Зміст Введення
Глава 1.Построеніе класичного півкільця приватних
Глава 2.Построеніе повного півкільця приватних
Глава 3.Связь між повним і класичним півкільцями приватних
Бібліографічний список
Введення
В даний час
теорія півкілець активно розвивається і знаходить своє застосування в теорії
автоматів, комп'ютерної алгебри та інших розділах математики.
У роботі побудовані повне і класичне півкільця приватних, а так само розглянуто їх зв'язок.
Перш ніж розпочати розгляд цих структур, визначимо комутативне півкільце приватних наступним чином.
Непорожнє безліч
з визначеними на ньому бінарними операціями
і
називається комутативним півкільцем, якщо виконується наступні аксіоми:
A1.
- Комутативне напівгрупа з нейтральним елементом
, Тобто
1)
;
2)
3)
А2.
- Комутативне напівгрупа з нейтральним елементом 1, тобто
1)
;
2)
3)
А3. множення дистрибутивно щодо складання:
,
.
А4.
.
Таким чином, можна сказати, що півкільце відрізняється від
кільця тим, що адитивна
операція в ньому необоротна.
Глава 1.
Для побудови класичного півкільця приватних можна скористатися таким методом:
Розглянемо пари невід'ємних цілих чисел
.
Будемо вважати пари
і
еквівалентними, якщо
, Отримаємо розбиття
множини пар на класи еквівалентності.
Потім введемо операції на класах, перетворюють безліч класів еквівалентних пар в полуполе, яке містить півкільце невід'ємних чисел.
Визначення 1. Елемент
назвемо мультиплікативно скорочуваним, якщо для
з рівності
випливає, що
.
Позначимо через
множина всіх мультиплікативно скорочуваних елементів.
Твердження 1. Мультиплікативно скорочують елемент є неделітелем нуля.
Нехай
- Дільник нуля, тобто
для деякого
. Тоді
, Але
не є мультиплікативно скорочуваним. ▲
Нехай
- Комутативне півкільце з можливістю скорочення на елементи з
. Розглянемо безліч впорядкованих пар
. Введемо відношення ~ на
:
для всіх
і
.
Пропозиція 1. Ставлення ~ є відношенням еквівалентності на
.
Покажемо, що ~ є відношенням рефлективності, симетричності і транзитивності.
1.Рефлектівность: у силу комутативності півкільця
;
2. Симетричність:
;
3.Транзітівность:
Таким чином, ставлення ~ є відношенням еквівалентності на
.
Півкільце
розбивається на класи еквівалентності; в кожному класі знаходяться ті елементи, які перебувають у відношенні ~. Позначимо
клас еквівалентності пари
. Введемо операції на множині
всіх класів еквівалентності:
тому що для
,
,
виконано
звідси тому
отримуємо
і оскільки
то
отже
.
Покажемо коректність введених операцій:
Нехай
,
, Тоді
▲
Теорема 1. - Комутативне півкільце з 1.
.
Доказ. Щоб довести, що безліч
всіх класів еквівалентності є комутативним півкільцем з 1, потрібно показати замкнутість на ньому операцій:
складання: для
і
1.
2.
Так як праві частини рівні, то ліві частини теж рівні:
3. покажемо, що для
.
Так як
Клас
є нейтральним по +:
З рівності
тоді
.
Для
складає окремий клас, який грає в
роль нуля.
множення: для
і
1.
2.
З рівності правих частин випливає, що
3. покажемо, що для
.
Нехай
Клас
є нейтральним по множенню (одиницею півкільця), тому що
, Оскільки з рівності
тоді
.
4. множення дистрибутивно щодо складання:
Отже, правобічний дистрибутивний закон виконується:
Аналогічно доводиться лівобічний закон дистрибутивності.
Таким чином, доведено, що
є комутативним півкільцем з 1.
Півкільце
називається класичним півкільцем приватних півкільця
. ▲
Глава 2
Для побудови повного півкільця приватних можна скористатися наступним методом. Розглянемо дріб
як частковий ендоморфізму адитивної напівгрупи
невід'ємних цілих чисел. Його область визначення - ідеал
, І він переводить
в
, Де
.
Аналогічно, дріб
визначена на ідеалі
і переводить
в
. Ці дві дробу еквівалентні, тобто вони погоджені на перетині своїх областей визначень, рівному ідеалу
, Оскільки та і інша дріб переводять
в
. Відносини визначаються як класи еквівалентних дробів. Варіюючи цей метод, можна вибрати в кожному класі еквівалентності одну «несократімой» дріб. Розглянутий вище клас містить несократімой дріб
.
Даний метод можна застосувати до довільного комутативне півкільцю для побудови «повного півкільця приватних», де в якості областей визначення допускаються лише ідеали певного типу - щільні ідеали.
