§ 1. Топологічні простору
(Попередні відомості)
1.1. Безперервні відображення топологічних
просторів
Нехай
Х та
Y топологічні простору.
Визначення 1. Відображення
f: Х → Y називається
безперервним, якщо у всякого безлічі
О, відкритого в просторі
Y, повний прообраз
f -1 (О) відкритий в просторі
Х. Зауваження 1. Для будь-якої підмножини
А простору
Y і відображення
f: X → Y справедливо рівність:
(1).
Теорема 1.1. Відображення f: X → Y є безперервним тоді і тільки тоді, коли у кожного множини F, замкнутого в Y, повний прообраз f - 1 (F) замкнутий у Х. Доказ.
Необхідність. Нехай відображення
f :
X → Y є безперервним, тобто для будь-якої безлічі
О, відкритого в
Y, прообраз
f -1 (O) відкритий в
Х, і нехай
F довільне замкнутий в
Y безліч. Тоді безліч
CF відкрито в
Y, і безліч
відкрито в
Х, в силу безперервності відображення
f і рівності (1). Отже, безліч
f -1 (F) замкнуто в
Х. Достатність. Нехай для будь-якого
множини F, замкнутого в
Y, повний прообраз
f - 1 (F) замкнутий у
Х. Розглянемо довільне відкрите в
Y безліч
О. Тоді безліч
CO буде замкнутим в
Y. Тому
замкнутий у
Х безліч. Отже, безліч
відкрито в
Х. Таким чином, для будь-якої безлічі
О, відкритого в
Y, повний прообраз
відкритий в
Х та відображення
f :
X → Y безперервне за визначенням. €
1.2. Зв'язність топологічних просторів Визначення 4. Топологічний
простір Х називається
незв'язних, якщо його можна розбити на два непустих непересічних відкритих множини:
Х =
О 1 О 2. Визначення 5. Простір Х називається
зв'язковим, якщо такого розбиття не існує.
Зауважимо, що якщо недоладне простір
Х розбито на два непустих відкритих безлічі
О 1 і
О 2, що не мають спільних точок, то
О 1 =
CO 2 і
O 2 =
CO 1. Тому можна дати інше визначення зв'язного простору:
Визначення 6. Топологічний простір
Х називається
зв'язковим, якщо в ньому одночасно відкритим та закритим безліччю є лише сам простір або порожня множина.
Визначення 7. Безліч
Н в топологічному просторі
Х називається
зв'язковим, якщо воно є зв'язковим простором щодо індукованої топології.
Теорема 1.2. Для топологічного простору Х наступні умови еквівалентні: (1) існують непусті відкриті множини О 1 і О 2, для яких О 1 ∩
О 2 = Æ
і О 1 О 2 =
Х; (2) існують непусті замкнуті множини F 1 і F 2, для яких F 1 ∩
F 2 = Æ
і F 1 F 2 =
Х; (3) в Х існує нетривіальне відкрито-замкнутий безліч G; (4) існує безперервна сюр'єктивним функція φ :
Х ® {1, 2}.
Доказ.
З (1)
слід (2). Нехай
О 1 і
О 2 непусті відкриті множини, для яких
О 1 ∩
О 2 = Æ і
О 1 О 2 =
Х. Розглянемо безлічі
F 1 =
СО 1 і
F 2 =
СО 2. Вони є непустою замкнутими множинами, причому
F 1 ∩
F 2 = Æ і
F 1 F 2 =
Х. З (2)
слід (3). Нехай
F 1 і
F 2 непусті замкнуті множини, для яких
F 1 ∩
F 2 = Æ і
F 1 F 2 =
Х. Розглянемо безліч
G =
F 1 Ì
Х. Безліч
F 1 замкнутий за умовою і відкрите, як доповнення до замкнутого безлічі
F 2 (F 1 =
CF 2). Тому безліч
G =
F 1 є нетривіальним відкрито-замкнутим безліччю в
Х. З (3)
слід (4). Нехай
G нетривіальне відкрито-замкнутий безліч в
Х. Тоді безліч
Q =
CG теж нетривіальне відкрито-замкнутий у
Х. Розглянемо функцію
φ :
Х ® {1, 2}, при якій
φ (х) =
Функція φ є безперервною і сюр'єктивним, тому що для будь-яких елементів 1 і 2 множини {1, 2} прообрази їх
відповідно рівні
множинам G і
Q, відкритим в
Х. З (4)
слід (1). Нехай
φ :
Х ® {1, 2} - безперервна сюр'єктивним
функція і нехай множина
M = {1, 2}, тобто
φ (Х) =
М. Множини A = {1} і
B = {2} - непорожні, непересічні відкриті в
М і
.
Функція φ сюр'єктивним, тому справедливо рівність:
Х =
Φ -1 (М) =
φ -1 (А В) =
φ -1 (А) φ -1 (В), причому
φ -1 (А) і
φ -1 (В) непусті непересічні множини. У силу
того, що функція
φ безперервна, безлічі
О 1 =
Φ -1 (А) і
О 2 =
Φ -1 (В) непусті, непересічні відкриті в
Х і
Х =
О 1 О 2 . €
Теорема 1.3. Нехай в топологічному просторі Х дано два діз'юнктних замкнутих множини F 1 і F 2 і непорожнє зв'язне безліч М, що міститься в об'єднанні F 1 F 2. Тоді М міститься тільки в одній з множин, що входять в об'єднання, тобто або в F 1, або в F 2. Доказ. Нехай
F 1 і
F 2 діз'юнктние замкнуті в
Х множини і непорожнє зв'язне безліч
М Í
F 1 F 2. Тоді
М =
(М ∩
F 1) (M ∩
F 2). Так як множини
F 1 і
F 2 замкнуті в
Х, то безлічі
М ∩
F 1 і
M ∩
F 2 замкнуті в
М. Але безліч
М зв'язно, тобто його не можна розбити на два непустих непересічних замкнутих безлічі, тому одне з множин, наприклад
M ∩
F 2, пусте. Тоді
М =
М ∩
F 1 Í
F 1. €
Аналогічно доводиться
Теорема 1.4. Якщо зв'язне безліч М міститься в об'єднанні двох діз'юнктних відкритих множин О 1 і О 2 топологічного простору Х, то воно цілком міститься тільки в одній з множин, що входять в об'єднання. Теорема 1.5. Нехай f: Х → Y безперервне відображення і f (X) =
Y. Тоді якщо Х зв'язно, то Y зв'язно. Доказ від противного. Припустимо, що простір
Y недоладно. Тоді воно розбивається на два непустих відкритих діз'юнктних безлічі
Y =
O 1 O 2. У силу того, що
f безперервне відображення і
f (X) =
Y, прообрази
G 1 =
F -1 (O 1) і
G 2 =
F -1 (O 2) будуть непустою діз'юнктнимі відкритими множинами, які в сумі дають весь простір
Х, що
суперечить його зв'язності. €
1.3. Компактність топологічних просторів Визначення 8. Топологічний простір називається
компактним, якщо будь-яке покриття цього простору відкритими множинами містить кінцеве підпокриття.
