Білоруський державний університет інформатики і радіоелектроніки
кафедра інформаційних технологій і автоматизованих систем
РЕФЕРАТ
на тему:
«Частотні характеристики лінійних систем управління»
Мінськ, 2008
Математичним апаратом дослідження САУ є диференціальні рівняння, що описують рух системи і є рівняннями динаміки. З рівнянь динаміки, поклавши всі похідні рівними нулю, можна отримати рівняння статики, які описують поведінку системи в усталеному режимі.
Диференціальні рівняння САУ та її елементів, складені відповідно до фізичними законами їх функціонування і факторами, від яких залежать змінні рівнянь, практично завжди є нелінійними. Диференціальні рівняння САУ, записані у вигляді системи рівнянь або одного диференціального рівняння вищого порядку являють собою математичну модель системи. Математична модель є основою для аналізу властивостей системи і ступеня їх відповідності поставленим вимогам. Отже, вихідна математична модель САУ є нелінійною. Відсутність однозначних аналітичних методів розв'язання нелінійних диференціальних рівнянь не дозволяє створити будь-які загальні ефективні методи аналізу та синтезу САУ. Саме це і послужило причиною розвитку ідеї лінеаризації, тобто заміни вихідної нелінійної моделі лінійної, близькою за рішенням до вихідної моделі в певному діапазоні зміни початкових умов і параметрів.
Лінеаризація нелінійних функцій в області малих відхилень (всіх координат від усталених значень) заснована на розкладанні нелінійних функцій в ряд Тейлора в околиці сталих значень (положення спокою, наприклад) і обмеження лінійними членами розкладання.
Нехай система управління описується диференціальним рівнянням n - го порядку, дозволеним щодо старшої похідної
де F і F 1 - деякі нелінійні функції. Уявімо змінні, що входять в рівняння в наступному вигляді:
Тут
Нульовий індекс при приватних похідних означає, що вони визначені при сталих значеннях всіх змінних.
Припустимо, що відхилення змінних від усталеного значень настільки малі, що залишковими членами можна знехтувати як нескінченно малими вищих порядків малості в порівнянні з членами, які містять відхилення у першому степені. Відповідно до цього припущеннями будемо вважати R = 0, R 1 = 0.
C урахуванням зроблених припущень і позначень диференціальні рівняння системи приймуть вигляд
де
Рівняння усталеного руху можна отримати з останнього рівняння, поклавши всі відхилення рівними нулю:
Усталений рух в даному випадку не представляє предмета дослідження. Віднімемо з отриманого рівняння руху в околиці рівняння сталого руху і отримаємо рівняння у відхиленнях, поведінка яких нас і цікавить. Надалі, з метою скорочення записів, знак D будемо опускати. Отримаємо
Нагадаємо ще раз, що всі змінні, що фігурують в останньому рівнянні, є відхиленнями від усталених значень. Тому для того, щоб отримати рішення вихідного рівняння
У наведеній вище ланцюжку формальних міркувань щодо переходу від нелінійного рівняння до лінеаризованої у відхиленнях не вистачає тільки конкретності, що стосується визначення сталих значень.
У самому простому і поширеному окремому випадку під сталим значенням розуміється положення спокою. Воно характеризується рівністю нулю всіх похідних, починаючи з першої, всіх координат системи, тобто
Таким чином, для визначення сталих значень всіх координат необхідно визначити тільки значення
При вирішенні даного рівняння можуть зустрітися три виходи. У першому з них існує одне рішення (
У випадку декількох рішень вибирається одне з них і проводиться лінеаризація в околиці обраного стану спокою. Простіше за все йде справа, коли є тільки один стан спокою. Лінеаризація проводиться в його околиці, і всі результати дослідження лінеаризованої системи відносяться до цієї околиці. Не слід, щоправда, забувати, що у зв'язку з використанням рядів Тейлора при лінеаризації результат дослідження лінеаризованої системи тим ближче до істинних, чим менше коливання відхиляються від стану спокою. Відзначимо ще одну особливість лінеаризованих систем: стан спокою завжди знаходиться на початку координат. Це теж пов'язано зі способом лінеаризації, диференціальні рівняння є рівняннями в відхиленнях (від стану спокою).
