Типові динамічні ланки та їх характеристики
Динамічним ланкою називається елемент системи, що володіє певними динамічними властивостями.
Будь-яку систему можна представити у вигляді обмеженого набору типових елементарних ланок, які можуть бути будь-якої природи, конструкції і призначення. Передавальну функцію будь-якої системи можна представити у вигляді дробово-раціональної функції:
Таким чином, передавальну функцію будь-якої системи можна представити як добуток простих множників і простих дробів. Ланки, передавальні функції яких мають вигляд простих множників або простих дробів, називають типовими або елементарними ланками. Типові ланки розрізняються по виду їх передавальної функції, що визначає їх статичні та динамічні властивості.
Як видно з розкладу, можна виділити наступні ланки:
1. Підсилювальне (безінерційні).
2. Дифференцирующее.
3. Форсує ланка 1-го порядку.
4. Форсує ланка 2-го порядку.
5. Інтегруюче.
6. Апериодическое (інерційне).
7. Коливальний.
8. Запізнюється.
При дослідженні систем автоматичного управління вона представляється у вигляді сукупності елементів не за їх функціональним призначенням або фізичній природі, а по їх динамічними властивостями. Для побудови систем управління необхідно знання характеристик типових ланок. Основними характеристиками ланок є диференціальне рівняння і передатна функція.
Розглянемо основні ланки та їх характеристики.
Підсилювальне ланка (безінерційні, пропорційне). Підсилювальним називають ланка, яка описується рівнянням:
або передавальною функцією:
При цьому перехідна функція підсилювального ланки (рис. 1а) і його фун-жим "ваги (рис. 1б) відповідно мають вигляд:
а) б)
Рис. 1
Частотні характеристики ланки (рис. 2) можна отримати за його передавальної функції, при цьому АФХ, АЧХ і ФЧХ визначаються наступними співвідношеннями:
Рис. 2
Логарифмічна частотна характеристика підсилювального ланки (рис. 3) визначаються співвідношенням
Рис. 3
Приклади ланки:
1. Підсилювачі, наприклад, постійного струму (рис. 4а).
2. Потенціометр (рис. 4б).
а) б)
Рис. 4
3. Редуктор (рис. 5).
Рис. 5
Апериодическое (інерційне) ланка. Апериодическим називають ланка, яка описується рівнянням:
або передавальною функцією:
де Т - постійна часу ланки, яка характеризує його інерційність, k - коефіцієнт передачі.
При цьому перехідна функція аперіодичного ланки (рис. 6а) і його функція ваги (рис. 6б) відповідно мають вигляд:
Рис. 6
Частотні характеристики аперіодичного ланки (рис. 7а-в) визна-ляють співвідношеннями:
а) б) в)
Рис. 7
Логарифмічні частотні характеристики ланки (рис. 8) визначаються за формулою
При
Рис. 8
Це асимптотичні логарифмічні характеристики, істинна характеристика співпадає з нею в області великих і малих частот, а максимальна похибка буде в точці, відповідної сполученої частоті, і дорівнює близько 3 дБ. На практиці зазвичай використовують асимптотичні характеристики. Їх основна перевага в тому, що при зміні параметрів системи (k і T) характеристики переміщаються паралельно самим собі.
Приклади ланки:
1. Апериодическое ланка може бути реалізовано на операційних підсилювачах (рис. 9).
Æ Æ
Рис. 9
2. Ланки на RLC-колах (рис. 10).
Æ Æ Æ Æ
Æ Æ Æ Æ
Рис. 10
4. Механічні демпфери (рис. 11).
Рис. 11
Інтегруюче ланка. Інтегруючим ланкою називають ланка, яка описується рівнянням:
або передавальною функцією:
При цьому перехідна функція інтегруючого ланки (рис. 12а) і його функція ваги (рис. 12б) відповідно мають вигляд:
Рис. 12
Частотні характеристики інтегруючого ланки (рис. 13) визначаються співвідношеннями:
Рис. 13
Логарифмічні частотні характеристики інтегруючого ланки (рис. 14) визначаються за формулою:
Рис. 14
Приклад ланки. Інтегруюче ланка може бути реалізовано на операційних підсилювачах (рис. 15).