Визначення 9. Безліч
А в топологічному просторі
Х називається
компактним, якщо воно компактно в індукованій топології як підпростір.
Теорема 1.6. Підмножина А топологічного простору Х компактно тоді і тільки тоді, коли з будь-якого його покриття множинами, відкритими в Х, можна вибрати кінцеве підпокриття. Теорема 1.7. Замкнута підмножина А компактного простору Х компактно. Доказ. У силу теореми 1.6, достатньо з довільного покриття
множини А відкритими в
Х множинами вибрати кінцеве підпокриття. Для цього додамо до цих множинам відкрита множина
Х \
А і отримаємо відкрите покриття всього простору
Х. У силу компактності простору
Х, з цього покриття можна виділити кінцеве підпокриття, причому ми завжди можна вважати, що в цей підпокриття входить безліч
Х \
А. Нехай, наприклад,
.
Очевидно, що множини
утворюють шукане кінцеве підпокриття множини
А. €
Визначення 10. Топологічний простір називається
гаусдорфовим, якщо будь-які дві його різні точки володіють непересічними околицями.
Теорема 1.8. Компактна підмножина А гаусдорфова простору Х замкнуто. Теорема 1.9. Безперервний образ компактного простору компактний, тобто якщо f: Х → Y - безперервне відображення і простір Х компактно, то й безліч f (Х) компактний. Доказ теорем 1.6 - 1.9 можна знайти в [2].
§ 2. Зв'язність безперервних відображень
2.1. Визначення зв'язності відображення і
найпростіші властивості
Нехай
f: Х → Y - безперервне відображення. Для відкритого в
Y безлічі
U і точки
y Î
Y прообраз
f -1 (U) називається
трубкою (над U), а прообраз
f -1 (y) називається
шаром (над точкою y). Визначення 11.. Безперервне відображення
f: Х → Y називається
незв'язних над точкою y Î
Y, якщо існує така околицю
Oy точки
y, що трубка
f -1 (U) є незв'язною над кожною околицею
U Í
Oy точки
y. Зауваження 2. У даному визначенні досить розглядати лише зв'язкові околиці
U Í
Oy, тому що, якщо
U =
U 1 U 2, де
U 1, U 2 - непорожні діз'юнктние відкриті в
U (а значить і в
Y) множини, то
f -1 (U) =
f -1 (U 1) f -1 (U 2), f -1 (U 1) ∩
f -1 (U 2) = Æ,
тобто
f -1 (U) недоладно
автоматично.
Визначення 12. Неперервна функція
f: Х → Y називається
зв'язковим над точкою y Î
Y, якщо воно не є незв'язних над точкою
y, тобто для будь-якої околиці
Oy точки
y існує така зв'язкова околиця
U Í
Oy точки
y, що трубка
f -1 (U) связна.
Визначення 13. Неперервна функція
f: Х → Y називається
зв'язковим, якщо воно зв'язно над кожною точкою
y Î
Y. Теорема 2.1 (критерії незв'язності). Нехай відображення f: Х → Y безперервно і крапка y Î
Y. Тоді наступні умови еквівалентні: (1) відображення f недоладно над точкою y Î
Y; (2) існує така околицю Oy точки y Î
Y, що кожна трубка f -1 (U) над околицею U Í
Oy точки у розпадається на два діз'юнктних непустих відкритих в цій трубці множини; (3) існує така околицю Oy точки y Î
Y, що кожна трубка f -1 (U) над околицею U Í
Oy точки у розпадається на два діз'юнктних непустих замкнутих в цій трубці множини; (4) існує така околицю Oy точки y Î
Y, що в кожній трубці f -1 (U) над околицею U Í
Oy точки у існує нетривіальне відкрито-замкнутий у цій трубці безліч; (5) існує така околицю Oy точки y Î
Y, що для кожної трубки f -1 (U) над околицею U Í
Oy точки у існує безперервна сюр'єктивним функція φ: f -1 (U) ® {1, 2}.
Доказ.
З (1) слід (2). Нехай безперервне відображення
f: Х → Y недоладне над точкою
y Î
Y, тобто існує така околицю
Oy точки
y, що трубка
f -1 (U) є незв'язною над кожною околицею
U Í
Oy точки
y. Таким чином, трубка
f -1 (U) над околицею
U Í
Oy розпадається на два діз'юнктних непустих відкритих в цій трубці множини, тобто
f -1 (U) =
О 1 О 2, О 1 ∩
О 2 = Æ.
З (2) слід (3). Нехай трубка
f -1 (U) розпадається на два діз'юнктних непустих відкритих в цій трубці множини. Тоді, по теоремі 1.2, трубка
f -1 (U) розпадається на два діз'юнктних непустих замкнутих в цій трубці множини.
З (3) слід (4). Нехай трубка
f -1 (U) розпадається на два діз'юнктних непустих замкнутих в цій трубці множини. Тоді, по теоремі 1.2, в трубці
f -1 (U) існує нетривіальне відкрито-замкнутий у цій трубці безліч.
З (4) слід (5). Нехай у трубці
f -1 (U) існує нетривіальне відкрито-замкнутий у цій трубці безліч. Тоді, по теоремі 1.2, для трубки
f -1 (U) існує безперервна сюр'єктивним функція
φ: f -1 (U) ® {1, 2}.
З (5) випливає (1). Нехай існує така околицю
Oy точки
y Î
Y, що для трубки
f -1 (U) над деякою околицею
U Í
Oy існує безперервна сюр'єктивним функція
φ: f -1 (U) ® {1, 2}. Тоді, по теоремі 1.2, трубка
f -1 (U) розпадається на два діз'юнктних непустих відкритих в цій трубці множини. Звідси, за визначенням незв'язного над точкою відображення, слід, що відображення
f недоладно над точкою
y Î
Y. €
Визначення 14. Відображення
f: Х → Y називається
пошарово зв'язковим, якщо кожен шар
f -1 (Y), де
y Î
Y, цього відображення є зв'язковим безліччю.