У рамках лінійної теорії ці питання не обговорюються. У ній розглядаються слідства припущення, що коливання систем описуються лінійними диференціальними рівняннями.
Рівняння в відхиленнях (2) описує обурене рух системи, що є результатом дії будь-яких збурень, що призводять до появи відхилень від усталеного режиму. Рівняння усталеного режиму описує незбурений рух. Знаходження в стані спокою теж рух, хоча і специфічне.
Складність вирішення диференціальних рівнянь високого порядку без застосування обчислювальної техніки і неможливість на підставі чисельних рішень створення загальних методів аналізу і синтезу систем призвели до широкого використання методів, пов'язаних із застосуванням математичного апарату перетворень Лапласа і Фур'є. Ці методи і склали сутність так званої класичної теорії автоматичного управління.
Необхідно відзначити, що існують нелінійні функції, які неможливо лінеаризована допомогою розкладання ряд Тейлора. У цьому випадку використовують спеціальні методи, розроблені для дослідження нелінійних систем.
Лінійне диференціальне рівняння n-го порядку
є базовою математичною моделлю класичної теорії автоматичного регулювання та керування. Нагадаємо основні властивості рішення даного рівняння, які, до речі, повинні бути добре відомі з курсу вищої математики.
Під рішенням диференціального рівняння розуміється вираз функції часу
У курсі вищої математики вираз лінійного диференціального рівняння n-го порядку наводиться у дещо іншій формі, а саме у вигляді
де функція
Звичайно, якщо вважати функцію
Як відомо, рішення розглянутого рівняння має вигляд:
де
описує власні коливання системи, а
Таким чином, коливання системи складається з власних коливань, які визначаються при рівності нулю зовнішнього впливу тільки ненульовими початковими умовами, і вимушених коливань, які визначаються тільки зовнішнім впливом при нульових початкових умовах.
Таким чином, поряд термінологією теорії диференціальних рівнянь щодо рішень останніх (загальне і приватне рішення), іноді більш виразною є термінологія теорії коливань (власні і вимушені коливання). Поряд з ними в теорії управління використовується власна термінологія: замість приватного рішення, відповідного певної правій частині рівняння або вимушених коливань, які визначаються зовнішньою силою, говорять про вихідний процесі
Методи визначення приватного рішення лінійного диференціального рівняння при довільній правій частині розглядаються в курсі математики. У даному курсі основний інтерес представляє не формальна сторона справи, а змістовна. Вона найяскравіше проявляється у випадку, коли зовнішній вплив представляється у вигляді суми гармонійних впливів. Те ж саме можна сказати і про методи визначення власних коливань. Існують ефективні алгоритми обчислення власних коливань лінійних систем, але нас повинна цікавити в першу чергу якісна сторона справи.
Загальне рішення однорідного рівняння (5) має вигляд:
де: l i - коріння характеристичного рівняння
а C i - довільні постійні.
Характеристичне рівняння виходить формальної заміною вираження i - й похідної в вираженні однорідного диференціального рівняння на i - ю ступінь кореня у вираженні характеристичного рівняння.
Нерідко вираження однорідного рівняння (5) і характеристичного рівняння (7) записуються у дещо іншій формі через довільні параметри a i, а саме у вигляді:
Справа в тому, що відповідно до давно сформованою традицією нумерація коефіцієнтів полінома починається з нуля при змінній у старшій ступеня, а потім зі зниженням ступеня змінної індекс коефіцієнта при ньому збільшується. Іншими словами, використовуються вираз (9) для характеристичного рівняння системи, що описується диференціальним рівнянням (8).
Нам здається, більш зручним нумерувати коефіцієнти поліномів по убутним ступенями, як це показано у виразах (7), (5). Звичайно, це питання смаку, але тільки до тих пір, поки не виникає необхідності скористатися відомими результатами дослідження лінійного диференціального рівняння, виражених через коефіцієнти диференціального або характеристичного рівнянь. Як правило, вони записані через коефіцієнти, індекси яких зростають з спадання ступеня змінної у виразі полінома або порядку похідної у вираженні диференціального рівняння. У першу чергу це відноситься до алгебраїчних критеріям стійкості та інтегральними показниками якості, про які йтиметься нижче.
