваги З
3 барабани 3, J
3 x - момент інерції барабана 3 щодо центральній подовжній осі:
, (10)
w
3 - кутова швидкість барабана
3. Миттєвий центр швидкостей знаходиться в точці С
V. Тому
, (11)
. (12)
Підставляючи (10), (11) і (12) в (9), отримаємо:
. (13)
Кінетична енергія вантажу
4, що рухається поступально
. (14)
Кінетична енергія всієї механічної системи визначається за формулою (3) з урахуванням (4), (8), (13), (15):
Підставляючи і задані значення мас в (3), маємо:
або
. (15)
Знайдемо суму робіт всіх зовнішніх сил, прикладених до системи, на заданому її переміщення (рис. 3).
Робота сили тяжіння
:
(16)
Робота сили тяжіння
:
(17)
Робота пари сил опору коченню
:
(18)
де
(19)
(20)
(21)
Підставляючи (19), (20) і (21) у (18), отримуємо:
(22)
Робота сили тяжіння
:
(17)
Робота сили тяжіння
:
(23)
Сума робіт зовнішніх сил визначиться складанням робіт, що обчислюються за формулами (17) - (24):
.
Підставляючи задані значення, отримуємо:
Або
. (24)
Згідно з теоремою (2) прирівняємо значення Т і
, Що визначаються за формулами (16) і (24):
,
звідки виводимо
м / с.
Дано: R
2 = 30; r
2 = 20; R
3 = 40; r
3 = 40
X = C
2 t
2 + C
1 t + C
0 При t = 0 x
0 = 7
= 0
t
2 =
2 x
2 = 557 см
X
0 = 2C
2 t + C
1 C
0 = 7
C
1 = 0
557 = C
2 * 5
2 +0 * 5 +7
25C
2 = 557-7 = 550
C
2 = 22
X = 22t
2 +0 t +7
= V = 22t
a =
= 22
V = r
2 2 R
2 2 = R
3 3 3 = V * R
2 / (r
2 *
R3) = (22t) * 30/20 * 40 = 0,825 t
3 =
3 = 0,825
V
m = r
3 *
3 = 40 * (0,825 t) = 33t
a
t m = r
3 = 0,825 t
a
t m = R
3 = 40 * 0,825 t = 33t
a
n m = R
3 2 3 = 40 * (0,825 t)
2 = 40 * (0,825 (t)
2 a =
***********************************
Дано: R
2 = 15; r
2 = 10; R
3 = 15; r
3 = 15
X = C
2 t
2 + C
1 t + C
0 При t = 0 x
0 = 6
= 3
t
2 =
2 x
2 = 80 см
X
0 = 2C
2 t + C
1 C
0 = 10
C
1 = 7
80 = C
2 * 2
2 +3 * 2 +6
4C
2 = 80-6-6 = 68
C
2 = 17
X = 17t
2 +3 t +6
= V = 34t +3
a =
= 34
V = r
2 2 R
2 2 = R
3 3 3 = V * R
2 / (r
2 *
R3) = (34t +3) * 15/10 * 15 = 3,4 t +0,3
3 =
3 = 3,4
V
m = r
3 *
3 = 15 * (3,4 t +0,3) = 51t +4,5
a
t m = r
3 = 3,4 t
a
t m = R
3 = 15 * 3,4 t = 51t
a
n m = R
3 2 3 = 15 * (3,4 t +0,3)
2 = 15 * (3,4 (t +0,08)
2 a =
Вирішення другого завдання механіки Дано: m = 4.5 кг; V
0 = 24 м / с;
R = 0.5VH;
t
1 = 3 c;
f = 0.2;
Q = 9 H; F
x = 3sin (2t) H.
Визначити: x = f (t) - закон руху вантажу на ділянці ВС
Рішення: 1) Розглянемо рух на проміжку АВ
враховуючи, що R = 0.5VH;
Поділяємо
змінні та інтегруємо
2) Розглянемо рух на проміжку ЗС (V
0 = V
B) Дано: m = 36 кг R = 6 см = 0,06 м H = 42 см = 0,42 м y C = 1 см = 0,01 м z З = 25 см = 0,25 м АВ = 52 см = 0,52 М = 0,8 Н · м t 1 = 5 з Знайти реакції в опорах
А і
В. Рішення Для вирішення задачі використовуємо систему рівнянь, що випливає з принципу Даламбера:
(1)
Для визначення кутового прискорення
ε з останнього рівняння системи (1) знайдемо момент інерції тіла відносно осі обертання
z за формулою
, (2)
де
J z 1 - момент інерції тіла відносно центральної осі
З z 1, паралельної осі
z; d - відстань між осями
z і
z 1. Скористаємося формулою
, (3)
де
α, b, g - кути, складені віссю
z 1 з осями
x, h, z відповідно.