Теорема 2.2 (про збереження зв'язності). Нехай відображення f: X ®
Y і g: Z ®
Y безперервні й існує безперервне сюр'єктивним відображення φ :
X ®
Z, при якому f =
g φ. Тоді, якщо відображення f зв'язно над точкою y Î
Y (шар f -1 (y) зв'язний), то і відображення g зв'язно над точкою y Î
Y (шар g -1 (y) зв'язний). Зокрема, якщо отображненіе f зв'язно (пошарово зв'язно), то і відображення g зв'язно (пошарово зв'язно). Доказ. Нехай відображення
f: X ®
Y зв'язне над точкою
y Î
Y, тоді для будь-якої околиці
Oy точки
y існує зв'язкова околиця
U Í
Oy точки
y, трубка над якою
f -1 (U) связна. Відображення
φ безперервне, значить (по теоремі 1.5)
образ зв'язкового безлічі
f -1 (U) (зв'язкового шару
f -1 (y)) зв'язний, тобто
безліч
φ (f -1 (U)) (безліч
φ (f -1 (y))) - чіткий.
Припустимо, що відображення
g недоладно над точкою
y Î
Y, тобто існує така зв'язкова околиці
Oy точки
y, що трубка
g -1 (U) є незв'язною над кожною околицею
U Í
Oy точки
y. (Припустимо, що шар
g -1 (Y) несвязен над точкою
y Î
Y). За умовою,
f =
g φ, отже,
f -1 (U) =
(g φ) -1 (U) =
φ -1 (G -1 (U)). Звідси,
φ (f -1 (U)) =
φ (φ -1 (g -1 (U))) =
g -1 (U) (Для шару
φ (f -1 (y)) =
g -1 (y)). Отримали протиріччя, тому що безліч
φ (f -1 (U)) зв'язне (шар
φ (f -1 (y)) зв'язний), а безліч
g -1 (U) (шар
g -1 (y)) - ні.
Нехай отображненіе
f зв'язно (пошарово зв'язне), тоді, за визначенням 10 (11), воно зв'язно над кожною точкою
y Î
Y (кожен шар
f -1 (y) зв'язний). Візьмемо довільну точку
y Î
Y. Якщо відображення
f зв'язно над цією точкою
y Î
Y (шар
f -1 (y) зв'язний), то і відображення
g зв'язно над цією ж точкою (шар
g -1 (y) зв'язний). У силу довільності вибору точки
y, укладаємо, що відображення
g зв'язно над кожною точкою
y Î
Y (пошарово зв'язно). €
2.2. Замкнуті відображення. Зв'язок зв'язності і пошарової зв'язності Визначення 15. Відображення
f: X → Y називається
замкнутим, якщо для кожного замкнутого безлічі
F Í
Х образ f (F) є замкнутим безліччю в
Y. Визначення 16. Відображення
f: X → Y називається
замкнутим над точкою y Î
Y, якщо для будь-якої околиці
Про шару
f - 1 (y) Ì
Х знайдеться окіл
Oy точки
y, трубка над якою
f - 1 (Oy) міститься в даній околиці
Про шару
f - 1 (y): f - 1 (y) Í
f - 1 (Oy) Í
О. Зв'язок між замкнутістю в точці і загальної замкнутістю
встановлює наступна
Лемма 2.1. Неперервна функція f: X → Y замкнуто тоді і тільки тоді, коли воно замкнуто над кожною точкою y Î
Y. Доказ.
Необхідність. Нехай відображення
f: X → Y замкнуто. Візьмемо довільну точку
y Î
Y і розглянемо околиця
Про безлічі
f - 1 (y). Безліч
F = X \
Про замкнуто в
Х та
F ∩
f -1 (y) = Æ. Тому безліч
f (F) замкнуто в
Y і крапка
y Ï
f (F). Значить околиця
Oy = Y \
f (F) точки
y має таку властивість
f - 1 (Oy) ∩ F = Æ, отже,
f - 1 (Oy) Ì
О. Таким чином, відображення
f замкнуто над кожною точкою
y Î
Y в силу того, що точка
y взята довільно.
Достатність. Нехай безперервне відображення
f замкнуто над кожною точкою
y Î
Y. Припустимо, що образ
f (F) деякого замкнутого в
Х множини
F не замкнутий в
Y. Нехай точка
y Î
[f (F)] \
f (F), тобто належить кордоні безлічі
f (F). Безліч
X \
F є околицею безлічі
f - 1 (y). Отже, існує така околиці
Oy точки
y, що
f - 1 (Oy) Ì
X \
F. Але тоді
Oy ∩
f (F) = Æ і тому точка
y Ï
[f (F)]. Отримали протиріччя. Звідси, відображення
f замкнуто. €
Наступні твердження вказують на деякі найважливіші приклади замкнутих відображень.
Пропозиція 2.1. Неперервна функція f: X ®
Y компактного простору X в гаусдорфів простір Y є замкнутим. Доказ. Розглянемо довільне безліч
F, замкнутий у
Х. Воно буде компактним (по теоремі 1.7). Тоді безперервний образ
f (F) компактного безлічі
F буде компактний в
Y (по теоремі 1.9).
Простір Y гаусдорфів, отже, безліч
f (F) - замкнуто (в силу теореми 1.8). Таким чином, відображення
f є замкнутим.