Звичайно, можна переписати відомі результати в нових позначеннях, але це зручність не буде поширюватися за межі одного керівництва. Замість цього, будемо користуватися спадної індексацією, тобто позначеннями виду (7), (5), а в тих нечисленних випадках, коли треба скористатися готовими результатами, в яких використана зростаюча індексація, тобто позначення виду (8), (9), це буде спеціально відзначено.
Строго кажучи, загальне рішення рівняння (5) має вказаний вид тільки у випадку різних коренів характеристичного рівняння, але для якісних міркувань випадки співпадаючих (кратних) коренів можна і не розглядати. Дійсно, малі зміни параметрів характеристичного рівняння повинні викликати незначне редагування значень коренів характеристичного рівняння і малі зміни у вирішенні однорідного рівняння. При обговоренні якісної картини власних коливань, таким чином, випадки кратних коренів можна виключити: вони нічого не додадуть у якісну характеристику залежності власних коливань розташування коренів на площині комплексної змінної. Зі сказаного не випливає, що випадок кратних коренів не представляє ніякого інтересу. Особливості такого розташування коренів справляють істотний вплив на обчислювальну бік справи, коли треба визначити не спільне рішення, а власні коливання залежать від початкових умов. Однак на відміну від колишніх часів, коли всі обчислення повинні бути пророблені дослідником вручну і тому обчислювальна сторона справи була настільки ж важливою, як і якісна, нині всі обчислення, пов'язані з дослідженням лінійних систем, можна виконати за допомогою широко розповсюдженого програмного забезпечення.
Втім, все сказане про кратних коріння має відношення і до простих коренів. Існують цілком достатньо ефективні способи обчислення коефіцієнтів при визначенні конкретного вираження власних коливань, але ми опустимо їх, виклавши найпростіші, яких достатньо для демонстраційних прикладів.
Вираз (6) є спільним рішенням рівняння (5), але власні коливання відповідної системи описуються виразом (6) при конкретних значеннях коефіцієнтів C i. Вони можуть бути визначені багатьма способами. Найчастіше ці постійні визначаються з початкових умов. Початковими умовами (для власних коливань) є значення процесу x (t) його похідних в нульовий момент часу. Диференціюючи вираз (6) в нульовий момент часу можна отримати систему рівнянь для визначення сталих C i.
Дана система рівнянь має спеціальний вид, який дозволяє отримати її рішення порівняно простими методами. Однак при першому знайомстві з обговорюваною проблемою можна мати на увазі (застосовувати) загальні методи розв'язання систем лінійних рівнянь.
Приватне рішення рівняння (3) при певній правій частині, а точніше при певному виразі зовнішнього впливу y (t), можна інтерпретувати як результат перетворення цього впливу системою, що описується рівнянням (3).
Знаходження приватного рішення нерідко слід наступною схемою. Передбачається, що при заданому зовнішньому впливі y (t), приватне рішення x (t) або, що те ж саме, вихідна координата системи, описуваної даними диференціальним рівнянням, має визначений з точністю до (значень) параметрів вигляд. Підставляючи в диференціальне рівняння (певне) значення зовнішнього впливу і передбачуваного приватного рішення, отримаємо рівняння щодо параметрів. Якщо з отриманого рівняння параметри можуть бути визначені, то приватне рішення або, що те ж саме, реакція системи на даний зовнішній вплив визначено.
Приступаючи до вирішення цього питання, ми маємо на увазі не стільки визначення самого приватного рішення за термінологією теорії диференціальних рівнянь і навіть не визначенні вихідного процесу по заданому вхідному. Хоча це досить важливий для теорії автоматичного управління питання, основною метою цього розділу є введення центрального для класичної теорії поняття частотної характеристики і, далі, передавальної функції. Потім, з використанням цих понять можна обговорити питання визначення вихідного процесу по заданому вхідному спектральними методами.