Так як
α = 90 º, то
. (4)
Визначимо моменти інерції тіла
,
як однорідного суцільного циліндра щодо двох осей симетрії
h, z ;
.
Обчислюємо
;
.
Визначаємо кут
g зі співвідношення
;
;
.
Кут
b дорівнює
;
.
За формулою (4), обчислюємо
.
Момент інерції тіла відносно осі обертання
z обчислюємо за формулою (2):
,
де
d = y C; .
З останнього рівняння системи (1)
;
.
Кутова швидкість при рівноприскореному обертанні тіла
,
тому при
ω 0 = 0 і
t = t 1 = 5 c .
Для визначення реакцій опор слід визначити відцентрові моменти інерції
і
тіла.
, Так як вісь
х, перпендикулярна площині
матеріальної симетрії тіла, є головною віссю інерції в точці
А. Відцентровий момент інерції тіла
визначимо за формулою
,
де
, Тобто
.
Тоді
.
Підставляючи відомі величини в систему рівнянь (1), отримуємо такі рівності
Звідси
Відповідь:
,
,
,
.
Визначення швидкості та прискорення точки по заданим рівнянням її руху Завдання: за заданим рівнянням руху точки М
встановити вид її траєкторії і для моменту часу t = t1 (с) знайти положення точки на траєкторії, її швидкість, дотичне і нормальне прискорення, а також радіус кривизни траєкторії.
Вихідні дані: x = 5cos (pt
2 / 3); y =-5sin (pt
2 / 3); (1)
t1 = 1 (x і y - в см, t і t1 - в с).
Рішення:
Рівняння руху (1) можна розглядати як параметричні рівняння траєкторії точки. Отримаємо рівняння траєкторії в координатній формі.
x
2 + y
2 = (5cos (pt
2 / 3))
2 + (-5sin (pt
2 / 3))
2; Отримуємо x
2 + y
2 = 25, тобто траєкторією точки є коло, показана на рис. 1.
Вектор швидкості точки
(2)
Вектор прискорення точки
Тут V
x, V
y, a
x, a
y - проекції швидкості і прискорення точки на
відповідні осі координат.
Знайдемо їх, диференціюючи за часом рівняння руху (1)
(3)
За знайденими проекціям визначаємо модуль швидкості:
V = Ö (V
x 2 + V
y 2); (4)
і модуль прискорення точки:
а =
Ö (а
х 2 + а
у 2). (5)
Модуль дотичного прискорення точки
а
t = | dV / dt |, (6)
а
t = | (V
x a
x + V
y a
y) / V | (6 ')
Знак "+" при dV / dt означає, що рух точки прискорене,
знак "-" - що рух уповільнене.
Модуль нормального прискорення точки
а
п = V
2 / p; (7)
p - радіус кривизни траєкторії.
Модуль нормального прискорення точки можна знайти і в
такий спосіб:
a
n =
Ö (а
2-a t 2); (8)
Після
того як знайдено нормальне прискорення по формулі (8), радіус кривизни траєкторії в даній точці визначається з виразу:
p = V
2 / a
n. (9)
Результати обчислень за формулами (3) - (6), (8), (9) для моменту часу t1 = 1с наведені нижче у таблиці
Координати см
| Швидкість см / с
| Прискорення, см / с 2
| Радіус см
|
х
| у
| V x
| V y
| V
| a x
| a y
| a
| a t
| a n
| p
|
2.5
| -2.5Ö3
| -5p/Ö3
| -5p / 3
| 10p / 3
| -20.04
| 13.76
| 24.3
| 10.5
| 21.9
| 5
|
Нижче на малюнку показане положення точки М в заданий момент часу.
Додаткове завдання: z = 1.5tx = 5cos (pt
2 / 3); y =-5sin (pt
2 / 3); t1 = 1 (x і y - в см, t і t1 - в с).