Слідство 2.1. Біектівное безперервне відображення f: X ®
Y компактного простору X на гаусдорфів простір Y є гомеоморфізмом. Доказ. Розглянемо довільне замкнутий підмножина
F компактного простору
X. У силу пропозиції 2.1, образ
f (F) - замкнутий безліч. Тоді, по теоремі 1.1, відображення
f -1 є безперервним, отже,
f - гомеоморфізм.ÿ
Пропозиція 2.2. Нехай відображення f: X ®
Y замкнуто над точкою y Î
Y і нехай безліч Z замкнуто в X. Тоді подотображеніе g = f | Z: Z ®
Y замкнуто над точкою y. Зокрема, якщо відображення f замкнуто (над кожною точкою y Î
Y), то і відображення g замкнуто. Доказ. Візьмемо довільну точку
y Î
Y і розглянемо околиця
U Ì
Z шару
g -1 (y). Тоді в
Х знайдеться відкрита множина
U ¢ таке, що
U =
U ¢ Z. Безліч
O =
U ¢ (X \
Z) буде околом шару
f -1 (y). Відображення
f замкнуте над точкою
y Î
Y, тому знайдеться така околиця
Oy точки
y, що
f -1 (Oy) Ì
O. Тоді
g -1 (Oy) Ì
Z O =
Z U ¢ =
U. У силу довільності вибору точки
y Î
Y, можна зробити висновок, що якщо відображення
f замкнуте над кожною точкою
y Î
Y, то і відображення
g замкнутий над кожною точкою
y Î
Y. Пропозиція 2.3. Нехай відображення f :
X ®
Y замкнуто над точкою y Î
T Í
Y, де T - довільна множина в Y. Тоді під-відображення g =
F | :
f -1 (T) ®
T замкнуто над точкою y. Зокрема, якщо відображення f замкнуто (над кожною точкою y Î
T), то і відображення g теж замкнуто (над кожною точкою y Î
T). Доказ. Візьмемо довільну точку
y Î
T Í
Y і деяку околицю
Про шару
g - 1 (y) =
f - 1 (y), таку що
O =
O ' f -1 (T), де
О ¢ - відкрите в
Х безліч.
Так як відображення
f замкнутий над точкою
y, знайдеться така околиця
O 'y в
Y точки
y, що
f - 1 (O' y) Ì
О '. Тоді в
Т існує така околицю
Oy точки
y, що
Oy =
Oy ' T, і
f - 1 (Oy) =
g - 1 (Oy) Ì
O ' f -1 (T) =
О. Отже, відображення
g буде замкнуто над
y Î
Y. Якщо відображення
f замкнутий над кожною точкою
y, то і відображення
g буде замкнутим над кожною точкою
y. Встановимо тепер зв'язок між зв'язковими і пошарово зв'язковими замкнутими відображеннями.
Пропозиція 2.4. Нехай відображення f: X → Y замкнуто над точкою y Î
Y і шар f -1 (y) є незв'язних безліччю. Тоді відображення f недоладне над точкою y. Зокрема, якщо відображення f замкнуто і кожен його шар несвязен, то воно недоладне над кожною точкою y Î
Y. Доказ. Оскільки шар
f -1 (y) є незв'язних безліччю, то знайдуться такі непусті відкриті в
f -1 (Y) безлічі
О 1 і
О 2, що
О 1 ∩
О 2 = Æ і
О 1 О 2 =
f -1 (Y). Тоді в
Х існують відкриті множини
Q 1 і
Q 2 такі, що
O 1 =
Q 1 f -1 (Y),
O 2 =
Q 2 f -1 (Y).
Розглянемо замикання цих множин
і
в
Х. Їх перетин
є замкнутий безліч, і
F f -1 (Y) = Æ (тому
О 1 і
О 2 замкнуті в
f -1 (Y), як доповнення до відкритих). Безліч
О =
(Q 1 Q 2) \
F відкрито у
Х, причому
f -1 (Y) Ì
Про. Для цієї околиці
О (в силу замкнутості відображення
f) знайдеться така околиця
Oy точки
y, що
f -1 (Oy) Ì
Про. Нехай
G 1 =
f -1 (Oy) Q 1 і
G 2 =
f -1 (Oy) Q 2 - відкриті в
f -1 (Oy) множини. Так як
Ì
Х \
f -1 (Oy), то
G 1 ∩
G 2 =
Æ. Тоді
f -1 (Oy) =
G 1 G 2. Отже, трубка
f -1 (Oy) недоладне.
Нехай
U Í
Oy - Довільна околиця точки
y. Тоді
і
- Діз'юнктние безлічі, відкриті в
f -1 (U), і непусті, тому що
О 1 Ì
і
О 2 Ì
. Отже, для будь-якої околиці
U Í
Oy трубка
f -1 (U) недоладне. Відображення
f недоладно над точкою
y за визначенням.
Якщо відображення
f замкнуте над кожною точкою
y Î
Y і кожен його шар незв'язною, тоді, для довільної точки
y, відображення
f буде незв'язних над нею, отже, і над кожною точкою
y Î
Y. З встановленого пропозиції автоматично випливає
Слідство 2.2. Нехай відображення f: X → Y замкнуто над точкою y Î
Y і складно над точкою y. Тоді шар f -1 (Y)
є зв'язковим безліччю. Зокрема, якщо f замкнуте і зв'язне відображення, то воно пошарово зв'язне. Пропозиція 2.5. Нехай відображення f: X → Y замкнутий і пошарово зв'язне. Тоді воно зв'язне. Доказ. Візьмемо довільну точку
y Î
Y і припустимо, що відображення
f недоладно над точкою
y. Тоді існує така околицю
Oy точки
y, що трубка
f -1 (U) є незв'язною над кожною околицею
U Í
Oy точки
y. Зафіксуємо деяку таку зв'язну околиця
U, для якої виконуються наступні умови:
f -1 (U) =
О 1 О 2, О 1 ∩
О 2 = Æ,
де
О 1 і
О 2 - непорожні відкриті в
f -1 (U) множини.
Шар
f -1 (y) зв'язний і
f -1 (y) Ì
f -1 (U), звідси,
f -1 (y) міститься або у
О 1, або в
О 2 (по теоремі 1.4). Розглянемо довільну точку
х 1 Î
О 1. Образ цієї точки
f (x 1) =
y 1 Ì
U. За умовою, шар
f -1 (y 1) зв'язний і
f -1 (y 1) Ì
О 1 О 2 =
f -1 (U). Оскільки
О 1 ∩
О 2 = Æ і
х 1 Î
О 1, отже (по теоремі 1.4),
f -1 (y 1) Ì
О 1. (Іншими словами, якщо одна точка шару належить безлічі
О 1, то і весь шар належить цій безлічі.)
Звідси, так як точка
х 1 довільна, то
О 1 =
f -1 (f (O 1)). Аналогічно доводиться, що
О 2 =
f -1 (f (O 2)). Відображення
f замкнуте, тоді, по теоремі 2.3, подотображеніе
g =
f: f -1 (Oy) ®
Oy також замкнутий. Таким чином, безлічі
f (O 1) =
g (O 1) і
f (O 2) =
g (O 2) будуть непересічними відкрито-замкнутими в
U і
U =
f (O 1) f (O 2), тобто околиця
U недоладне. Це суперечить вибору околиці
U. Для замкнутих відображень підсумкову взаємозв'язок між пошарової зв'язністю і зв'язністю тепер можна виразити у формі наступної теореми:
Теорема 2.3. Замкнутий відображення f: X → Y зв'язно тоді і тільки тоді, коли воно пошарово зв'язно. (Випливає з слідства 2.1 і пропозиції 2.5).