Розглянемо окремий випадок гармонійного зовнішнього впливу. Відомо, що сумою гармонік можна уявити сигнал практично довільної форми. За основним властивості лінійних систем - принципу суперпозиції - знаючи реакцію системи на довільне гармонійне вплив, неважко визначити реакцію на довільне вплив. Дійсно, реакція системи на суму впливів дорівнює сумі реакцій на кожне вплив окремо. Найпростішою складової (доданком) довільного вхідного впливу є гармонійне вплив у вигляді синусоїдальної або косінусоідальное. Це справедливо, якщо мати на увазі функції дійсного аргументу. Однак самі гармонійні функції розкладаються на ще більш прості, на експонентний.
кафедра інформаційних технологій і автоматизованих систем
РЕФЕРАТ
на тему:
«Частотні характеристики лінійних систем управління»
Мінськ, 2008
Математичним апаратом дослідження САУ є диференціальні рівняння, що описують рух системи і є рівняннями динаміки. З рівнянь динаміки, поклавши всі похідні рівними нулю, можна отримати рівняння статики, які описують поведінку системи в усталеному режимі.
Диференціальні рівняння САУ та її елементів, складені відповідно до фізичними законами їх функціонування і факторами, від яких залежать змінні рівнянь, практично завжди є нелінійними. Диференціальні рівняння САУ, записані у вигляді системи рівнянь або одного диференціального рівняння вищого порядку являють собою математичну модель системи. Математична модель є основою для аналізу властивостей системи і ступеня їх відповідності поставленим вимогам. Отже, вихідна математична модель САУ є нелінійною. Відсутність однозначних аналітичних методів розв'язання нелінійних диференціальних рівнянь не дозволяє створити будь-які загальні ефективні методи аналізу та синтезу САУ. Саме це і послужило причиною розвитку ідеї лінеаризації, тобто заміни вихідної нелінійної моделі лінійної, близькою за рішенням до вихідної моделі в певному діапазоні зміни початкових умов і параметрів.
Лінеаризація нелінійних функцій в області малих відхилень (всіх координат від усталених значень) заснована на розкладанні нелінійних функцій в ряд Тейлора в околиці сталих значень (положення спокою, наприклад) і обмеження лінійними членами розкладання.
Нехай система управління описується диференціальним рівнянням n - го порядку, дозволеним щодо старшої похідної
де F і F 1 - деякі нелінійні функції. Уявімо змінні, що входять в рівняння в наступному вигляді:
Тут
Нульовий індекс при приватних похідних означає, що вони визначені при сталих значеннях всіх змінних.
Припустимо, що відхилення змінних від усталеного значень настільки малі, що залишковими членами можна знехтувати як нескінченно малими вищих порядків малості в порівнянні з членами, які містять відхилення у першому степені. Відповідно до цього припущеннями будемо вважати R = 0, R 1 = 0.
C урахуванням зроблених припущень і позначень диференціальні рівняння системи приймуть вигляд
де
Рівняння усталеного руху можна отримати з останнього рівняння, поклавши всі відхилення рівними нулю:
Усталений рух в даному випадку не представляє предмета дослідження. Віднімемо з отриманого рівняння руху в околиці рівняння сталого руху і отримаємо рівняння у відхиленнях, поведінка яких нас і цікавить. Надалі, з метою скорочення записів, знак D будемо опускати. Отримаємо
Нагадаємо ще раз, що всі змінні, що фігурують в останньому рівнянні, є відхиленнями від усталених значень. Тому для того, щоб отримати рішення вихідного рівняння
У наведеній вище ланцюжку формальних міркувань щодо переходу від нелінійного рівняння до лінеаризованої у відхиленнях не вистачає тільки конкретності, що стосується визначення сталих значень.
У самому простому і поширеному окремому випадку під сталим значенням розуміється положення спокою. Воно характеризується рівністю нулю всіх похідних, починаючи з першої, всіх координат системи, тобто
Таким чином, для визначення сталих значень всіх координат необхідно визначити тільки значення
При вирішенні даного рівняння можуть зустрітися три виходи. У першому з них існує одне рішення (
У випадку декількох рішень вибирається одне з них і проводиться лінеаризація в околиці обраного стану спокою. Простіше за все йде справа, коли є тільки один стан спокою. Лінеаризація проводиться в його околиці, і всі результати дослідження лінеаризованої системи відносяться до цієї околиці. Не слід, щоправда, забувати, що у зв'язку з використанням рядів Тейлора при лінеаризації результат дослідження лінеаризованої системи тим ближче до істинних, чим менше коливання відхиляються від стану спокою. Відзначимо ще одну особливість лінеаризованих систем: стан спокою завжди знаходиться на початку координат. Це теж пов'язано зі способом лінеаризації, диференціальні рівняння є рівняннями в відхиленнях (від стану спокою).
