Механічна система під дією сил тяжіння приходить в рух зі стану спокою, початкове положення системи показано на рис. 1. Враховуючи опір коченню тіла 3, що котиться без ковзання, нехтуючи іншими силами опору і масами ниток, передбачуваних нерозтяжних, визначити швидкість тіла 1 в той момент часу, коли пройдений шлях стане рівним s.
У завданні прийняті наступні позначення: m 1, m 2, m 3, m 4 - маси тіл 1, 2, 3, 4; R 3 - радіус великому колу; δ - коефіцієнт тертя кочення.
Необхідні для вирішення дані наведені в таблиці 1. Блоки і катки вважати суцільними однорідними циліндрами. Похилі ділянки ниток паралельні відповідним похилим площинам.
Таблиця 1.
Рішення
Застосуємо теорему про зміну кінетичної енергії системи:
де T 0 і T - кінетична енергія системи в початковому і кінцевому положеннях;
Для розглянутих систем, що складаються з абсолютно твердих тіл, з'єднаних нерозтяжних нитками,
Так як у початковому положенні система перебуває в спокої, то Т 0 = 0.
Отже, рівняння (1) приймає вигляд:
Кінетична енергія даної системи Т в кінцевому її положенні (рис.2) дорівнює сумі кінетичних енергій тіл 1, 2, 3 і 4:
Т = Т 1 + Т 2 + 4Т 3 + Т 4. (3)
Кінетична енергія вантажу 1, що рухається поступально,
Кінетична енергія барабана 2, коїть обертальний рух,
де J 2 x - момент інерції барабана 2 щодо центральній подовжній осі:
w 2 - кутова швидкість барабана 2:
Після підстановки (6) і (7) в (5) вираз кінетичної енергії барабана 2 приймає вигляд:
Кінетична енергія колеса 3, коїть плоскопараллельной рух:
де V C 3 - швидкість центра ваги З 3 барабани 3, J 3 x - момент інерції барабана 3 щодо центральній подовжній осі:
w 3 - кутова швидкість барабана 3.
Миттєвий центр швидкостей знаходиться в точці С V. Тому
Підставляючи (10), (11) і (12) в (9), отримаємо:
Кінетична енергія вантажу 4, що рухається поступально
Кінетична енергія всієї механічної системи визначається за формулою (3) з урахуванням (4), (8), (13), (15):
Підставляючи і задані значення мас в (3), маємо:
або
Знайдемо суму робіт всіх зовнішніх сил, прикладених до системи, на заданому її переміщення (рис. 3).
Робота сили тяжіння
Робота сили тяжіння
Робота пари сил опору коченню
де
Підставляючи (19), (20) і (21) у (18), отримуємо:
Робота сили тяжіння
Робота сили тяжіння
Сума робіт зовнішніх сил визначиться складанням робіт, що обчислюються за формулами (17) - (24):
Підставляючи задані значення, отримуємо:
Або
Згідно з теоремою (2) прирівняємо значення Т і
звідки виводимо
Дано:
R 2 = 30; r 2 = 20; R 3 = 40; r 3 = 40
X = C 2 t 2 + C 1 t + C 0
При t = 0 x 0 = 7
t 2 = 2 x 2 = 557 см
X 0 = 2C 2 t + C 1
C 0 = 7
C 1 = 0
557 = C 2 * 5 2 +0 * 5 +7
25C 2 = 557-7 = 550
C 2 = 22
X = 22t 2 +0 t +7
a =
V = r 2
R 2
V m = r 3 *
a t m = r 3
a t m = R 3
a n m = R 3
a =
***********************************
Дано: R 2 = 15; r 2 = 10; R 3 = 15; r 3 = 15
X = C 2 t 2 + C 1 t + C 0
При t = 0 x 0 = 6
t 2 = 2 x 2 = 80 см
X 0 = 2C 2 t + C 1
C 0 = 10
C 1 = 7
80 = C 2 * 2 2 +3 * 2 +6
4C 2 = 80-6-6 = 68
C 2 = 17
X = 17t 2 +3 t +6
a =
V = r 2
R 2
V m = r 3 *
a t m = r 3
a t m = R 3
a n m = R 3
a =
Вирішення другого завдання механіки
Дано:
m = 4.5 кг; V 0 = 24 м / с;
R = 0.5VH;
t 1 = 3 c;
f = 0.2;
Q = 9 H; F x = 3sin (2t) H.