Æ Æ
Рис. 15
Дифференцирующее ланка. Дифференцирующим називають ланка, яка описується рівнянням:
Динамічним ланкою називається елемент системи, що володіє певними динамічними властивостями.
Будь-яку систему можна представити у вигляді обмеженого набору типових елементарних ланок, які можуть бути будь-якої природи, конструкції і призначення. Передавальну функцію будь-якої системи можна представити у вигляді дробово-раціональної функції:
Таким чином, передавальну функцію будь-якої системи можна представити як добуток простих множників і простих дробів. Ланки, передавальні функції яких мають вигляд простих множників або простих дробів, називають типовими або елементарними ланками. Типові ланки розрізняються по виду їх передавальної функції, що визначає їх статичні та динамічні властивості.
Як видно з розкладу, можна виділити наступні ланки:
1. Підсилювальне (безінерційні).
2. Дифференцирующее.
3. Форсує ланка 1-го порядку.
4. Форсує ланка 2-го порядку.
5. Інтегруюче.
6. Апериодическое (інерційне).
7. Коливальний.
8. Запізнюється.
При дослідженні систем автоматичного управління вона представляється у вигляді сукупності елементів не за їх функціональним призначенням або фізичній природі, а по їх динамічними властивостями. Для побудови систем управління необхідно знання характеристик типових ланок. Основними характеристиками ланок є диференціальне рівняння і передатна функція.
Розглянемо основні ланки та їх характеристики.
Підсилювальне ланка (безінерційні, пропорційне). Підсилювальним називають ланка, яка описується рівнянням:
або передавальною функцією:
При цьому перехідна функція підсилювального ланки (рис. 1а) і його фун-жим "ваги (рис. 1б) відповідно мають вигляд:
t |
t |
0 |
h (t) |
0 |
k.1 (t) |
k (t) |
kd (t) |
а) б)
Рис. 1
Частотні характеристики ланки (рис. 2) можна отримати за його передавальної функції, при цьому АФХ, АЧХ і ФЧХ визначаються наступними співвідношеннями:
+ J |
k + |
АФХ |
АЧХ |
ФЧХ |
0 |
0 |
k |
0 |
w0w |
w0w |
j (w) |
A (w) |
h (t) |
Рис. 2
Логарифмічна частотна характеристика підсилювального ланки (рис. 3) визначаються співвідношенням
L (w) |
w |
k <1 |
0 |
k> 1 |
k = 1 |
ЛАЧХ |
Рис. 3
Приклади ланки:
1. Підсилювачі, наприклад, постійного струму (рис. 4а).
2. Потенціометр (рис. 4б).
Æ |
Æ |
Æ |
Æ |
U вих |
U вх |
R |
Æ |
R oc |
Æ |
R вх |
U вих |
U вх |
а) б)
Рис. 4
3. Редуктор (рис. 5).
w вих |
w вх |
| |||
Рис. 5
Апериодическое (інерційне) ланка. Апериодическим називають ланка, яка описується рівнянням:
або передавальною функцією:
де Т - постійна часу ланки, яка характеризує його інерційність, k - коефіцієнт передачі.
При цьому перехідна функція аперіодичного ланки (рис. 6а) і його функція ваги (рис. 6б) відповідно мають вигляд:
h (t) k × 1 (t) 0 t T а) |
k / T |
k (t) |
| |||||
Рис. 6
Частотні характеристики аперіодичного ланки (рис. 7а-в) визна-ляють співвідношеннями:
-K / 2 |
-P / 4 |
-P / 2 |
k / 2 k + |
ФЧХ |
0 |
w0w |
j (w) |
w c = 1 / T |
+ J |
АФХ |
w c = 1 / T |
k k Ö2 |
АЧХ |
0 |
w0w |
A (w) |
w c = 1 / T |
h (t) |
а) б) в)
Рис. 7
Логарифмічні частотні характеристики ланки (рис. 8) визначаються за формулою
При
+20 0 -20 |
w |
ЛАЧХ |
L (w) |
-20 ДБ / дек |
w з |
0.1 1 10 100 |
Рис. 8
Це асимптотичні логарифмічні характеристики, істинна характеристика співпадає з нею в області великих і малих частот, а максимальна похибка буде в точці, відповідної сполученої частоті, і дорівнює близько 3 дБ. На практиці зазвичай використовують асимптотичні характеристики. Їх основна перевага в тому, що при зміні параметрів системи (k і T) характеристики переміщаються паралельно самим собі.