З останньої теореми і пропозицій 2.2 - 2.3 виходять такі наслідки:
Слідство 2.3. Нехай відображення f: X → Y замкнутий, Z Í
X замкнуто в Х. Подотображеніе g = f | Z: Z ®
Y є зв'язковим тоді і тільки тоді, коли воно пошарово зв'язне. Слідство 2.4. Нехай відображення f: X → Y замкнутий, T Í
Y довільна множина. Подотображеніе g =
f | :
f -1 (T) ®
T є зв'язковим тоді і тільки тоді, коли воно пошарово зв'язне. Розглянуті тут властивості будуть використані в наступних пунктах в якості основи для побудови прикладів зв'язних і незв'язних відображень.
2.3. Зв'язок між зв'язністю просторів і відображень Нехай простір
Y = {*} - одноточкові. У цьому випадку відображення
f: X → Y безперервно і є зв'язковим (незв'язних) тоді і тільки тоді, коли простір
Х зв'язно (недоладно), тому що трубки і шари над простором
Y збігаються з усім простором
Х. Цей факт дозволяє будувати численні приклади зв'язних і незв'язних відображень. Для цього достатньо взяти зв'язкові та незв'язні простору і відображення їх у одноточкові множини.
Приклад. Розглянемо відображення
f: [-1; 1] ®
R, для якого
f (х) = 0 при будь-якому
х Î [-1; 1]. Відображення
f зв'язно тоді і тільки тоді, коли шар
f -1 (y) над точкою
y = 0 зв'язний. Але
f -1 (0) = [-1; 1] - чіткий безліч. Причому,
поняття трубки і шару над точкою
y = 0 збігаються, тому відображення
f є зв'язковим і пошарово зв'язковим.
Якщо відображення
f: [-1; 1]
[2, 3] ®
R задано умовою
f (х) = 0 для будь-якого
х Î [-1; 1]
[2, 3], то воно недоладно (пошарово недоладно) над точкою
y = 0 в силу незв'язності трубки (шару)
f -1 (0) = [-1; 1]
[2, 3].
У розглянутих прикладах простір
Y є зв'язковим. Ця умова і умова зв'язності відображення
f виявилися необхідною і достатньою умовою для зв'язності простору
Х. Більш того, має місце
Теорема 2.4. Нехай сюр'єктивним відображення f: X → Y безперервно і складно. Простір X є зв'язковим тоді і тільки тоді, коли простір Y зв'язне. Доказ.
Необхідність. По теоремі 1.5 (§ 1), якщо
f: Х → Y безперервне відображення,
f (X) =
Y і
Х зв'язно, то
Y зв'язно.
Достатність. Нехай простір
Y зв'язно. Припустимо, що простір
Х недоладно. Тоді в
Х знайдуться такі непусті діз'юнктние відкриті множини
О 1 і
О 2, що
О 1 О 2 =
Х. Припустимо, що знайдеться точка
y Î
. Тоді в будь околиці шару
f -1 (y) утримуватися як точки безлічі
О 1, так і точки безлічі
О 2. З іншого боку,
f -1 (y) Ì
f -1 (U), де трубка
f -1 (U) є зв'язковим безліччю (в силу зв'язності відображення
f над точкою
y) і повинна міститися або в
О 1, або в
Про 2 (по теоремі 1.4). Отримали протиріччя. Отже,
= Æ,
тобто
і
- Непорожні діз'юнктние замкнуті множини. Але
f (О 1) f (О 2) =
Y, значить,
=
F (О 1) і
=
F (О 2), тобто ці безлічі відкрито-замкнуті. Це суперечить зв'язності простору
Y. Таким чином, припущення про незв'язності топологічного простору
Х невірно, а правда те, що потрібно довести. €
Інший зв'язку між зв'язністю просторів і зв'язністю відображень може і не бути.
Приклади. Нехай відображення
f: X → Y безперервно. Якщо простір
Х зв'язно, то і його образ
f (X) зв'язний, але відображення
f не зобов'язана бути зв'язковим. А
саме, нехай
f: R ® [0; + ¥], і
f (х) =
х 2 для будь-якого
х Î
R (рис. 1). Розглянемо довільну точку
y Î (0; + ¥). Нехай околицею точки
y є будь-який інтервал
U =
(a; b) Í (0; + ¥), що містить цю точку. Тоді трубка
f -1 (U) =
розпадається на два непустих непересічних відкритих в
R множини, тобто
f -1 (U) - недоладне безліч. Таким чином, відображення
f недоладно за визначенням.
Можна навести ще приклад такого роду. Нехай
Oxy - прямокутна декартова
система координат. Розглянемо кільце
ω з центром у початку координат і радіусами
r =
a, R =
b (рис. 2). Нехай
pr X: ω → [-
b; b] - проекція цього
кільця на вісь
Ox, де
pr X (x; y) =
х Î [-
b; b] для будь-якої точки
(x; y) Î
ω. Візьмемо довільну точку
х Î (-
a; a) Ì [-
b; b]. Для будь-якої околиці
U Ì (-
a; a) точки
х трубка
є незв'язною, тому що складається з двох частин
A і
B (рис. 2). Таким чином, проекція
pr X - є незв'язних відображенням.
Може бути й навпаки, відображення
f зв'язне, а простору
X і
Y - незв'язні.
Нехай, наприклад, відображення
f: R \ {0} ®
R \ {0} задано формулою
f (х) =
для будь-якого
х Î
R \ {0} (рис. 3). Візьмемо довільну точку
y Î
R \ {0}. Для будь-якої околиці
Oy Ì
R \ {0} точки
y знайдеться зв'язкова околиця
U Í (0; + ¥) (або
U Í (- ¥; 0)), трубка
f -1 (U) над якою связна (тому що
f -1 (U ) містить частина гілки гіперболи або всю гілку, яка связна і навіть лінійно связна).