Визначення 2. Ідеал
комутативне півкільця
називається щільним, якщо для
і
виконується рівність
тоді і тільки тоді, коли
.
Властивості щільних ідеалів півкільця
:
1
0 - Щільний ідеал.
Доказ:
Нехай для
виконано
. Покладемо
, Тоді
. Таким чином
- Щільний ідеал за визначенням. ▲
2
0 Якщо
- Щільний ідеал і
, То ідеал
щільний.
Доказ:
Якщо
- Щільний ідеал, то для
з рівності
слід
. Нехай для
виконано
. Оскільки за умовою
візьмемо
. Тоді тому
- Щільний ідеал отримуємо
звідси
. Таким чином
- Щільний ідеал за визначенням. ▲
3
0 Якщо
і
- Щільні ідеали, то
і
- Так само щільні ідеали.
Доказ:
Покладемо для
виконується
. Нехай
, Де
,
. Елемент
тому що
, Тоді вірно рівність
звідси
, Тому що
- Щільний ідеал маємо
,
, І
- Щільний,
. Таким чином
- Щільний ідеал.
Нехай
,
тоді за визначенням ідеалу:
. З іншого боку
значить
. Тоді по 2
0 - Щільний ідеал. ▲
4
0 Якщо
, То 0 не є щільним ідеалом.
Доказ.
Нехай
. Для
і
виконано
звідси 0 не є щільним ідеалом. ▲
Визначення 3. Дробом назвемо елемент
, Де
- Деякий щільний ідеал. (
- Скорочення від
- Гомоморфізм, в даному випадку:
- Гомоморфізм
)
Таким чином,
- Гомоморфізм адитивних напівгруп, для якого
для
і
.
Введемо так само дробу
, Поклавши
і
для
.
Додавання та множення дробів визначаються наступним чином:
нехай
і
тоді
,
,
.
Покажемо, що
є ідеалом, де
тобто зберігаються операції:
1. Якщо
, То
.
Нехай
,
, Тоді
.
2. Якщо
і
, То
. За умовою
.
Так як
- Комутативне півкільце, то
.
. Таким чином,
- Ідеал.
Покажемо, що ідеал
є щільним: треба довести, що щільний ідеал -
, Тобто
.
За визначенням додавання і множення
, Тобто
містить щільний ідеал
значить, по властивості 2
0 ідеал
є щільним.
Дроби утворюють адитивну комутативними напівгрупу
з нулем і напівгрупу
з одиницею. Тобто утворюють півкільце.
Доказ:
1. За визначенням додавання і множення:
,
.
,
2. Комутативність:
3. Асоціативність:
4. Нейтральний елемент.
5. Дистрибутивність:
Правобічна дистрибутивність аналогічно.
Таким чином, дробу утворюють півкільце.
Визначення 4. Будемо писати
якщо
і
узгоджені на перетині своїх областей визначень, тобто
для
.
Лемма 1. тоді і тільки тоді, коли
і
узгоджені на деякому щільному ідеалі.
Доказ. Якщо
то
і
узгоджені на
. По властивості 3
0 ідеал
є щільним. Отже,
і
узгоджені на щільному ідеалі.
Зворотно, нехай
і
узгоджені на щільному ідеалі
. Тоді якщо
і
, То
звідси в силу щільності ідеалу
,
для
, Але це рівність виконується тоді, коли перетином областей визначень
і
є
звідси випливає, що
. ▲
Лемма 2. Ставлення
є конгруенції на системі
.
Доказ. Для
того щоб довести, що
- Конгруенції, потрібно показати:
1. ставлення
- Рефлексивно, симетрично, транзитивне.
Рефлективність:
і
узгоджені на щільному ідеалі
.
Симетричність: нехай
, Тобто
і
узгоджені на
.
Транзитивність: нехай
і
, Тобто
і
узгоджені на щільному ідеалі
і
узгоджені на щільному ідеалі
. Значить
і
узгоджені на ідеалі
, Що є щільним, і
узгоджена з
на
, Тоді
узгоджена з
на щільному ідеалі
по
Лемма 1 Таким чином,
- Відношення еквівалентності.
2. ставлення
зберігає напівкільцеві операції.
Ø Нехай
і
, Тобто
для
і
для
.
Тоді
і
визначені й узгоджені на щільному ідеалі
звідси по
Лемма 1 .
Ø Нехай
і
, Тобто
для
і
для
.
Тоді
і
визначені й узгоджені на щільному ідеалі
звідси по
Лемма 1 . ▲
Теорема 2. Якщо
- Комутативне півкільце то система
так само є комутативним півкільцем.
. (Будемо називати
повним півкільцем приватних півкільця
)
Доказ. - Розбиває безліч дробів
на
непересічних класів еквівалентності.