Приклади ланки:
1. Апериодическое ланка може бути реалізовано на операційних підсилювачах (рис. 9).
K (p) = k / (Tp +1); T = R ос C ос; k = R ос R вх. |
R вх |
U вих |
U вх |
З oc |
R ос |
Рис. 9
2. Ланки на RLC-колах (рис. 10).
|
|
|
|
|
| |||||||||
| |||||||||
| |||||||||
Æ Æ Æ Æ
Рис. 10
4. Механічні демпфери (рис. 11).
X |
| |||
Рис. 11
Інтегруюче ланка. Інтегруючим ланкою називають ланка, яка описується рівнянням:
або передавальною функцією:
При цьому перехідна функція інтегруючого ланки (рис. 12а) і його функція ваги (рис. 12б) відповідно мають вигляд:
0 t а) |
h (t) |
1 / Т |
1 / T |
k (t) |
0 t 6) |
Рис. 12
Частотні характеристики інтегруючого ланки (рис. 13) визначаються співвідношеннями:
w = ¥ |
+ J |
+ |
АФХ |
0 w |
-P / 2 |
АЧХ |
A (w) |
0 w |
ФЧХ |
j (w) |
h (t) |
Рис. 13
Логарифмічні частотні характеристики інтегруючого ланки (рис. 14) визначаються за формулою:
w |
0 |
ЛАЧХ |
L (w) |
-20 ДБ / дек |
w з |
+20 |
-20 |
0.1 1 10 100 |
Рис. 14
Приклад ланки. Інтегруюче ланка може бути реалізовано на операційних підсилювачах (рис. 15).
R вх |
U вих |
U вх |
З oc |
|
Æ Æ
Рис. 15
Дифференцирующее ланка. Дифференцирующим називають ланка, яка описується рівнянням:
або передавальною функцією:
При цьому перехідна функція ланки (рис. 16а) і його функція ваги (рис. 16б) відповідно мають вигляд:
k (t) = Td (t) |
0 t б) |
h (t) = Td (t) |
0 t а) |
Рис. 16
Частотні характеристики ланки (рис. 17а-в) визначаються співвідношеннями:
+ |
АЧХ |
0 |
w0w |
A (w) |
Tw0w |
ФЧХ |
0 |
w0w |
j (w) |
p / 2 |
+ J |
АФХ |
w = ¥ |
а) б) б)
Рис. 17
Ідеальне дифференцирующее ланка є фізично не реалізованим. У реальних ланках такий вид характеристики можуть мати тільки в обмеженому діапазоні частот.
Логарифмічні частотні характеристики ланки (рис. 18) визначаються за формулою:
w |
0 |
ЛАЧХ |
L (w) |
20 дБ / дек |
w з |
+20 |
-20 |
0.1 1 10 100 |
Рис. 18
Приклади ланки:
1. Дифференцирующее ланка може бути реалізовано на операційних підсилювачах (рис. 19).
K (p) = Tp; T = C вх R ос. |
C вх |
U вих |
U вх |
R oc |
Æ Æ
Рис. 19
2. Тахогенератор (рис. 20).
x = a |
|
Æ
Рис. 20
Коливальний ланка. Коливальні називають ланка, яка описується рівнянням:
або передавальною функцією:
де x - демпфування (0 £ x £ 1).
Якщо x = 0, то демпфування відсутня (консервативне ланка - без втрат), якщо x = 1, то маємо два апериодических ланки.