1) Розглянемо рух на проміжку АВ
враховуючи, що R = 0.5VH;
Поділяємо змінні та інтегруємо
2) Розглянемо рух на проміжку ЗС (V 0 = V B)
Дано:
m = 36 кг
R = 6 см = 0,06 м
H = 42 см = 0,42 м
y C = 1 см = 0,01 м
z З = 25 см = 0,25 м
АВ = 52 см = 0,52
М = 0,8 Н · м
t 1 = 5 з
Знайти реакції в опорах А і В.
Рішення
Для вирішення задачі використовуємо систему рівнянь, що випливає з принципу Даламбера:
Для визначення кутового прискорення ε з останнього рівняння системи (1) знайдемо момент інерції тіла відносно осі обертання z за формулою
де J z 1 - момент інерції тіла відносно центральної осі З z 1, паралельної осі z; d - відстань між осями z і z 1.
Скористаємося формулою
де α, b, g - кути, складені віссю z 1 з осями x, h, z відповідно.
Так як α = 90 º, то
Визначимо моменти інерції тіла
Обчислюємо
Визначаємо кут g зі співвідношення
Кут b дорівнює
За формулою (4), обчислюємо
Момент інерції тіла відносно осі обертання z обчислюємо за формулою (2):
де d = y C;
З останнього рівняння системи (1)
Кутова швидкість при рівноприскореному обертанні тіла
тому при ω 0 = 0 і t = t 1 = 5 c
Для визначення реакцій опор слід визначити відцентрові моменти інерції
Відцентровий момент інерції тіла
де
Тоді
Підставляючи відомі величини в систему рівнянь (1), отримуємо такі рівності
Звідси
Відповідь:
Визначення швидкості та прискорення точки по заданим рівнянням її руху
Завдання: за заданим рівнянням руху точки М встановити вид її траєкторії і для моменту часу t = t1 (с) знайти положення точки на траєкторії, її швидкість, дотичне і нормальне прискорення, а також радіус кривизни траєкторії.
Вихідні дані:
x = 5cos (pt 2 / 3); y =-5sin (pt 2 / 3); (1)
t1 = 1 (x і y - в см, t і t1 - в с).
Рішення:
Рівняння руху (1) можна розглядати як параметричні рівняння траєкторії точки. Отримаємо рівняння траєкторії в координатній формі.
x 2 + y 2 = (5cos (pt 2 / 3)) 2 + (-5sin (pt 2 / 3)) 2;
Отримуємо x 2 + y 2 = 25, тобто траєкторією точки є коло, показана на рис. 1.
Вектор швидкості точки
Вектор прискорення точки
Тут V x, V y, a x, a y - проекції швидкості і прискорення точки на відповідні осі координат.
Знайдемо їх, диференціюючи за часом рівняння руху (1)
За знайденими проекціям визначаємо модуль швидкості:
V = Ö (V x 2 + V y 2); (4)
і модуль прискорення точки:
а =
Модуль дотичного прискорення точки
а t = | dV / dt |, (6)
а t = | (V x a x + V y a y) / V | (6 ')
Знак "+" при dV / dt означає, що рух точки прискорене, знак "-" - що рух уповільнене.
Модуль нормального прискорення точки
а п = V 2 / p; (7)
p - радіус кривизни траєкторії.
Модуль нормального прискорення точки можна знайти і в такий спосіб:
a n =
Після того як знайдено нормальне прискорення по формулі (8), радіус кривизни траєкторії в даній точці визначається з виразу:
p = V 2 / a n. (9)
Результати обчислень за формулами (3) - (6), (8), (9) для моменту часу t1 = 1с наведені нижче у таблиці
Нижче на малюнку показане положення точки М в заданий момент часу.