За
Лемма 2 всі тотожності виконуються в
справедливі і в
.
Щоб переконається, що
комутативне півкільце залишається перевірити
справедливість законів дистрибутивності і комутативності.
1. Дистрибутивність.
Відображення:
і
узгоджені на ідеалі
покажемо, що образи відображень
і
співпадають на цьому ідеалі:
нехай
, Де
.
Тоді
.
Областю визначення
є
. За визначенням ідеалу:
то
для
, А ідеал
(Властивість 3
0) то:
. Тоді за визначенням складання
звідси випливає
. Покажемо
. За визначенням
Аналогічно
.
Тоді:
Таким чином,
де
. По властивості 3
0 - Щільний ідеал значить
і
узгоджені на щільному ідеалі
.
2. Комутативність.
Відображення
і
узгоджені на щільному ідеалі
доведемо що їх образи співпадають на цьому ідеалі:
.
Доведено раніше, що
нехай елементи
тоді
Звідси випливає, що
і
узгоджені на щільному ідеалі
.
Таким чином,
по
Лемма 1. Нарешті
зіставимо дріб:
з областю визначення
при якій
переходить в
.
Пропозиція 2. Відображення
є гомоморфізму тобто зберігає операції:
Доказ: 1. Нехай
,
і
де
і
.
Потрібно показати, що
. Покажемо рівність образів
і
.
Розглянемо дріб
, Таку що
для
. (1)
З іншого боку розглянемо дробу
і
, Такі що
для
. (2)
З (1) і (2) випливає, що
.
По властивості складання суміжних класів:
для
2. Нехай
,
і
де
і
.
Потрібно показати, що
. Покажемо рівність образів
і
.
Розглянемо дріб
, Таку що
для
. (3)
З іншого боку розглянемо дробу
і
, Такі що
для
. (4)
З (3) і (4) випливає, що
.
По властивості множення суміжних класів:
для
.
Таким чином
гомоморфізм.
Нехай
, Тоді
тобто
і
узгоджені на деякому щільному ідеалі
значить
для
, Так як
- Щільний ідеал, то
звідси
- Ін'єктивні.
Тому, гомоморфізм
є мономорфізму і
вкладається в повне півкільце приватних.
Гомоморфізм
будемо називати канонічним мономорфізму
в
. ▲
Глава 3.
Визначення 5. Будь-якому мультиплікативно скорочують елементу
зіставимо щільний ідеал
. Якщо
, То елемент
назвемо класичної дробом, вважаючи
для
.
Теорема 3. Безліч дробів
утворює подполукольцо повного півкільця приватних, ізоморфне класичному півкільцю приватних
півкільця
.
Доказ: Розглянемо відображення
, Тобто
.
1. Доведемо, що
- Відображення: якщо
і
,
, Де
,
, То
.
Маємо
Візьмемо елемент
з перетину щільних ідеалів
, Тобто
і
Тоді
, Домножимо
на
отримаємо
. Так як
і на
виконується комутативність по множенню, то
,
звідси
для
.
2. Доведемо, що
є напівкільцеві гомоморфізму, тобто зберігаються напівкільцеві операції.
2.1
. Покажемо, що дріб
узгоджена з
на щільному ідеалі
.
Нехай
,
.
для
.
Отже
.
2.2
.
Ідеал
містить
, Покажемо, що
і
узгоджені на щільному ідеалі
.
Нехай
,
. Тоді
для
.
Значить
.
Таким чином
- Напівкільцевий гомоморфізм класичного півкільця приватних
в повне півкільце приватних
.
3. Доведемо, що
- Ін'єктивні гомоморфізм.
Нехай для
. Припустимо, що
дроби і
узгоджені на деякому щільному ідеалі
, Тобто для
виконано
. Але
,
. Тоді
. Домножимо обидві частини рівності на
отримаємо:
тому що
- Щільний ідеал
, Що
суперечить умові.
Значить,
є ін'єктивні гомоморфізму або мономорфізму
в
.
Так як
, То
, Де
- Елемент подполукольца повного півкільця приватних
, Тобто
і
. Оскільки
- Ін'єктивні гомоморфізм, то згідно теореми про гомоморфізм існує ізоморфізм
звідси випливає
.
Мономорфизм
називається вкладенням класичного півкільця приватних
в повне півкільце приватних
півкільця
. ▲
1. Вечтомов, Є. М. Введення в півкільця [Текст] / Є. М. Вечтомов. -
Кіров.: ВДПУ, 2000.
2. Ламбек, І.
Кільця та модулі [Текст] / І. Ламбек. -
Москва.: Світ, 1971. - 288 с.
3. Чермний, В. В. Півкільця [Текст] / В. В. Чермний. - Кіров.: ВДПУ, 1997. - 131 с.