У рамках лінійної теорії ці питання не обговорюються. У ній розглядаються слідства припущення, що коливання систем описуються лінійними диференціальними рівняннями.
Рівняння в відхиленнях (2) описує обурене рух системи, що є результатом дії будь-яких збурень, що призводять до появи відхилень від усталеного режиму. Рівняння усталеного режиму описує незбурений рух. Знаходження в стані спокою теж рух, хоча і специфічне.
Складність вирішення диференціальних рівнянь високого порядку без застосування обчислювальної техніки і неможливість на підставі чисельних рішень створення загальних методів аналізу і синтезу систем призвели до широкого використання методів, пов'язаних із застосуванням математичного апарату перетворень Лапласа і Фур'є. Ці методи і склали сутність так званої класичної теорії автоматичного управління.
Необхідно відзначити, що існують нелінійні функції, які неможливо лінеаризована допомогою розкладання ряд Тейлора. У цьому випадку використовують спеціальні методи, розроблені для дослідження нелінійних систем.
Лінійне диференціальне рівняння n-го порядку
є базовою математичною моделлю класичної теорії автоматичного регулювання та керування. Нагадаємо основні властивості рішення даного рівняння, які, до речі, повинні бути добре відомі з курсу вищої математики.
Під рішенням диференціального рівняння розуміється вираз функції часу
У курсі вищої математики вираз лінійного диференціального рівняння n-го порядку наводиться у дещо іншій формі, а саме у вигляді
де функція
Звичайно, якщо вважати функцію
Як відомо, рішення розглянутого рівняння має вигляд:
де
описує власні коливання системи, а
Таким чином, коливання системи складається з власних коливань, які визначаються при рівності нулю зовнішнього впливу тільки ненульовими початковими умовами, і вимушених коливань, які визначаються тільки зовнішнім впливом при нульових початкових умовах.
Таким чином, поряд термінологією теорії диференціальних рівнянь щодо рішень останніх (загальне і приватне рішення), іноді більш виразною є термінологія теорії коливань (власні і вимушені коливання). Поряд з ними в теорії управління використовується власна термінологія: замість приватного рішення, відповідного певної правій частині рівняння або вимушених коливань, які визначаються зовнішньою силою, говорять про вихідний процесі
Методи визначення приватного рішення лінійного диференціального рівняння при довільній правій частині розглядаються в курсі математики. У даному курсі основний інтерес представляє не формальна сторона справи, а змістовна. Вона найяскравіше проявляється у випадку, коли зовнішній вплив представляється у вигляді суми гармонійних впливів. Те ж саме можна сказати і про методи визначення власних коливань. Існують ефективні алгоритми обчислення власних коливань лінійних систем, але нас повинна цікавити в першу чергу якісна сторона справи.
Загальне рішення однорідного рівняння (5) має вигляд:
де: l i - коріння характеристичного рівняння
а C i - довільні постійні.
Характеристичне рівняння виходить формальної заміною вираження i - й похідної в вираженні однорідного диференціального рівняння на i - ю ступінь кореня у вираженні характеристичного рівняння.
Нерідко вираження однорідного рівняння (5) і характеристичного рівняння (7) записуються у дещо іншій формі через довільні параметри a i, а саме у вигляді:
Справа в тому, що відповідно до давно сформованою традицією нумерація коефіцієнтів полінома починається з нуля при змінній у старшій ступеня, а потім зі зниженням ступеня змінної індекс коефіцієнта при ньому збільшується. Іншими словами, використовуються вираз (9) для характеристичного рівняння системи, що описується диференціальним рівнянням (8).