При цьому перехідна функція ланки і його функція ваги (рис. 21) відповідно мають вигляд:
а) б)
Рис. 21
Амплітудно-фазова частотна характеристика (АФХ) має вигляд (рис. 22а) і визначається співвідношенням
Амплітудно-частотні характеристики (АЧХ) для різних значень x має вигляд (рис. 22б) і визначається співвідношенням
Фазова частотна характеристика (ФЧХ) має вигляд (рис. 22в) і визначається співвідношенням
Частотні характеристики коливального ланки мають вигляд
w = ¥ |
K (jw) |
+ J |
k + |
АФХ |
ФЧХ |
0 |
w0w |
j (w) |
-P |
w c = 1 / T |
-P / 2 |
АЧХ |
0 |
w0w |
A (w) |
k |
а) б) в)
Рис. 22
Логарифмічні частотні характеристики ланки (рис. 23) визначаються за формулою:
При k = 1
w |
0 |
ЛАЧХ |
L (w) |
-40 ДБ / дек |
w з |
+20 |
-20 |
0.1 1 10 100 |
+40 |
-40 |
Рис. 23
Приклади ланки. Коливальне ланка може бути реалізовано на операційних підсилювачах (рис. 24).
З ос З ос R ос U вх U вих R вх R вх R вх |
Æ |
Æ |
Рис. 24
Коливальний ланку на RLC-ланцюга (рис. 25).
U вих |
U вх |
З |
Æ |
Æ |
Æ |
Æ |
|
| |||||
Рис. 25
У наведеній схемі:
С - накопичує енергію електричного поля;
L - накопичує енергію електромагнітного поля;
R - на опорі відбувається втрата енергії.
Запишемо передавальну функцію ланцюга:
4. Механічні демпфери (рис. 26).
Y |
X |
З |
m |
Рис. 26
Форсує ланка. Форсують називають ланка, яка описується рівнянням:
або передаточної функцією
де k - коефіцієнт передачі ланки.
При цьому перехідна функція ланки і його функція ваги відповідно визначаються співвідношеннями:
Частотні характеристики ланки (рис. 27а-в) визначаються співвідношеннями:
A (w) |
+ |
АЧХ |
0 |
w0w |
ФЧХ |
0 |
w0w |
j (w) |
p / 2 p / 4 |
w = w з |
+ J |
АФХ |
1 |
1
а) б) в)
Рис. 27
Логарифмічні частотні характеристики ланки (рис. 28) визначаються за формулою:
+20 0 -20 |
w |
ЛАЧХ |
L (w) |
+20 ДБ / дек |
w з |
0.1 1 10 100 |
Рис. 28
Форсує ланка 2-го порядку. Передавальна функція форсує ланки 2-го порядку має вигляд:
Логарифмічні частотні характеристики ланки мають вигляд:
Рис. 29 |
w |
L (w) |
+40 ДБ / дек |
w з |
+40 +20 0 -20 -40 |
0.1 1 10 100 |
Запізнюється ланка. Диференціальне рівняння і передавальна функція запізнілого ланки мають вигляд:
де t - час запізнювання.
Відповідно до теореми запізнювання
k (t) |
h (t) |
Рис. 30
Частотні характеристики ланки (рис. 31а-в) визначаються співвідношеннями:
+ |
w0w |
АЧХ |
0 |
w0w |
A (w) |
1 |
АФХ |
+ J |
+ |
1 |
K (jw) |
ФЧХ |
0 |
j (w) |
а) б) в)
Рис. 31
Стійкі і нестійкі ланки. У стійких ланках перехідний процес є збіжним, а в нестійких він розходиться. Стійкі ланки називаються мінімально - фазовими. Ці ланки не містять нулів і полюсів у правій півплощині коренів. Нестійкі ланки називаються не мінімально - фазовими. Тобто зміни амплітуди на ± 20 дБ / дек відповідає зміна фази на ± p / 2, а ± 40 дБ / дек - на ± p.
