додати матеріал

приховати рекламу

Стійкість

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

Реферат
З фізики
СТІЙКІСТЬ

Лекція 14.
Будемо називати рівноважний стан стійким, якщо воно мало змінюється при малих збуреннях.
Наведемо деякі приклади.
1. Важкий кулю на поверхні, що має вершини, западини і горизонтальні ділянки.
Сталий
рівноважний стан
Байдужий стан
Нестійкий
рівноважний стан


У тому випадку, коли кулька знаходиться на вершині, складова сили тяжіння Т, що виникає при його відхиленні, веде його від початкового стану, для кульки, що знаходиться в западині сила Т буде повертати відхилений кулька в первинний стан і він буде коливатися в околиці найнижчої точки западини, тобто при малих відхиленнях стан кульки буде також змінюватися мало. Випадок кульки, що знаходиться на горизонтальній поверхні, буде нагодою розмежовує розглянуті вище не стійкі і стійкі рівноважні стану. Такий стан називається байдужим.
2. Добре знайому картину руйнування зразка при розтягу з утворенням шийки можна трактувати, як втрату стійкості циліндричної форми зразка.
У міру наближення стану зразка стає нестійкою, утворюється шийка і малих змін сили відповідають значні зміни конфігурації системи.


Рис. 98
3. Центрально стислий гнучкий стрижень

Передбачається, що стрижень ідеально прямій, а сила прілаженних строго по осі (що, звичайно, практично неможливо).
Для того, щоб судити стійко дана рівноважний стан, треба докласти горизонтальну обурює силу, яка викличе прогин. Якщо сила Р невелика, то прогин виявиться малим, рівноважний стан (прямолінійний) фактично не зміниться. Однак якщо сила Р перевищить деяке значення називається критичним (F кр), то рівноважний стан стає нестійким, тобто будь-які малі обурення приведуть до значних прогину. Залежність між прогином і силою показана дійсне поведінка стрижня, яке можна виявити за допомогою нелінійних рішень, суцільний рисою показано грубе, лінійне рішення задачі.

Завдання Ейлера

Розглянемо центрально стислий шарнірно закріплений з обох кінців стрижень. Це завдання було вирішене Л. Ейлером.
Істота завдання полягає в тому, що завдання про стійкість по відношенню до заданого обуренню підміняється завданням про можливість існування двох різних форм рівноваги при одному і тому ж значенні сили F. Очевидно, що прямолінійна рівноважна форма можлива (y = 0). Припустимо, що поряд з прямолінійною рівноважної формою можлива і криволінійна рівноважна форма, показана на малюнку.

Кривизна стержня на підставі закономірності відомої з теорії вигину виразиться
Будемо вважати, що кут повороту y '- величина мала в порівнянні з одиницею і тим більше малий квадрат цієї величини порівняно з одиницею

Згинальний момент у довільному перерізі з координатою Z: (Знак мінус пов'язує прогину і кривизни).
Диференціальне рівняння зігнутої осі виглядає
або (1)
Рішення цього диференціального рівняння добре відомо

З граничних умов спробуємо знайти довільні постійні
C 1 і С 2
1) при Z = 0:
2) при Z = :
Можливі дві ситуації
C 1 = 0, звідки y 0, тобто одержуємо прямолінійну рівноважну форму,
Sin K (N N) підставимо в (1) вираз R 2 =
звідки знайдемо значення сили, при якій крім прямолінійною рівноважної форми з'являється суміжна криволінійна рівноважна форма