Нам здається, більш зручним нумерувати коефіцієнти поліномів по убутним ступенями, як це показано у виразах (7), (5). Звичайно, це питання смаку, але тільки до тих пір, поки не виникає необхідності скористатися відомими результатами дослідження лінійного диференціального рівняння, виражених через коефіцієнти диференціального або характеристичного рівнянь. Як правило, вони записані через коефіцієнти, індекси яких зростають з спадання ступеня змінної у виразі полінома або порядку похідної у вираженні диференціального рівняння. У першу чергу це відноситься до алгебраїчних критеріям стійкості та інтегральними показниками якості, про які йтиметься нижче.
Звичайно, можна переписати відомі результати в нових позначеннях, але це зручність не буде поширюватися за межі одного керівництва. Замість цього, будемо користуватися спадної індексацією, тобто позначеннями виду (7), (5), а в тих нечисленних випадках, коли треба скористатися готовими результатами, в яких використана зростаюча індексація, тобто позначення виду (8), (9), це буде спеціально відзначено.
Строго кажучи, загальне рішення рівняння (5) має вказаний вид тільки у випадку різних коренів характеристичного рівняння, але для якісних міркувань випадки співпадаючих (кратних) коренів можна і не розглядати. Дійсно, малі зміни параметрів характеристичного рівняння повинні викликати незначне редагування значень коренів характеристичного рівняння і малі зміни у вирішенні однорідного рівняння. При обговоренні якісної картини власних коливань, таким чином, випадки кратних коренів можна виключити: вони нічого не додадуть у якісну характеристику залежності власних коливань розташування коренів на площині комплексної змінної. Зі сказаного не випливає, що випадок кратних коренів не представляє ніякого інтересу. Особливості такого розташування коренів справляють істотний вплив на обчислювальну бік справи, коли треба визначити не спільне рішення, а власні коливання залежать від початкових умов. Однак на відміну від колишніх часів, коли всі обчислення повинні бути пророблені дослідником вручну і тому обчислювальна сторона справи була настільки ж важливою, як і якісна, нині всі обчислення, пов'язані з дослідженням лінійних систем, можна виконати за допомогою широко розповсюдженого програмного забезпечення.
Втім, все сказане про кратних коріння має відношення і до простих коренів. Існують цілком достатньо ефективні способи обчислення коефіцієнтів при визначенні конкретного вираження власних коливань, але ми опустимо їх, виклавши найпростіші, яких достатньо для демонстраційних прикладів.
Вираз (6) є спільним рішенням рівняння (5), але власні коливання відповідної системи описуються виразом (6) при конкретних значеннях коефіцієнтів C i. Вони можуть бути визначені багатьма способами. Найчастіше ці постійні визначаються з початкових умов. Початковими умовами (для власних коливань) є значення процесу x (t) його похідних в нульовий момент часу. Диференціюючи вираз (6) в нульовий момент часу можна отримати систему рівнянь для визначення сталих C i.
Дана система рівнянь має спеціальний вид, який дозволяє отримати її рішення порівняно простими методами. Однак при першому знайомстві з обговорюваною проблемою можна мати на увазі (застосовувати) загальні методи розв'язання систем лінійних рівнянь.
Приватне рішення рівняння (3) при певній правій частині, а точніше при певному виразі зовнішнього впливу y (t), можна інтерпретувати як результат перетворення цього впливу системою, що описується рівнянням (3).
Знаходження приватного рішення нерідко слід наступною схемою. Передбачається, що при заданому зовнішньому впливі y (t), приватне рішення x (t) або, що те ж саме, вихідна координата системи, описуваної даними диференціальним рівнянням, має визначений з точністю до (значень) параметрів вигляд. Підставляючи в диференціальне рівняння (певне) значення зовнішнього впливу і передбачуваного приватного рішення, отримаємо рівняння щодо параметрів. Якщо з отриманого рівняння параметри можуть бути визначені, то приватне рішення або, що те ж саме, реакція системи на даний зовнішній вплив визначено.
Приступаючи до вирішення цього питання, ми маємо на увазі не стільки визначення самого приватного рішення за термінологією теорії диференціальних рівнянь і навіть не визначенні вихідного процесу по заданому вхідному. Хоча це досить важливий для теорії автоматичного управління питання, основною метою цього розділу є введення центрального для класичної теорії поняття частотної характеристики і, далі, передавальної функції. Потім, з використанням цих понять можна обговорити питання визначення вихідного процесу по заданому вхідному спектральними методами.