Додаткове завдання:
z = 1.5tx = 5cos (pt 2 / 3); y =-5sin (pt 2 / 3); t1 = 1 (x і y - в см, t і t1 - в с).
Знайдемо швидкості і прискорення диференціюючи за часом рівняння руху
За знайденими проекціям визначаємо модуль швидкості:
V = Ö (V x 2 + V y 2 + V z 2);
і модуль прискорення точки:
а =
V =
a = 24.3 см / с;
Дотичне прискорення точки
а t = | (V x a x + V y a y + V z a z) / V |
a t = (-9.069 * (-20.04) + (-5.24) * 13.76 +1.5 * 0) / 10.58 = 10.36 см / с
Модуль нормального прискорення точки можна знайти і в такий спосіб:
a n =
a n = 21.98 см / с 2.
Радіус кривизни траєкторії в даній точці визначається з виразу:
p = V 2 / a n. р = 5.1 см
Результати обчислень для моменту часу t1 = 1с наведені нижче у таблиці
Завдання: точка М рухається відносно тіла D. По заданих рівнянь відносного руху точки М і рухи тіла D визначити для моменту часу t = t1 абсолютну швидкість і абсолютне прискорення точки М.
Дано:
ОМ = Sr = 120pt 2 см;
j е = 8t 2 - 3t радий;
t1 = 1 / 3 c; R = 40 см.
Рішення:
1) Положення точки М на тілі D визначається відстанню S r = ОМ
при t = 1 / 3 c S r = 120p / 9 = 41.89 см.
При t = 1/3с V r = 80p = 251.33 см / с.
a r t = d 2 S r / dt 2 a r t = 240p = 753.98 см / с 2
a r n = V r 2 / R a r n = (80p) 2 / 40 = 1579.14 см / с 2
2) V e = w e r, де r-радіус кола, що описується тією точкою тіла, з якою в даний момент збігається точка М.
a = OM / R. r = R * sina = 40 * sin (p / 3) = 34.64 см.
w е = dj e / dt = 16t-3 при t = 1 / 3 w е = 7 / 3 = 2.33 с -1
V e = 80.83 см / с.
а е ц = w e 2 r а е ц = 188.6 см / с 2.
а е в = e е re е = d 2 j e / dt 2 = 16 с -2 а е в = 554.24 см / с 2.
3)
а з = 2 * w е V r sin (w е, V r) sin (w е, V r) = 90-a = p / 6 a c = 585.60 см / с 2
4)
V = Ö (V e 2 + V r 2) V = 264.01 см / с
Модуль абсолютного прискорення знаходимо методом проекцій.
a x = a е в + а з
a y = a rn cos (p / 3) + a r t cos (p / 6)
a z =- а е ц - a rn cos (p / 6) + a r t cos (p / 3)
а = Ö (a x 2 + a y 2 + a z 2)
Результати розрахунків зведені в таблицю
Визначення реакцій опор твердого тіла
Дано:
Q = 10 kH;
G = 5 kH;
a = 40 см; b = 30 см; c = 20 см;
R = 25 см; r = 15 см.
Завдання:
Знайти реакції опор конструкції.
Рішення:
Для визначення невідомих реакцій складемо рівняння рівноваги.
З рівняння (4) визначаємо P, а потім знаходимо інші реакції опор. Результати обчислень зведемо в таблицю.
Перевірка.
Складемо рівняння відносно точки В.
У завданні прийняті наступні позначення: m 1, m 2, m 3, m 4 - маси тіл 1, 2, 3, 4; R 3 - радіус великому колу; δ - коефіцієнт тертя кочення.
Необхідні для вирішення дані наведені в таблиці 1. Блоки і катки вважати суцільними однорідними циліндрами. Похилі ділянки ниток паралельні відповідним похилим площинам.