Нехай
Х = [0; 1],
Y = [0; 1]
[2, 3]. Розглянемо проекцію
:
X 'Y ®
Y (рис. 4), де
pr Y (x; y) =
y Î
Y для будь-якої точки
(x; y) Î
X 'Y. Множини
X 'Y і
Y є незв'язними, але проекція
- Чіткий відображення (в силу теореми 2.7, яка буде доведена в пункті 2.4).
Розглянемо інші приклади зв'язкових відображень, що пов'язані з безперервними числовими функціями.
Теорема 2.6. Безперервна функція f: [A;
b] → R є зв'язковою тоді і тільки тоді, коли вона монотонна, тобто коли для будь-яких точок х, х ¢ Î
[a; b], де х £
х ¢, виконується тільки одне з двох властивостей: f (x) £
f (x ¢) або f (x) ³
f (x ¢ ).
Доказ.
Необхідність. Функція
f є відображенням компактного безлічі в гаусдорфів простір, тому вона замкнута (в силу пропозиції 2.1). Тоді, по теоремі 2.3, функція
f є пошарово зв'язковою.
Припустимо, що
f - не монотонна. Тоді знайдуться такі точки
х 1, х 2, х 3 Î
[a; b] і
х 1 <х 2 <х 3, для яких виконується система неревенств:
.
Покладемо
f (x 1) =
y 1, f (x 2) =
y 2, f (x 3) =
y 3 та
y 3 ³
y 1 (або
y 1 ³
y 3). Тоді шар
f -1 (y 3) є зв'язковим замкнутим підмножиною прямий
y =
y 3 (рис. 5), тобто відрізком. По теоремі про проміжне значення
функції, існує точка
х ¢ Î
[x 1; x 2) і
f (x ¢) =
y 3. У силу зв'язності шару
f -1 (y 3), відрізок
[А; В] (див. рис. 5) повинен цілком лежати в шарі
f -1 (y 3). Але точка
(x 2; y 2), де
x ¢ <x 2 <x 3, не належить прямій
y =
y 3, тому шар
f -1 (y 3) розпадається на два непустих непересічних замкнутих у
f -1 (y 3 ) множини. Це суперечить пошарової зв'язності функції
f. Отже,
f - монотонна.
Достатність. Припустимо, що функція
f не є зв'язковою. Отже,
f не є пошарово зв'язковий (по теоремі 2.3). Тоді існує така точка
y ¢ Î
R, що шар
f -1 (y ¢) - несвязен, тобто
f -1 (y ¢) =
О 1 О 2, де
О 1 і
О 2 - непорожні діз'юнктние замкнуті в
f -1 (y ¢) безлічі (рис. 6). Отже, знайдуться такі точки
x 1 Î
О 1, x 2 Î
О 2 і крапка
х, де
x 1 <
x <x 2 і
x Ï
О 1, x Ï
О 2, що
.
Але це суперечить умові монотонності функції
f. Отже, функція
f є зв'язковою. ÿ
Дана теорема стверджує, що зв'язкові функції, безперервні на відрізку, - це або незростаючими, або неспадними функції.
Цей факт узагальнюється на
випадок інтервалу
(a; b). Якщо зв'язкова функція
f визначена на
R з кінцевим числом точок розриву, то її монотонність у загальному вигляді порушується, але область визначення можна розбити на кінцеве число проміжків, на кожному з яких функція
f буде монотонною.
2.4. Твори просторів і проекції Визначення 17. Нехай
Х та
Y - топологічні простори з топологіями
t Х і
t Y відповідно.
Топологічні твором цих просторів називається множина
X 'Y з топологією
t Х 'Y, утвореної сімейством всіх множин виду
U 'V =
,
і їх різноманітних об'єднань, де
U Î
t Х, V Î
t Y і
:
X 'Y ®
Х, :
X 'Y ®
Y - це проекції, причому
(X;
y) =
x і
(X;
y) =
y. Множини виду
U 'V =
називаються
елементарними (або базисними) відкритими множинами. Визначення 18. Відображення
f :
X → Y називається
відкритим, якщо для кожного відкритого безлічі
Про Í
Х образ
f (О) є відкритим
множиною в
Y. Лемма 2.2. Проекції :
X 'Y ®
Х і :
X 'Y ®
Y є безперервними відкритими відображеннями. Доказ. Візьмемо довільне відкрите в
Х безліч
G. Прообраз цієї множини
=
G 'Y з визначення топології
твори відкритий в
X' Y. Тоді проекції
і
будуть безперервними відображеннями.
Нехай точка
z Î
X 'Y; Oz - її довільна околиця (рис.7). Знайдеться базисна околиця
точки
z, де
U - окіл точки
,
V - околиця точки
. Точка
є внутрішньою точкою множини
U, а значить і безлічі
.
Аналогічно, точка
- Внутрішня точка безлічі
. Отже, безлічі
і
відкриті, і проекції
і
- Відкриті відображення. ÿ
Лемма 2.3. Нехай простір Х є компактним. Тоді проекція :
X 'Y ®
Y є замкнутим відображенням. Доказ. Візьмемо довільну точку
y Î
Y і розглянемо шар
= {(X;
y): x Î
X} =
X '{y}.
Він гомеоморфії безлічі
Х, тому є компактним безліччю. Нехай
О деяка околиця шару
. Розглянемо довільну точку
z =
(x; y) шару
Ì
X 'Y і її елементарну околиця
G ,
де
Ox - околиця точки
x в
X, Oy - околиця точки
y в
Y. Оскільки точка
z довільна, отже, такими околицями можна покрити всі безліч
. Нехай
- Це відкрите покриття безлічі
. Тоді можна виділити кінцеве відкрите підпокриття
, Причому
Ì
О, яке будемо розглядати як деяку околицю шару
. Нехай
U =
,
де
О i j =
(G i j). Тоді
Í
Ì
О, тобто проекція
є замкнутим над точкою
у, і, отже, замкнутим відображенням. €
Теорема 2.7. Нехай Х зв'язне топологічний простір. Тоді проекція :
X 'Y ®
Y є зв'язковим відображенням. Доказ. Нехай
х - довільна фіксована точка простору
Х. Розглянемо шар
= =
Y '{x}. Він гомеоморфії зв'язного простору
Y, тому шар
також зв'язний. Припустимо, що відображення
недоладне над точкою
х, тобто існує така околиці
Ох точки
х, що трубка
є незв'язною для всякої околиці
U Í
Ox точки
x. Зафіксуємо деяку таку зв'язну околиця
U. Для неї
знайдуться непусті відкриті в
безлічі
О 1 і
О 2, що
О 1 ∩
О 2 = Æ і
О 1 О 2 =
. Шар
зв'язний і
, Звідси, по теоремі 2.3,
міститься або у
О 1, або в
О 2. Розглянемо довільну точку
w 1 Î
О 1. Образ цієї точки
=
Х 1 Ì
U. Шар
Ì
О 1 О 2 =
, І крапка
w 1 належить безлічі
О 1 і шару
, Тому
Ì
О 1 (тому
О 1 ∩
О 2 = Æ). Оскільки
w 1 - довільна точка множини
О 1, то
. Аналогічно,
.