Розглянемо окремий випадок гармонійного зовнішнього впливу. Відомо, що сумою гармонік можна уявити сигнал практично довільної форми. За основним властивості лінійних систем - принципу суперпозиції - знаючи реакцію системи на довільне гармонійне вплив, неважко визначити реакцію на довільне вплив. Дійсно, реакція системи на суму впливів дорівнює сумі реакцій на кожне вплив окремо. Найпростішою складової (доданком) довільного вхідного впливу є гармонійне вплив у вигляді синусоїдальної або косінусоідальное. Це справедливо, якщо мати на увазі функції дійсного аргументу. Однак самі гармонійні функції розкладаються на ще більш прості, на експонентний.
Отже, нехай на вході системи діє гармонійне вплив
яке є найпростішою складовою (доданком) довільного вхідного впливу. Уявімо його у вигляді суми двох експонент
де
і знайдемо реакцію на кожне складова окремо.
Отже, нехай
Підставимо
Звідси
Таким чином, припущення про можливість подання знаходження вихідного процесу у вигляді (13) виправдалося. Більш того, додатково визначено невідомий множник
Якщо порівняти вирази вхідного і вихідного процесів
і (13) в аналізованому окремому випадку, то можна переконатися, отриманий вираз
Цей комплексний коефіцієнт посилення називається частотною характеристикою системи.
Частотна характеристика системи може розглядатися і як комплексна функція частоти. Як і всяка функція комплексного аргументу, вона може бути представлена дійсної та уявної частинами, модулем і аргументом:
де:
Нехай тепер
Якщо вхідний процес дорівнює сумі цих впливів (11), то вихідний процес дорівнює сумі відповідних вихідних процесів (13) і (15).
Проробивши ряд елементарних перетворень
отримаємо, що при гармонійному вхідній дії вихідний процес також гармонійний, амплітуда якого в
Тут використано властивість парності амплітудної частотної характеристики, яке легко випливає з виразів зв'язку між різними її складовими
Не важко переконатися, що співвідношення між різними частотними характеристиками системи такі ж, як і між різними складовими комплексного числа.
З усього сказаного випливає, що якщо вхідний процес представлений рядом Фур'є, то для визначення ряду Фур'є вихідного процесу досить змінити описаним вище чином амплітуди і фази вхідного процесу.
Ще простіше визначається перетворення Фур'є
Для цього лише достатньо згадати формальне визначення і змістовний сенс перетворення Фур'є. З формальної точки зору для будь-якої абсолютно інтегрованою функції
існує пряме і зворотне перетворення Фур'є
Останній вираз і дозволяє трактувати перетворення Фур'є деякої функції часу у вигляді суми гармонік
Перетворення Фур'є має один суттєвий з теоретичної точки зору недоліком - його не можна застосувати до функцій, які не є абсолютно інтегровною. Таких функцій досить багато, щоб повною мірою відчути незручність даного обмеження. Наприклад, функція - константа, яка зберігає постійне ненульове значення як завгодно довго, не є абсолютно інтегрованою. Разом з тим, така функція найпростішим чином описує постійний вплив.
Цього недоліку позбавлене перетворення Лапласа, яке широко використовується в класичній теорії управління. Воно є узагальненням перетворення Фур'є, на його основі дається визначення центрального поняття класичної теорії управління, поняття передаточної функції. Остання є узагальненням щойно введеного поняття частотної характеристики в тій же мірі, в якій перетворення Лапласа є узагальненням перетворення Фур'є.
Ці поняття настільки тісно пов'язані між собою, що інколи їх не розрізняють. Наприклад, не дивлячись на те, що центральним поняттям класичної теорії автоматичного управління є, як у же зазначалося, поняття передавальної функції, методи цієї теорії називаються частотними. На наш погляд, це відбувається тому, що використання саме перетворення Лапласа пов'язано з обчислювальною стороною справи, але як тільки справа доходить до фізичної інтерпретації результатів, отриманих за допомогою передавальних функцій, переходять до частотним характеристикам.
ЛІТЕРАТУРА
1. Мірошник І.В. Теорія автоматичного керування. Лінійні системи. - СПб.: Питер, 2005.