Знайдемо швидкості і прискорення диференціюючи за часом рівняння руху
За знайденими проекціям визначаємо модуль швидкості:
V = Ö (V
x 2 + V
y 2 + V
z 2); і модуль прискорення точки:
а =
Ö (а
х 2 + а
у 2 + а
z 2). V =
;
a = 24.3 см / с;
Дотичне прискорення точки
а
t = | (V
x a
x + V
y a
y + V
z a
z) / V |
a
t = (-9.069 * (-20.04) + (-5.24) * 13.76 +1.5 * 0) / 10.58 = 10.36 см / с
Модуль нормального прискорення точки можна знайти і в такий спосіб:
a
n =
Ö (а
2-a t 2); a
n = 21.98 см / с
2. Радіус кривизни траєкторії в даній точці визначається з виразу:
p = V
2 / a
n. р = 5.1 см
Результати обчислень для моменту часу t1 = 1с наведені нижче у таблиці
Координати см
| Швидкість см / с
| Прискорення, см / с 2
| Радіус см
|
x
| y
| z
| V x
| V y
| V z
| V
| a x
| a y
| a z
| a
| a t
| a n
| p
|
2.5
| -4.33
| 1.5
| -9.07
| -5.24
| 1.5
| 10.58
| -20.04
| 13.76
| 0
| 24.3
| 10,36
| 21.98
| 5.1
|
Завдання: точка М рухається відносно тіла D. По заданих рівнянь відносного руху точки М і рухи тіла D визначити для моменту часу t = t1 абсолютну швидкість і абсолютне прискорення точки М.
Дано: ОМ = Sr = 120pt
2 см;
j
е = 8t
2 - 3t радий;
t1 = 1 / 3 c; R = 40 см.
Рішення: 1) Положення точки М на тілі D визначається відстанню S
r = ОМ
при t = 1 / 3 c S
r = 120p / 9 = 41.89 см.
При t = 1/3с V
r = 80p = 251.33 см / с.
a
r t = d
2 S
r / dt
2 a
r t = 240p = 753.98 см / с
2 a
r n = V
r 2 /
R a
r n = (80p)
2 / 40 = 1579.14 см / с
2 2) V
e = w
e r, де r-радіус кола, що описується тією точкою тіла, з якою в даний момент збігається точка М.
a = OM / R. r = R * sina = 40 * sin (p / 3) = 34.64 см.
w
е = dj
e / dt = 16t-3 при t = 1 / 3 w
е = 7 / 3 = 2.33 с
-1 V
e = 80.83 см / с.
а
е ц = w
e 2 r а
е ц = 188.6 см / с
2. а
е в = e
е re
е = d
2 j
e / dt
2 = 16 с
-2 а
е в = 554.24 см / с
2. 3)
а
з = 2 * w
е V
r sin (w
е, V
r) sin (w
е, V
r) = 90-a = p / 6 a
c = 585.60 см / с
2 4)
V = Ö (V
e 2 + V
r 2) V = 264.01 см / с
Модуль абсолютного прискорення знаходимо методом проекцій.
a
x = a
е в + а
з a
y = a
rn cos (p / 3) + a
r t cos (p / 6)
a
z =- а
е ц - a
rn cos (p / 6) + a
r t cos (p / 3)
а = Ö (a
x 2 + a
y 2 + a
z 2) Результати
розрахунків зведені в таблицю
w e, c -1
| Швидкість см / с
| e е с -2
| Прискорення, см / с 2
|
V e
| V r
| V
| а е ц
| a е в
| a rn
| а r t
| а з
| a x
| a y
| a z
| а
|
2.33
| 80.8
| 251.3
| 264
| 16
| 188.6
| 554
| 1579
| 754
| 586
| 1140
| 1143
| -1179
| 1999
|
Визначення реакцій опор твердого тіла Дано: Q = 10 kH;
G = 5 kH;
a = 40 см; b = 30 см; c = 20 см;
R = 25 см; r = 15 см.
Завдання: Знайти реакції опор конструкції.
Рішення: Для визначення невідомих реакцій складемо рівняння рівноваги.
З рівняння (4) визначаємо P, а потім знаходимо інші реакції опор. Результати обчислень зведемо в таблицю.
Сили, кН |
Р
| Х А
| Z A
| X B
| Z B
|
5.15
| -0.17
| 2.08
| -3.34
| 2.92
|
Перевірка.
Складемо рівняння відносно точки В.