Предмет: Теорія Автоматичного Управління
Тема: Частотні характеристики дискретних систем управління
1. Частотне представлення дискретного сигналу
Для представлення дискретного сигналу в частотній області використовується одна з формул дискретного перетворення Лапласа.
Отримаємо цю формулу. Для виходу імпульсного елемента можна записати співвідношення:
Для знаходження зображення x * (p) скористаємося теоремою множення в комплексній області: зображення твори одно згортку зображень.
то
Умова полюси:
e-sT = 1 = e 0;
Полюса розташовані на уявної осі комплексній площині. Один з них розташований у точці нуль, а решта лежать на уявної осі з кроком w п = 2p / Т, де w п - частота переривання. Визначимо вирахування в одному з полюсів.
Застосуємо правило Лопіталя
Значення вирахування буде таким же у всіх інших полюсах.
Отримали формулу дискретного перетворення Лапласа, але так як сума знаходиться в межах від - ¥ до + ¥, то практично використовувати цю формулу як дискретного перетворення не можна.
Ця формула використовується для частотного представлення дискретного сигналу.
Нехай заданий частотний спектр сигналу на вході ІЕ (рис.2), необхідно визначити частотний спектр сигналу на виході. Частотний спектр будуємо для різних значень до, використовуючи формулу
Рис. 2
Частотний спектр вихідного сигналу складається із спектру вхідного сигналу ослабленого в 1 / Т раз і спектрів додаткових сигналів зсунутих по осі частот на величину ± кW п.
Якщо стоїть завдання відновити вхідний сигнал, то на виході ІЕ потрібно поставити фільтр, який пропускає лише частоти спектру вхідного сигналу, а решта фільтрує (рис. 3).
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Рис. 3
Вхідний сигнал можна відновити в тому випадку, якщо частоти вихідних спектрів не перекриваються (w 1 <w п / 2), в іншому випадку відновити вхідний сигнал неможливо (w 1-верхня гранична частота). Це умова називається теоремою Котельникова, яка формулюється наступним чином: без втрати властивостей безперервного сигналу його можна замінити дискретним, а значить і дискретний замінити безперервним, якщо частота квантування в 2 рази більше частоти вищої гармоніки переданого сигналу.
2. Частотні характеристики дискретних систем управління
Частотні характеристики дискретних систем автоматичного управління визначаються також як і для безперервних систем з урахуванням деяких особливостей. Розглянемо систему (рис. 1).
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Рис. 1
Нехай на вхід системи подається сигнал
Для безперервної системи залежність між вхідним і вихідним сигналом визначається через інтеграл згортки
Для дискретних систем це співвідношення має вигляд:
де
Для побудови частотних характеристик використовується співвідношення
Цей вираз являє собою суму векторів до точок
Вирази для амплітудно-частотної і фазочастотного характеристик визначаються зі співвідношень
Так як частотні характеристики є періодичними функціями частоти з періодом 2p, то вони повністю визначаються її значеннями на інтервалі
Приклад 1. Побудувати АФХ дискретної системи, якщо передаточна функція її безперервної частини має вигляд
Рішення: Передавальна функція дискретної системи має вигляд
Виконавши підстановку р = jw, отримаємо
Змінюючи частоту на інтервалі
Таблиця 1
Відповідно до таблиці 1 будуємо графік АФХ (рис.3).
Вираз для амплітудно-частотної характеристики має вигляд
Графік амплітудно-частотної характеристики наведено на рис. 3б.
а) б)
Рис. 3
Приклад 2. Побудувати частотну характеристику системи, схема ко-торою наведена на рис. 4, якщо T = 1 с, k v = 1 c -1.
-
Рис. 4
Рішення: Передавальна функція розімкнутої дискретної системи у формі z - перетворення
При цьому вираз для частотної характеристики має вигляд
Рис. 5
Будуємо характеристику на інтервалі частот 0 £ w £ p / T надалі характеристики повторюються тому що вони носять періодичний характер (рис 5).
Література
1. Автоматизоване проектування систем автоматичного управления. / Под ред. В.В. Солодовникова. - М.: Машинобудування, 1990. -332с.
2. Грінченка А.Г. Теорія автоматичного управління: Навч. посібник. - Харків: ХДПУ, 2000. -272с.
3. Єгоров К.В. Основи теорії автоматичного регулювання, навчальний посібник для вузів, вид. 2-е, перероб. і доп., - К.: "Енергія", 1967. - 648с., Іл.
4. Куропаткин П.В. Теорія автоматичного керування. Учеб. посібник для електротехн. спец. вузів. - М.: "Вища школа", 1973. - 528с., Іл.
5. Основи лінійної теорії автоматичного керування в задачах електроенергетики: Навчальний посібник до комп'ютерних лабораторним практикумом АОС-ТАУ / В.Ф. Коротков; Іван. держ. енерг. ун-т. - Іваново, 1994. - 392с.
6. Довідник з теорії автоматичного управління. / Под ред. А.А. Красовського-М.: Наука, 1987. - 712с.
7. Теорія автоматичного керування. Учеб. для вузів за спец. "Автоматика та телемеханіка". У 2-х ч. / Н.А. Бабаков, А.А. Воронов та ін: Під ред. А.А. Воронова. - 2-е вид., Перераб. і доп. - М.: Вищ. шк., 1986. - 367с., Іл.
Тема: Частотні характеристики дискретних систем управління
1. Частотне представлення дискретного сигналу
Для представлення дискретного сигналу в частотній області використовується одна з формул дискретного перетворення Лапласа.