Множини
О 1 і
О 2 діз'юнктние відкриті в
і
- Відкрите відображення. Отже,
(O 1) і
(O 2) - непорожні діз'юнктние відкриті в
U множини і
(O 1) (O 2) =
U. Звідси околиця
U несвязная, що суперечить вибору околиці
U. Таким чином, відображення
зв'язне над точкою
х і крапка
х довільна, тому проекція
є зв'язковим відображенням. €
Слідство 2.5.
Якщо простору Х і Y зв'язкові, то і їх твір X 'Y є зв'язковим безліччю. Доказ. Припустимо протилежне. Нехай множина
X 'Y недоладне, тобто
X 'Y =
О 1 О 2, де
О 1 і
О 2 - непорожні діз'юнктние відкриті в
X 'Y множини.
Візьмемо довільну точку
z Î
О 1. Образ цієї точки
(Z) =
x. Шар
Ì
О 1 О 2 зв'язний, і крапка
х Î
О 1, отже,
Ì
Про 1 (так як
О 1 О 2 = Æ). У силу того, що точка
z - довільна, отримаємо
. Аналогічно,
.
Множини О 1 і
О 2 - непорожні діз'юнктние відкриті в
X 'Y, і відображення
- Відкрите, отже, безлічі
і
- Непорожні діз'юнктние відкриті в
Y і
=
Y. Це суперечить зв'язності
Y. Доказ можна отримати простіше. Так як простір
Х зв'язне, то проекція
:
X 'Y ®
Y є зв'язковим і безперервним відображенням (по теоремі 2.7 і лемі 2.2). Простір
Y зв'язне. Тоді, по теоремі 2.4,
X 'Y - чіткий безліч.
Визначення 19. Відображення
f: X ®
Y називається
(замкнуто, відкрито) паралельно простору F, якщо існує таке топологічний вкладення
i :
X ®
Y 'F простору
Х в топологічний твір
Y 'F, що (безліч
i (X) відповідно замкнуто, відкрито в
Y 'F і)
f =
pr Y i, де
pr Y :
Y 'F ®
Y - проекція на співмножник
Y. Теорема 2.8.
Нехай відображення f :
X ®
Y пошарово зв'язне і паралельно простору F. Тоді відображення f зв'язне. Доказ. Ототожнив
Х з
i (X). Тоді
f можна ототожнити з подотображеніем проекції
pr Y: Y 'F ®
Y. Нехай
y Î
Y - фіксована точка і
Oy - її довільна околиці. Припустимо, що для будь-зв'язковий околиці
U Í
Oy точки
у трубка
f -1 (U) недоладне. Покладемо
f -1 (U) =
О 1 О 2, де
О 1, О 2 - непорожні діз'юнктние відкриті в
f -1 (U) множини і
U Í
Oy - деяка фіксована зв'язкова околиця точки
y. Нехай
х Î
f -1 (y). Тоді
х Î
О 1 або
х Î
О 2. Припустимо
х Î
О 1. Знайдеться таке відкрите в
Y 'F безліч
G 1, що
О 1 =
G 1 X. За визначенням топології, в
Y 'F знайдуться околиця
V x Í
U точки
y і відкрите в
F безліч
W такі, що
х Î
=
V x 'W Í
G 1. Так як безліч
f -1 (y) - чіткий за умовою,
то x Î
f -1 (y) Í
О 1. Нехай
х ¢ - довільна точка з
(V x 'W) Х. Тоді
х ¢ Î
О 1 і
f -1 (f (x ¢)) Í
О 1. Отже,
О 1 містить всякий шар
f -1 (y ¢), де
y ¢ Î
V x (в силу пошарової зв'язності
f). Таким чином, для кожної точки
х Î
О 1 знайдеться окіл
V x Í
U точки
f (x), що
х Î
f -1 (V x ) Í
О 1. Тому
.
Отже, безліч
є околицею точки
y і
O 1 =
f -1 (V 1). Аналогічно встановлюється, що
O 2 =
f -1 (V 2), де
V 2 непорожнє відкрите в
Y безліч. Звідки,
U =
V 1 V 2, що суперечить зв'язності
U. Значить, відображення
f зв'язне над точкою
y. €
Приклад. Якщо відображення
f: X ®
Y зв'язне над точкою
y, то шар
f -1 (y) необов'язково є зв'язковим безліччю. Наприклад, нехай
f =
pr Y :
X 'Y ®
Y - проекція на
Y, де
Х =
Y = [0; 1] (рис. 8). Розглянемо точку
y =
Î
Y і шар
f -1 (y) над точкою
y. Нехай точка
z =
(x; y) Î
X 'Y, де
х =
,
Y =
. Тоді шар
f -1 (y) \
{z} - недоладне безліч. Відображення
f =
pr Y при цьому залишиться зв'язковим, оскільки для будь-якої зв'язковий околиці
U точки
y трубка
f -1 (U) - лінійно связна, отже, трубка
f -1 (U) - связна.
2.5. Пошарове твір відображень Визначення 20. Нехай
f: X ®
Y і
g: Z ®
Y - безперервні відображення.
Пошаровим твором f 'g цих відображень називається відображення
h: Т ®
Y, де
і
.