реальний сенс має найменше значення сили при n = 1 ейлерова сила - критична сила.
F кр =
Очевидно, що I x - мінімальний момент інерції.
Втрати стійкості буде відбуватися по синусоїді y = C 1 Sin
проте довільну C 1 ми так і не змогли знайти.
Справа в тому, що завдання про втрату стійкості завдання істотно нелінійно, а ми вчинили непослідовно. З одного боку ми підійшли до завдання як нелінійної, відійшовши від принципу початкових розмірів, і визначивши згинальний момент з урахуванням вигину стержня. З іншого боку, прийнявши наближене вираження для кривизни, ми лінеаризована завдання. Для того, щоб визначити прогини в закритичній стадії треба виходити з нелінійного диференціального рівняння.
Однак головна мета - визначення критичної сили для стержня нами досягнута.
Вплив умов закріплення кінців стержня на величину критичної сили
Формула (2) дає можливість визначити критичну силу тільки в тому випадку шарнірного обпирання обох кінців стрижня. Узагальнимо отриманий результат на деякі інші часто зустрічаються випадки закріплення.
а). Стрижень, закріплений жорстко одним кінцем і вільний від закріплення на іншому. Очевидно вигин стержня в цьому випадку буде таким же, як і у випадку шарнірно опертого стрижня, але що має довжину в 2 рази більшу.

Критична сила в цьому випадку буде дорівнює критичної силі шарнірно опертого стержня, який має довжину 2 .
Введемо поняття коефіцієнта привиди довжини - , Тобто числа показує у скільки разів потрібно збільшити довжину шарнірно опертого стрижня, щоб критична сила для нього дорівнювала критичної силі стрижня довжиною при заданому закріпленні.
Очевидно, що в нашому випадку коефіцієнт можна трактувати, як число показує скільки разів довжина стрижня укладається в довжині напівхвилі синусоїди, по якій відбувається втрата стійкості.
Узагальнимо формулу Ейлера
(3)
Для деяких інших випадків закріплення коефіцієнт приведення довжини дорівнює:

Рис. 102

Межі застосування формули Ейлера

Формула Ейлера виведена в припущенні, що матеріал лінійно пружний, і, природно, застосувала, в тих випадках поки справедливий закон Гука.
Надамо формулою (3) інший вигляд.
Введемо поняття критичної напруги, тобто напруги відповідного критичної силі.
; (4)
але де - Мінімальний радіус інерції перерізу.
Введемо ще одну величину - гнучкість стержня.
, Тоді
Тоді можна надати, що формула Ейлера справедлива, якщо критичні напруження не перевищують межі пропорційності при стисканні.

З'ясуємо за яких гнучкостях можна використовувати формулу Ейлера.
Прирівняємо в (4)
=
Якщо , То можна використовувати формулу (3)
Для маловуглецевих сталей, особливо часто використовуються для стиснутих елементів: МПа, E = 2 * 10 5 МПа тоді,
тобто для маловуглецевих сталей формулу Ейлера можна використовувати при гнучкостях великих 100.

Коефіцієнт запасу на стійкість

Являє собою відношення критичної сили для стержня до сили, що діє на нього.

Коефіцієнт запасу на стійкість може виступати, деяка задана нормативна величина, тоді , Де F adm - Навантаження допускається з умови стійкості.

Приклад.

Для заданого стиснутого стержня визначити допустиму силу

= 50 см ; Матеріал Ст. 3
E = 2 10 травня МПа; = 210 МПа
n y = 2
I x = I min = 4 см 2; A = 2 * 6 = 12 см 2;
= 2 * 50 = 100 см ;
F kp =
МПа; kp МПа МПа pr
формула Ейлера застосовна
F adm =   кН
Розрахунок стиснутих стержнів на стійкість за коефіцієнтом зниження допустимих напружень
Наведене вище рішення годиться тільки для порівняно довгих і тонких стрижнів. У випадку коротких і жорстких стержнів втрата стійкості відбувається при виникненні пластичних деформацій і завдання вимагає спеціального розгляду. Існує рішення (Т. Карман, Енгессер) про стійкість стержня за межами пружності. Іноді вдаються до емпіричними формулами типу формули Ясинського.
, Де a і b-константи залежать від властивостей матеріалу.
Викладемо методику розрахунку на стійкість, запропоновану російським інженером Ясинського в кінці минулого століття. Суть цієї методики полягає в тому, що розрахунок на стійкість підміняється розрахунком на звичайне стиснення, але допустимі напруження при цьому покладаються змінними, залежними від гнучкості. Допустиме напруження на стійкість вважається рівним

- Допустиме напруження при стисканні;
- Коефіцієнт зниження допустимих напружень. Він може трактуватися, як наступне відношення.