Отримаємо цю формулу. Для виходу імпульсного елемента можна записати співвідношення:
Для знаходження зображення x * (p) скористаємося теоремою множення в комплексній області: зображення твори одно згортку зображень.
то
Умова полюси:
e-sT = 1 = e 0;
Полюса розташовані на уявної осі комплексній площині. Один з них розташований у точці нуль, а решта лежать на уявної осі з кроком w п = 2p / Т, де w п - частота переривання. Визначимо вирахування в одному з полюсів.
Застосуємо правило Лопіталя
Значення вирахування буде таким же у всіх інших полюсах.
Отримали формулу дискретного перетворення Лапласа, але так як сума знаходиться в межах від - ¥ до + ¥, то практично використовувати цю формулу як дискретного перетворення не можна.
Ця формула використовується для частотного представлення дискретного сигналу.
Нехай заданий частотний спектр сигналу на вході ІЕ (рис.2), необхідно визначити частотний спектр сигналу на виході. Частотний спектр будуємо для різних значень до, використовуючи формулу
T |
x * (t) |
x (t) |
½ x (jw) ½ |
½ x * (jw) ½ |
-W п / 2 0 + w п / 2 |
1 T |
Рис. 2
Частотний спектр вихідного сигналу складається із спектру вхідного сигналу ослабленого в 1 / Т раз і спектрів додаткових сигналів зсунутих по осі частот на величину ± кW п.
Якщо стоїть завдання відновити вхідний сигнал, то на виході ІЕ потрібно поставити фільтр, який пропускає лише частоти спектру вхідного сигналу, а решта фільтрує (рис. 3).
SHAPE \ * MERGEFORMAT
x * (t) |
T |
x (t) |
Ф |
x (t) |
Рис. 3
Вхідний сигнал можна відновити в тому випадку, якщо частоти вихідних спектрів не перекриваються (w 1 <w п / 2), в іншому випадку відновити вхідний сигнал неможливо (w 1-верхня гранична частота). Це умова називається теоремою Котельникова, яка формулюється наступним чином: без втрати властивостей безперервного сигналу його можна замінити дискретним, а значить і дискретний замінити безперервним, якщо частота квантування в 2 рази більше частоти вищої гармоніки переданого сигналу.
2. Частотні характеристики дискретних систем управління
Частотні характеристики дискретних систем автоматичного управління визначаються також як і для безперервних систем з урахуванням деяких особливостей. Розглянемо систему (рис. 1).
SHAPE \ * MERGEFORMAT
x (t) y [nT] |
T |
K (p) |
T |
Нехай на вхід системи подається сигнал
Для безперервної системи залежність між вхідним і вихідним сигналом визначається через інтеграл згортки
Для дискретних систем це співвідношення має вигляд:
де
Для побудови частотних характеристик використовується співвідношення
Цей вираз являє собою суму векторів до точок
Вирази для амплітудно-частотної і фазочастотного характеристик визначаються зі співвідношень
Так як частотні характеристики є періодичними функціями частоти з періодом 2p, то вони повністю визначаються її значеннями на інтервалі
Приклад 1. Побудувати АФХ дискретної системи, якщо передаточна функція її безперервної частини має вигляд
Рішення: Передавальна функція дискретної системи має вигляд
Виконавши підстановку р = jw, отримаємо
Змінюючи частоту на інтервалі
Таблиця 1
| 0 | p/2T | p / T | |||
| K * (jw) |
Вираз для амплітудно-частотної характеристики має вигляд
Графік амплітудно-частотної характеристики наведено на рис. 3б.
A * (w) |
1 1-d |
-P / T 0 + p / T |
а) б)
Рис. 3
Приклад 2. Побудувати частотну характеристику системи, схема ко-торою наведена на рис. 4, якщо T = 1 с, k v = 1 c -1.
|
|
|
|
|
Рис. 4
Рішення: Передавальна функція розімкнутої дискретної системи у формі z - перетворення
При цьому вираз для частотної характеристики має вигляд
+ J -1 / 2 + K * (jw) |
Рис. 5
Будуємо характеристику на інтервалі частот 0 £ w £ p / T надалі характеристики повторюються тому що вони носять періодичний характер (рис 5).
Література
1. Автоматизоване проектування систем автоматичного управления. / Под ред. В.В. Солодовникова. - М.: Машинобудування, 1990. -332с.
2. Грінченка А.Г. Теорія автоматичного управління: Навч. посібник. - Харків: ХДПУ, 2000. -272с.
3. Єгоров К.В. Основи теорії автоматичного регулювання, навчальний посібник для вузів, вид. 2-е, перероб. і доп., - К.: "Енергія", 1967. - 648с., Іл.
4. Куропаткин П.В. Теорія автоматичного керування. Учеб. посібник для електротехн. спец. вузів. - М.: "Вища школа", 1973. - 528с., Іл.
5. Основи лінійної теорії автоматичного керування в задачах електроенергетики: Навчальний посібник до комп'ютерних лабораторним практикумом АОС-ТАУ / В.Ф. Коротков; Іван. держ. енерг. ун-т. - Іваново, 1994. - 392с.
6. Довідник з теорії автоматичного управління. / Под ред. А.А. Красовського-М.: Наука, 1987. - 712с.
7. Теорія автоматичного керування. Учеб. для вузів за спец. "Автоматика та телемеханіка". У 2-х ч. / Н.А. Бабаков, А.А. Воронов та ін: Під ред. А.А. Воронова. - 2-е вид., Перераб. і доп. - М.: Вищ. шк., 1986. - 367с., Іл.