З даного визначення випливає сенс назви такого визначення:
для будь-якої точки
y Î
Y. Таким чином, в силу слідства 2.5, стає очевидною наступна теорема:
Теорема 2.9. Нехай відображення f: X ®
Y і g: Z ®
Y пошарово зв'язкові. Тоді твір h = f 'g також є пошарово зв'язковим відображенням. Лемма 2.4. Нехай f, g: X ®
Y безперервні відображення в гаусдорфів простір Y. Тоді безліч Т =
{X Î
X :
F (x) =
g (x)} є замкнутим в Х. Доказ. Доведемо, що безліч
Х \
Т відкрите, тобто для будь-якої точки
x Î
X знайдеться така околиця
Ох точки
х, що
Ох Ì
Х \
Т. Візьмемо довільну точку
x Î
X \
Т. Тоді
f (x) =
y 1 Î
Y, g (x) =
y 2 Î
Y. Так як простір
Y гаусдорфів, то існують околиці
Про y 1 точки
y 1 і
О y 2 точки
y 2 такі, що
Про y 1 Про y 2 = Æ. {*}
Відображення
f і
g - безперервні, тому безлічі
f -1 (Oy 1), g -1 (Oy 2) - відкриті в
Y і
x Î
f -1 (Oy 1), x Î
g -1 (Oy 2). Розглянемо околиця
Ох =
F -1 (Oy 1) g -1 (Oy 2) точки
х. Припустимо, що
Ох Т ≠ Æ, тобто існує така точка
х 1 Î
Ох, що
f (x 1) =
g (x 1) =
y. Але точка
y повинна належати як околиці
Oy 1, так і околиці
Oy 2, що суперечить умові {*}. ÿ
Лемма 2.5.
Якщо простору Х і Y компактні, то і їх твір X 'Y є компактним безліччю. Доказ. Нехай
х - довільна фіксована точка простору
Х, і нехай
Ω =
- Відкрите покриття простору
X 'Y. Розглянемо шар
=
Y '{x}. Він гомеоморфії зв'язного простору
Y, тому
- Компактне безліч. Тоді з відкритого покриття
Ω (х) =
Í
Ω, (Де
U a (x) безліч, що містить деякі точки шару над точкою
x) шару
можна вибрати кінцеве відкрите підпокриття
ω (х) =
. Об'єднання
U (x) =
(X) (**)
є відкрита множина, що містить шар
, І
pr X - Замкнуте відображення (в силу компактності простору
Y і леми 2.3). Отже, існує така околицю
Ох точки
х, що
Í
U (x). Сімейство
{Про x: x Î
X} утворює відкрите покриття простору
X. У силу компактності
X, знайдеться кінцеве підпокриття
{Ox i: i = 1, ..,
k}. Тоді сімейство
ω =
утворює кінцеве підпокриття простору
X 'Y. ÿ
Теорема 2.10. Нехай f: X ®
Y і g: Z ®
Y - зв'язкові відображення компактних просторів X і Z в гаусдорфів простір Y. Тоді твір h = f 'g також є зв'язковим відображенням компактного простору Т. Доказ. За визначенням пошарового
твори,
(
,
- Безперервні відображення в гаусдорфів простір
Y) і
. Тоді, за лемі 2.4, безліч
Т є замкнутим в просторі
Х 'Z, яке, по лемі 2.5, є компактним. Отже, безліч
Т компактно (по теоремі 1.7), і його образ
h (T) при безперервному відображенні
h замкнутий у
Y (в силу теорем 1.9 та 1.8). Звідси, відображення
h є замкнутим.
Таким чином, в силу теорем 2.9 та 2.3, відображення
h = f 'g є зв'язковим. €
Наступна теорема вказує, в якому випадку відображення можуть бути паралельними простору
Х. Для її
докази знадобиться
Лемма 2.6.
Якщо простору Х і Y гаусдорфові, то і їх твір X 'Y є гаусдорфовим безліччю. Доказ. Нехай
z 1 і
z 2 - довільні фіксовані точки простору
X 'Y. Розглянемо точки
x 1 =
pr X (z 1), x 2 =
pr X (z 2) і
y 1 =
pr Y (z 1), y 2 =
pr Y (z 2) просторів
X і
Y відповідно. Точки
z 1 і
z 2 різні, отже,
x 1 ¹
x 2 або
y 1 ¹
y 2. Нехай
y 1 ¹
y 2. Тоді, за визначенням гаусдорфова простору, в
Y існують такі околиці
Oy 1 і
Oy 2 точок
y 1 і
y 2 відповідно, що
Oy 1 Oy 2 = Æ. Проекція
pr Y є безперервним відображенням, тому безлічі
і
- Відкриті в
X 'Y і непересічні. Причому,
z 1 Î
і
z 2 Î
. Отже, простір
X 'Y - гаусдорфів за визначенням.
Теорема 2.11. Неперервна функція f: X ®
Y компактного гаусдорфова простору Х в гаусдорфів простір Y є замкнуто паралельним простору Х. Доказ. Розглянемо пошарове твір
h = =
f 'i: T ®
Y відображень
f: X ®
Y і
i: Y ®
Y, де
i - тотожне відображення і безліч
Т =
{(x; y): f pr X =
i pr Y =
pr Y}. За лемі 2.4, безліч
Т замкнуто в
X 'Y. Нехай
(x 1; y 1) Î
T - довільна фіксована точка. Тоді
pr Y (x 1; y 1) =
y 1 =
f pr X (x 1; y 1). Звідси, для точок
(x 1; y 1), (x 2; y 2) Î
Т виконується нерівність
pr X (x 1; y 1) ¹
pr X (x 2; y 2) при
х 1 ¹
х 2. Отже, безперервне відображення
pr X: Т ®
Х біектівно. Але простір
T компактно як замкнуте подможество компактного простору
X 'f (X) Í
X' Y (В силу теорем 1.7, 1.9 та леми
2.5). Тому відображення
g = pr X: T ®
X по слідству 2.1 є гомеоморфізмом, тобто
Т Х, і
f =
pr Y . Тоді як топологічного вкладення можна розглядати гомеоморфізм
d =
g -1: X ®
T. Таким чином, безліч
d (Х) =
Т замкнуто в
X 'Y, і
f =
pr Y d. Ототожнив безлічі
Т і
Х за допомогою
d.. Тоді відображення
f замкнуто паралельно простору
Х за визначенням.
Література. 1.
Александров П.С. Введення в теорію множин і загальну топологію. - М.: «Наука», 1977.
2.
Александров П.С. Геометрія.
3. Вернер А.Л., Кантор Б.Є. Елементи топології і
диференціальної геометрії. - М.: «Просвещение», 1985.
4. Мусаєв Д.К., Пасинків Б.А. Про властивості компактності та повноти топологічних просторів і безперервних відображень. - Ташкент: видавництво «Фан» Академії наук республіки
Узбекистан, 1994.
5. Рубанов І.С. Елементи теоретико-множинної топології для
студентів педінституту. -
Кіров, 1990.