2. Філліпс Ч., Харбор Р. Системи управління зі зворотним зв'язком. М.: Лабораторія Базових Знань, 2001.
3. Методи класичної та сучасної теорії автоматичного управління в 3-х т. Т.1: Аналіз і статистична динаміка систем автоматичного управління / За ред. Н.Д. Єгупова. - Вид. МГТУ ім. Н.Е. Баумана, 2000.
яке є найпростішою складовою (доданком) довільного вхідного впливу. Уявімо його у вигляді суми двох експонент
де
і знайдемо реакцію на кожне складова окремо.
Отже, нехай
Підставимо
Звідси
Таким чином, припущення про можливість подання знаходження вихідного процесу у вигляді (13) виправдалося. Більш того, додатково визначено невідомий множник
Якщо порівняти вирази вхідного і вихідного процесів
і (13) в аналізованому окремому випадку, то можна переконатися, отриманий вираз
Цей комплексний коефіцієнт посилення називається частотною характеристикою системи.
Частотна характеристика системи може розглядатися і як комплексна функція частоти. Як і всяка функція комплексного аргументу, вона може бути представлена дійсної та уявної частинами, модулем і аргументом:
де:
Нехай тепер
Якщо вхідний процес дорівнює сумі цих впливів (11), то вихідний процес дорівнює сумі відповідних вихідних процесів (13) і (15).
Проробивши ряд елементарних перетворень
отримаємо, що при гармонійному вхідній дії вихідний процес також гармонійний, амплітуда якого в
Тут використано властивість парності амплітудної частотної характеристики, яке легко випливає з виразів зв'язку між різними її складовими
Не важко переконатися, що співвідношення між різними частотними характеристиками системи такі ж, як і між різними складовими комплексного числа.
З усього сказаного випливає, що якщо вхідний процес представлений рядом Фур'є, то для визначення ряду Фур'є вихідного процесу досить змінити описаним вище чином амплітуди і фази вхідного процесу.
Ще простіше визначається перетворення Фур'є
Для цього лише достатньо згадати формальне визначення і змістовний сенс перетворення Фур'є. З формальної точки зору для будь-якої абсолютно інтегрованою функції
існує пряме і зворотне перетворення Фур'є
Останній вираз і дозволяє трактувати перетворення Фур'є деякої функції часу у вигляді суми гармонік
Перетворення Фур'є має один суттєвий з теоретичної точки зору недоліком - його не можна застосувати до функцій, які не є абсолютно інтегровною. Таких функцій досить багато, щоб повною мірою відчути незручність даного обмеження. Наприклад, функція - константа, яка зберігає постійне ненульове значення як завгодно довго, не є абсолютно інтегрованою. Разом з тим, така функція найпростішим чином описує постійний вплив.
Цього недоліку позбавлене перетворення Лапласа, яке широко використовується в класичній теорії управління. Воно є узагальненням перетворення Фур'є, на його основі дається визначення центрального поняття класичної теорії управління, поняття передаточної функції. Остання є узагальненням щойно введеного поняття частотної характеристики в тій же мірі, в якій перетворення Лапласа є узагальненням перетворення Фур'є.
Ці поняття настільки тісно пов'язані між собою, що інколи їх не розрізняють. Наприклад, не дивлячись на те, що центральним поняттям класичної теорії автоматичного управління є, як у же зазначалося, поняття передавальної функції, методи цієї теорії називаються частотними. На наш погляд, це відбувається тому, що використання саме перетворення Лапласа пов'язано з обчислювальною стороною справи, але як тільки справа доходить до фізичної інтерпретації результатів, отриманих за допомогою передавальних функцій, переходять до частотним характеристикам.
ЛІТЕРАТУРА
1. Мірошник І.В. Теорія автоматичного керування. Лінійні системи. - СПб.: Питер, 2005.
2. Філліпс Ч., Харбор Р. Системи управління зі зворотним зв'язком. М.: Лабораторія Базових Знань, 2001.
3. Методи класичної та сучасної теорії автоматичного управління в 3-х т. Т.1: Аналіз і статистична динаміка систем автоматичного управління / За ред. Н.Д. Єгупова. - Вид. МГТУ ім. Н.Е. Баумана, 2000.