Таблиця 1.
| m 1, кг | m 2, кг | m 3, кг | m 4, кг | R 3 | δ, см | s, м |
| m | 1/2m | 5m | 4m | 25 | 0,20 | 2 |
Застосуємо теорему про зміну кінетичної енергії системи:
де T 0 і T - кінетична енергія системи в початковому і кінцевому положеннях;
Для розглянутих систем, що складаються з абсолютно твердих тіл, з'єднаних нерозтяжних нитками,
Так як у початковому положенні система перебуває в спокої, то Т 0 = 0.
Отже, рівняння (1) приймає вигляд:
Кінетична енергія даної системи Т в кінцевому її положенні (рис.2) дорівнює сумі кінетичних енергій тіл 1, 2, 3 і 4:
Т = Т 1 + Т 2 + 4Т 3 + Т 4. (3)
Кінетична енергія вантажу 1, що рухається поступально,
Кінетична енергія барабана 2, коїть обертальний рух,
де J 2 x - момент інерції барабана 2 щодо центральній подовжній осі:
w 2 - кутова швидкість барабана 2:
Після підстановки (6) і (7) в (5) вираз кінетичної енергії барабана 2 приймає вигляд:
Кінетична енергія колеса 3, коїть плоскопараллельной рух:
де V C 3 - швидкість центра ваги З 3 барабани 3, J 3 x - момент інерції барабана 3 щодо центральній подовжній осі:
w 3 - кутова швидкість барабана 3.
Миттєвий центр швидкостей знаходиться в точці С V. Тому
Підставляючи (10), (11) і (12) в (9), отримаємо:
Кінетична енергія вантажу 4, що рухається поступально
Кінетична енергія всієї механічної системи визначається за формулою (3) з урахуванням (4), (8), (13), (15):
Підставляючи і задані значення мас в (3), маємо:
або
Знайдемо суму робіт всіх зовнішніх сил, прикладених до системи, на заданому її переміщення (рис. 3).
Робота сили тяжіння
Робота сили тяжіння
Робота пари сил опору коченню
де
Підставляючи (19), (20) і (21) у (18), отримуємо:
Робота сили тяжіння
Робота сили тяжіння
Сума робіт зовнішніх сил визначиться складанням робіт, що обчислюються за формулами (17) - (24):
Підставляючи задані значення, отримуємо:
Або
Згідно з теоремою (2) прирівняємо значення Т і
звідки виводимо
Дано:
R 2 = 30; r 2 = 20; R 3 = 40; r 3 = 40
X = C 2 t 2 + C 1 t + C 0
При t = 0 x 0 = 7
t 2 = 2 x 2 = 557 см
X 0 = 2C 2 t + C 1
C 0 = 7
C 1 = 0
557 = C 2 * 5 2 +0 * 5 +7
25C 2 = 557-7 = 550
C 2 = 22
X = 22t 2 +0 t +7
a =
V = r 2
R 2
V m = r 3 *
a t m = r 3
a t m = R 3
a n m = R 3
a =
***********************************
Дано: R 2 = 15; r 2 = 10; R 3 = 15; r 3 = 15
X = C 2 t 2 + C 1 t + C 0
При t = 0 x 0 = 6
t 2 = 2 x 2 = 80 см
X 0 = 2C 2 t + C 1
C 0 = 10
C 1 = 7
80 = C 2 * 2 2 +3 * 2 +6
4C 2 = 80-6-6 = 68
C 2 = 17
X = 17t 2 +3 t +6
a =
V = r 2
R 2
V m = r 3 *
a t m = r 3
a t m = R 3
a n m = R 3
a =
Вирішення другого завдання механіки
Дано:
m = 4.5 кг; V 0 = 24 м / с;
R = 0.5VH;
t 1 = 3 c;
f = 0.2;
Q = 9 H; F x = 3sin (2t) H.