Приклад 1. Побудувати частотні характеристики для ланок
Для заданих передавальних функцій ланок, характеристики мають вигляд (мал. 32):
0 t |
h (t) |
1 (t) |
w = 0 w = ¥ + t |
K (jw) |
+ J |
w = ¥ w = 0 + t |
K (jw) |
+ J |
w c w t |
L (w), j (w) |
0 -P / 2 -P -3p / 2 |
w c w t |
L (w), j (w) |
0 -P / 2 -P -3p / 2 |
0 t |
1 (t) |
h (t) |
Рис. 32
Ідеальні та реальні ланки. Ідеальні ланки фізично не реалізовуються, реальні ланки містять інерційності.
АФХ цих ланок мають вигляд (мал. 33а-в):
K (jw) |
+ J |
w = 0 w = ¥ + |
+ J |
w = 0 w = ¥ + |
K (jw) |
+ |
K (jw) |
а) б) в)
| ||||
| ||||
Розглянемо характеристики з'єднань ланок і порядок побудови логарифмічних частотних характеристик з'єднань ланок.
1. Визначаємо, з яких елементарних ланок складається з'єднання.
2. Визначаємо сполучають частоти окремих ланок і відкладаємо їх по осі частот у порядку зростання.
3. Визначаємо нахил низькочастотної асимптоти, використовуючи формулу [(lm) 20] дБ / дек (де l - кількість дифференцирующих, а m-інтегруючих ланок) і проводимо її через відповідну пов'язану частоту.
4. Послідовно поєднуючи ланки, будуємо характеристику з'єднання.
Приклад 2. Побудувати логарифмічну частотну характеристику з'єднання:
Рішення: Визначаємо со-прягающіе частоти відділень-льних ланок і отклади-ваем їх по осі частот у по-рядку зростання. T інт = 0,01 с; w інт = 100 с -1; T фор = 1 с; w фор = 1 с -1; T ап = 0,1 с; w ап = 10 с -1; Будуємо характеристику (рис. 34). |
0,1 січня 1910 w [1 / c] |
+60 +40 +20 0 -20 -40 -60 |
Рис. 34 |
-20 0 -20 |
L [дБ] |
Приклад 3. Побудувати логарифмічну частотну характеристику з'єднання
|
+60 +40 +20 0 -20 -40 -60 |
-20 0 -20 0 -20 |
Рис. 35 |
Рішення: Визначаємо соп-рягающіе частоти окремих ланок і відкладаємо їх по осі частот у порядку зростання. T інт = 0,1 с; w інт = 10 с -1; T фор = 10 с; w фор = 0,1 с -1; T к = 1 с; w к = 1 з -1; T фор = 0,1 с; w фор = 10 с -1; T фор = 0,01 с; w фор = 100 с -1; Будуємо характеристику рис. 35 |
| |||||
Приклад 4. Побудувати АФХ з'єднання ланок, передатна функція якого має вигляд
Рішення: Виконавши підстановку p = j w і помноживши на комплексно поєднане вираз, отримаємо
Будуємо характеристику рис. 36.
|
|
+
Рис. 36
Література
1. Автоматизоване проектування систем автоматичного управління. / Под ред. В.В. Солодовникова. - М.: Машинобудування, 1990. -332 С.
2. Бойко Н.П., Стеклов В.К. Системи автоматичного управління на базі мікро-ЕОМ. - К.: Техніка, 1989. -182 С.
3. В.А. Бесекерскій, Є.П. Попов «Теорія систем автоматичного управління». Професія, 2003 р. - 752 с.
4. Грінченка А.Г. Теорія автоматичного управління: Навч. посібник. - Харків: ХДПУ, 2000. -272 С.
5. Довідник з теорії автоматичного управління. / Под ред. А.А. Красовського - М.: Наука, 1987. - 712 с.
Цей текст може містити помилки.
Комунікації, зв'язок, цифрові прилади і радіоелектроніка | Реферат
Схожі роботи:
Тягові і динамічні характеристики Автомобіль ВАЗ 2107
Тягові і динамічні характеристики Автомобіль ВАЗ 21074-20
Тягові і динамічні характеристики Автомобіль ВАЗ 21074 20
Динамічні характеристики засобів контролю температури киплячого шару
Мономіальние динамічні системи
Динамічні структури даних
Динамічні структури даних 3
Динамічні структури даних 2
Статичні і динамічні інформаційні моделі