Коефіцієнт зниження допустимих напружень залежить від гнучкості
Зі збільшенням гнучкості величини його зменшується.
Зрозуміло, що залежить не тільки від гнучкості, а й від властивостей матеріалу. Для найбільш уживаних матеріалів він обчислений і наведено у таблицях. Наведемо таку таблицю для ст. 3 матеріали найбільш часто застосовується для стиснутих елементів.




0
1,00
110
0,52
10
0,99
120
0,45
20
0,96
130
0,40
30
0,94
140
0,36
40
0,92
150
0,32
50
0,89
160
0,29
60
0,86
170
0,26
70
0,81
180
0,23
80
0,75
190
0,21
90
0,69
200
0,19
100
0,60
---
---
Для проміжних значень відповідні значення визначаються шляхом лінійної інтерполяції.
Приклади.
Якщо відомо перетин стиснутого елемента, то навантаження яку може сприйняти стрижень з умови стійкості визначається.
N adm =
1. Визначити величину допустимої навантаження на ферму з умови стійкості поясів АВ і ВД.
Матеріал - Ст. 3, = 160МПа

Рис. 104
Площа перерізу А = 2А L = 2 * 4,8 = 9,6 см 2;
Мінімальний момент інерції перерізу буде
I x = 2I L x
Мінімальний радіус інерції

За сортаментом визначаємо = 1,53 см
Приведена довжина верхнього пояса
см
Гнучкість за таблицею
Допустиме зусилля з умови стійкості для стержня AB:

Зв'яжемо між собою силу, що діє на ферму F і зусилля N AB

Рис. 105
Навантаження, що допускається на ферму
F adm = 48.5кн
Іншим типом задачі є підбір розміром перетину заданого типу. Можна записати
A =
Однак залежить від розмірів і форми перерізу, таким чином коло замикається і завдання може бути вирішена тільки методом спроб. По суті завдання підбору перетину зводиться до деякої послідовності завдань першого типу.
2. Підібрати розміри квадратного поперечного перерізу для стисненого стержня. F = 280кн. Матеріал Ст.3 = 160МПа: = 1м. Розберемося з геометричними характеристиками

Рис. 106
A = a 2; I x = ;
1) см
a = см; см 2;
Навантаження, яку може сприйняти розтин при заданих розмірах

Розміри перетину занадто великі
2) см
a = см; A = 24см 2;

Розміри перетину занадто малі
3) Так як в обох випадках ми виявилися далекі від істини, то спробуємо в якості наступного значення середнє арифметичне з перших двох

см; a = см; A = 36см 2;
кн
Зазвичай вважається, що результат досягнутий, якщо сила, яку сприймає перетин відрізняється від діючої сили не більше ніж на 5% у той чи інший бік тобто
0,95 F
У нашому випадку ця умова виконана.
Приймає розмір перетину a = 6см

Лекція 15
Енергетичний спосіб визначення критичних сил
У скільки-небуть складних випадках, отримати критичну силу з рішення диференціального рівняння зігнутої осі стиснутого стержня важко.
Тому в подібній ситуації простіше отримати наближений розв'язок, наприклад, енергетичним методом.
Розглянемо стержень центрально стислий силою F. Умовно на малюнку стрижень показаний шарнірно опертих, але питання про граничні умови поки залишимо відкритим