Визначити: x = f (t) - закон руху вантажу на ділянці ВС
Рішення:1) Розглянемо рух на проміжку АВ
враховуючи, що R = 0.5VH;
Поділяємо змінні та інтегруємо
2) Розглянемо рух на проміжку ЗС (V 0 = V B)
Дано:
m = 36 кг
R = 6 см = 0,06 м
H = 42 см = 0,42 м
y C = 1 см = 0,01 м
z З = 25 см = 0,25 м
АВ = 52 см = 0,52
М = 0,8 Н · м
t 1 = 5 з
Знайти реакції в опорах А і В.
Рішення
Для вирішення задачі використовуємо систему рівнянь, що випливає з принципу Даламбера:
Для визначення кутового прискорення ε з останнього рівняння системи (1) знайдемо момент інерції тіла відносно осі обертання z за формулою
де J z 1 - момент інерції тіла відносно центральної осі З z 1, паралельної осі z; d - відстань між осями z і z 1.
Скористаємося формулою
де α, b, g - кути, складені віссю z 1 з осями x, h, z відповідно.
Так як α = 90 º, то
Визначимо моменти інерції тіла
Обчислюємо
Визначаємо кут g зі співвідношення
Кут b дорівнює
За формулою (4), обчислюємо
Момент інерції тіла відносно осі обертання z обчислюємо за формулою (2):
де d = y C;
З останнього рівняння системи (1)
Кутова швидкість при рівноприскореному обертанні тіла
тому при ω 0 = 0 і t = t 1 = 5 c
Для визначення реакцій опор слід визначити відцентрові моменти інерції
Відцентровий момент інерції тіла
де
Тоді
Підставляючи відомі величини в систему рівнянь (1), отримуємо такі рівності
Звідси
Відповідь:
Визначення швидкості та прискорення точки по заданим рівнянням її руху
Завдання: за заданим рівнянням руху точки М встановити вид її траєкторії і для моменту часу t = t1 (с) знайти положення точки на траєкторії, її швидкість, дотичне і нормальне прискорення, а також радіус кривизни траєкторії.
Вихідні дані:
x = 5cos (pt 2 / 3); y =-5sin (pt 2 / 3); (1)
t1 = 1 (x і y - в см, t і t1 - в с).
Рішення:
Рівняння руху (1) можна розглядати як параметричні рівняння траєкторії точки. Отримаємо рівняння траєкторії в координатній формі.
x 2 + y 2 = (5cos (pt 2 / 3)) 2 + (-5sin (pt 2 / 3)) 2;
Отримуємо x 2 + y 2 = 25, тобто траєкторією точки є коло, показана на рис. 1.
Вектор швидкості точки
Вектор прискорення точки
Тут V x, V y, a x, a y - проекції швидкості і прискорення точки на відповідні осі координат.
Знайдемо їх, диференціюючи за часом рівняння руху (1)
За знайденими проекціям визначаємо модуль швидкості:
V = Ö (V x 2 + V y 2); (4)
і модуль прискорення точки:
а =
Модуль дотичного прискорення точки
а t = | dV / dt |, (6)
а t = | (V x a x + V y a y) / V | (6 ')
Знак "+" при dV / dt означає, що рух точки прискорене, знак "-" - що рух уповільнене.
Модуль нормального прискорення точки
а п = V 2 / p; (7)
p - радіус кривизни траєкторії.
Модуль нормального прискорення точки можна знайти і в такий спосіб:
a n =
Після того як знайдено нормальне прискорення по формулі (8), радіус кривизни траєкторії в даній точці визначається з виразу:
p = V 2 / a n. (9)
Результати обчислень за формулами (3) - (6), (8), (9) для моменту часу t1 = 1с наведені нижче у таблиці
| Координати см | Швидкість см / с | Прискорення, см / с 2 | Радіус см | |||||||
| х | у | V x | V y | V | a x | a y | a | a t | a n | p |
| 2.5 | -2.5Ö3 | -5p/Ö3 | -5p / 3 | 10p / 3 | -20.04 | 13.76 | 24.3 | 10.5 | 21.9 | 5 |
Додаткове завдання:
z = 1.5tx = 5cos (pt 2 / 3); y =-5sin (pt 2 / 3); t1 = 1 (x і y - в см, t і t1 - в с).
Знайдемо швидкості і прискорення диференціюючи за часом рівняння руху
За знайденими проекціям визначаємо модуль швидкості:
V = Ö (V x 2 + V y 2 + V z 2);
і модуль прискорення точки:
а =
V =
a = 24.3 см / с;
Дотичне прискорення точки
а t = | (V x a x + V y a y + V z a z) / V |
a t = (-9.069 * (-20.04) + (-5.24) * 13.76 +1.5 * 0) / 10.58 = 10.36 см / с
Модуль нормального прискорення точки можна знайти і в такий спосіб:
a n =
a n = 21.98 см / с 2.
Радіус кривизни траєкторії в даній точці визначається з виразу:
p = V 2 / a n. р = 5.1 см
Результати обчислень для моменту часу t1 = 1с наведені нижче у таблиці
Координати см | Швидкість см / с | Прискорення, см / с 2 | Радіус см | ||||||||||
| x | y | z | V x | V y | V z | V | a x | a y | a z | a | a t | a n | p |
| 2.5 | -4.33 | 1.5 | -9.07 | -5.24 | 1.5 | 10.58 | -20.04 | 13.76 | 0 | 24.3 | 10,36 | 21.98 | 5.1 |
Дано:
ОМ = Sr = 120pt 2 см;
j е = 8t 2 - 3t радий;
t1 = 1 / 3 c; R = 40 см.
Рішення:
1) Положення точки М на тілі D визначається відстанню S r = ОМ
при t = 1 / 3 c S r = 120p / 9 = 41.89 см.
При t = 1/3с V r = 80p = 251.33 см / с.
a r t = d 2 S r / dt 2 a r t = 240p = 753.98 см / с 2
a r n = V r 2 / R a r n = (80p) 2 / 40 = 1579.14 см / с 2
2) V e = w e r, де r-радіус кола, що описується тією точкою тіла, з якою в даний момент збігається точка М.
a = OM / R. r = R * sina = 40 * sin (p / 3) = 34.64 см.
w е = dj e / dt = 16t-3 при t = 1 / 3 w е = 7 / 3 = 2.33 с -1
V e = 80.83 см / с.
а е ц = w e 2 r а е ц = 188.6 см / с 2.
а е в = e е re е = d 2 j e / dt 2 = 16 с -2 а е в = 554.24 см / с 2.
3)
а з = 2 * w е V r sin (w е, V r) sin (w е, V r) = 90-a = p / 6 a c = 585.60 см / с 2
4)
V = Ö (V e 2 + V r 2) V = 264.01 см / с
Модуль абсолютного прискорення знаходимо методом проекцій.
a x = a е в + а з
a y = a rn cos (p / 3) + a r t cos (p / 6)
a z =- а е ц - a rn cos (p / 6) + a r t cos (p / 3)
а = Ö (a x 2 + a y 2 + a z 2)
Результати розрахунків зведені в таблицю
| w e, c -1 | Швидкість см / с | e е с -2 | Прискорення, см / с 2 | ||||||||||
| V e | V r | V | а е ц | a е в | a rn | а r t | а з | a x | a y | a z | а | ||
| 2.33 | 80.8 | 251.3 | 264 | 16 | 188.6 | 554 | 1579 | 754 | 586 | 1140 | 1143 | -1179 | 1999 |
Визначення реакцій опор твердого тіла
Дано:
Q = 10 kH;
G = 5 kH;
a = 40 см; b = 30 см; c = 20 см;
R = 25 см; r = 15 см.
Завдання:
Знайти реакції опор конструкції.
Рішення:
Для визначення невідомих реакцій складемо рівняння рівноваги.
З рівняння (4) визначаємо P, а потім знаходимо інші реакції опор. Результати обчислень зведемо в таблицю.
Сили, кН | ||||
| Р | Х А | Z A | X B | Z B |
| 5.15 | -0.17 | 2.08 | -3.34 | 2.92 |
Складемо рівняння відносно точки В.