Рис. 106
Нехай сила F менше Ейлера критичної сили. Якщо прикласти до стрижня деяку поперечне навантаження F п, то стрижень зігнеться, але буде знаходитися в стійкому стані рівноваги. Стискаюча сила скоїть при цьому роботу на переміщенні ▲, яке можна знайти наступним чином.
Скорочення малого елемента довжиною dz дорівнюватиме
▲ =
врахуємо, що = Y '
Тоді ▲ =
Потенційна енергія деформації вигнутого стрижня
U =
Тут враховано, що M = EI x y "
Зміна повної енергії при малому вигині буде

Якщо , То стрижень стійкий, якщо ж , Тобто F проводить роботу більшу, ніж може на копіться в стержні у вигляді енергії пружної деформації, надлишкова робота йде на повідомлення кінетичної енергії, стрижень приходить в рух і прогинається далі. Тобто він не стійкий. Очевидно, що коли сила досягає критичного значення, то Fкр або
звідки

Для отримання значення критичної сили необхідно задатися формою зігнутої осі. Функцію y = y (z) треба підбирати таким чином, щоб вона задовольняла граничним умовам.

Приклади

1) Спочатку спробуємо вирішити розглянуту раніше завдання про критичну силі для шарнірно опертого по обох кінцях стрижня. Точне рішення відоме.
F kp =
Форма зігнутої осі в цьому випадку відома
y = CSin
але припустімо, що це нам не відомо і апроксимуємо вигнуту вісь поліномом четвертого ступеня

Граничні умови наступні
А) при Z = 0: y = 0 (1); y "= 0 (2) прогин дорівнює нулю і момент дорівнює нулю,
Б) при Z = : Y = 0 (3); y "= 0 (4)
Візьмемо похідні
y '= 4Az 3 +3 Bz 2 +2 Cz + D;
y "= 12 Az 2 +6 Bz + 2C
З (1) E = 0; bp (2) C = 0 Використовуємо (3) ; З (4) випливає
12 A підставляючи в (3): A
D = A y '= A (4z 3 -6 ; Y "= 12A (z 2 -
Підставимо ці вирази у формулу (1)

Як бачимо, наближене рішення практично не відрізняється від точного.
2) Розглянемо більш складну задачу.
Визначити критичну силу для стержня, показаного на малюнку.
Аналогічно попередньому випадку, апроксимуємо вигнуту вісь поліномом
y = Az 4 + Bz 3 + Cz 2 + Dz + E
Запишемо граничні умови
1) при z = 0 y = 0 (1)
y '= 0 (2)
2) при z = 3 : Y "= 0 (вільний кінець і момент відсутня) (4)
Знайдемо похідні
y '= 4Az 3 +3 Bz 2 +2 Cz + D
y "= 12Az 2 +6 Bz + 2C ;
Використовуємо граничні умови
З (1) E = 0; з (2) D = 0
З (3) A16 4 + B8 3 + C4 = 0
4 2 A +2 B + C = 0 (3а)
З (4) 12A * 9 2 +6 B * 3 +2 C = 0
54 2 A +9 B + C = 0 (4а)
Вирішимо спільно (3а) і (4а)
_9 B + C =- 54 2 A
2 B + C =- 4 2 A
------------------------
7 B =- 50 2 AB = ;
C =- 4 2 -2 ( ) =
Підставимо знайдені значення коефіцієнтів полінома у вирази для
y '= 2A (2z 3 - z 2 + )
y "= 12A (z 2 - z + .
Підставимо в (1)

Обчислюючи інтеграл, отримуємо
F kp
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Фізика та енергетика | Лекція | 71.7кб. | скачати

Схожі роботи:
Розр т на міцність стійкість і стійкість елементів
Розрахунок на міцність стійкість і стійкість елементів
Фінансова стійкість
Розр ти на стійкість
Стійкість пружних систем
Фінансова стійкість підприємства
Стійкість сонячної системи
Випробування стрижнів на стійкість
Стійкість роторів з тріщинами
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru