Теорія ймовірностей Від Паскаля до Колмогорова

Теорія ймовірностей. Від Паскаля до Колмогорова

Санкт-Петербург 2010

Введення

Зараз вже важко встановити, хто вперше поставив питання, нехай і в недосконалій формі, про можливість кількісного виміру можливості появи випадкової події. Хоч трохи задовільну відповідь на це питання зажадав тривалого часу і значних зусиль ряду поколінь видатних дослідників. Протягом довгого періоду дослідники обмежувалися розглядом різного роду ігор, особливо ігор в кістки, оскільки їх вивчення дозволяє обмежуватися простими і прозорими математичними моделями. Однак слід зауважити, що багато чудово розуміли те, що пізніше було прекрасно сформульовано Християном Гюйгенсом: «... я вважаю, що при уважному вивченні предмета читач помітить, що має справу не тільки з грою, але що тут закладаються основи дуже цікавою і глибокою теорії» .

На першому етапі вивчення випадкових явищ увагу вчених було зосереджено на трьох завданнях:

1. підрахунок числа різних можливих наслідків при киданні декількох кісток;

2. розділ ставки між гравцями, коли гра припинена десь посередині;

3. визначення числа бросаний двох або кількох кісток, при яких число випадків, що сприяють випаданню на костях однакових граней хоча б при одному киданні, було більшим, ніж число випадків, коли ця подія не з'явиться жодного разу.

Число різних результатів при киданні трьох гральних кісток було визначено в 960 р. єпископом Віболдом з міста Камбре. Він вважав, що таких результатів 56. Пізніше з'ясується, що це не так.

Спроба підрахувати число виходів при киданні трьох гральних кісток, включаючи і перестановки, є в поемі Річарда де Форніваль, написаної в проміжку від 1220 до 1250 р. У частині поеми, присвяченій іграм і спорту, є наступні міркування: «Однакова кількість очок на трьох кістках можна отримати шістьма способами. Якщо число очок на двох кістках збігається, а на третій від нього відмінно, то ми маємо 30 способів, оскільки одна пара могла бути обрана шістьма способами, а третє число лише п'ятьма. Якщо окуляри на костях різні, то ми маємо 20 способів, оскільки 30 разів по 4 дорівнює 120, але кожна можливість з'являється шістьма способами. Таким чином, існує всього 56 можливостей.

Однакові числа очок на костях можна отримати лише єдиним способом; однакові числа очок на двох кістках, а третє відмінне від них трьома способами ».

Хоча в тексті явно зазначено лише число випадків по Віболду, але фактично Річард де Форніваль підготував підрахунок загального числа рівноймовірно випадків при киданні трьох кісток: 6 * 1 +30 * 3 +20 * 6 = 216.

Спеціальної згадки заслуговує одна з перших математичних книг початку епохи італійського Відродження, написана Лукою Пачолі (1445-1514) і носила назву «Сума знань з арифметики, геометрії, відносинам і пропорційності». У розділі незвичайних завдань у згаданій книзі були поміщені дві наступні:

1. Компанія відіграє в м'яч до 60 очок і робить ставку в 22 дуката. У зв'язку з деякими обставинами гра припинена до її закінчення, причому одна сторона в цей момент має 50, а інша - 30 очок. Питається, яку частку загальної ставки повинна отримати кожна сторона?

2. Троє змагаються у стрільбі з арбалета. Хто першим досягне 6 кращих попадань, той виграє. Ставка 10 дукатів. Коли перший отримав 4, другий 3, а третій 2 найкращих попадання, вони не хочуть продовжувати і вирішують розділити приз справедливо. Питається, якою має бути частка кожного?

Пачолі запропонував рішення, яке пізніше багаторазово оскаржено, оскільки воно було визнано помилковим. А саме він запропонував ділити ставку пропорційно числу виграних партій.

1. Дослідження Дж. Кардано і Н. Тарталья

Істотне просування у вирішенні первинних завдань теорії ймовірностей пов'язані з іменами італійських вчених Кардано (1501-1575) і Тарталья (1499-1557). У рукописі «Книга про гру в кості» було вирішено багато завдання, пов'язані з киданням гральних кісток і випаданням на них того чи іншого числа очок. Він правильно підрахував числа різних випадків, які можуть статися при киданні двох і трьох кісток. Кардано вказав число можливих випадків появи хоча б на одній з двох кісток певного числа очок. Кардано запропонував розглядати відношення 1 / 6 (ймовірність викидання заданого числа окулярів при киданні однієї кістки), 11/36 (ймовірність отримати хоча б на одній з двох кісток грань із заданим числом очок) яке ми тепер називаємо класичним визначенням ймовірності. Кардано не помітив, що стояв на порозі введення важливого поняття для всього подальшого розвитку великої глави математики, та і всього кількісного природознавства. Розглянуті їм відносини сприймаються їм скоріше чисто арифметично, як частка випадків, ніж як характеристика можливості появи випадкової події під час випробування. Кардано і Тарталья запропонували нове рішення задачі Пачолі про розподіл ставки, однак і їх рішення були помилковими.

2. Дослідження Галілео Галілея

Таким чином, уже в 16 столітті виникли завдання імовірнісного характеру і розшукувалися підходи до їх вирішення. Поступово вироблялися підходи, які пізніше ставали основою нової теорії і дозволяли вирішувати окремі завдання. Значний внесок у цей прогрес вніс Галілео Галілей (1564-1642). Його робота «Про вихід очок при грі в кістки» була присвячена підрахунком можливих випадків при киданні трьох кісток. Число всіх можливих випадків Галілей підрахував простим і природним шляхом, звів 6 (число різних можливостей при киданні однієї кістки) в 3 ступінь і отримав 216. Далі він підрахував кількість різних способів, якими може бути отримано те ​​чи інше значення суми випали на кістках очок. При підрахунку Галілей користувався корисною ідеєю: кістки нумерувалися (перша, друга, третя) і можливі наслідки записувалися у вигляді трійок чисел, причому на відповідному місці стояло число очок, яке випало на кістки з даним номером. Ця проста думка для свого часу виявилася вельми корисною.

Галілей, по суті, повторив результати, отримані значно раніше поруч попередників. Однак ця, тепер проста задача, в ту пору була серйозним випробуванням і для мислителя такого високого рангу як Галілей.

Зауважимо, що у Галілея, як і у його попередників, міркування ведуться не над вірогідністю випадкових подій, а над числами шансів, які їм сприяють.

Для теорії ймовірностей і математичної статистики велике значення мають міркування Галілея з приводу теорії помилок спостережень. До нього ніхто цим не займався. Таким чином, все, що він написав ан цю тему ново для його часу і важливо навіть у наші дні. Свої думки і висновки він досить докладно виклав в одному з основних своїх творів: «Діалог про дві найголовніші системи світу птолемеевой і коперниковой».

3. Вклад Паскаля і Ферма в розвиток теорії ймовірностей

Зазвичай вважають, що теорія ймовірностей зародилася в листуванні двох великих учених Б. Паскаля (1623-1662) і П. Ферма (1601-1665). Від цього листування збереглися лише три листи Паскаля і чотири листи Ферма. У цьому листуванні ще відсутнє поняття ймовірності, і обидва вчених обмежуються розглядом числа благоприятствующих події шансів. У цих авторів вперше в історії є правильне рішення задачі про розподіл ставки, яка відняла багато зусиль у дослідників протягом тривалого часу. Обидва вони виходили з однієї і тієї ж ідеї: розділу ставки у відношенні, пропорційному ймовірностям остаточного виграшу кожного гравця. У запропонованих ними рішення можна побачити зачатки використання математичного сподівання і теорем про складання і множення ймовірностей. Це був серйозний крок у створенні передумов та інтересів до завдань теоретико-імовірнісного характеру. Другий крок був зроблений також Паскалем, коли він істотно просунув розвиток комбінаторики і вказав на його значення для зародження теорії ймовірностей. Поштовхом до появи інтересів Паскаля до завдань, що призвів до теорії ймовірностей, послужили зустрічі та бесіди з придворним французького королівського двору шевальє де Мере, який цікавився літературою, філософією і водночас був пристрасним гравцем. У цій пристрасті були витоки тих завдань, які він запропонував Паскалю.

1. Скільки разів потрібно підкинути дві кістки, щоб число випадків, що сприяють випаданню хоча б раз двох шісток, було більше, ніж число випадків, коли ні при одному киданні не з'являються дві шістки одночасно?

2. Як потрібно розділити ставки між гравцями, коли вони припинили гру, не набравши необхідного для виграшу числа очок?

Основний зміст листів Паскаля і Ферма присвячено розділу ставки. Рішення Паскаля докладно викладається в листі:

«Ось приблизно, що я роблю для визначення вартості кожної партії, коли два гравці грають, наприклад, на три партії і кожним вкладено по 32 пістоля.

Припустимо, що один виграв дві партії, а інший одну. Вони грають ще одну партію, і якщо виграє перший, то він отримує всю суму в 64 пістоля, вкладену в гру, коли ж цю партію виграє другий, то кожен гравець матиме по дві виграних партії і, отже, якщо вони мають намір провести поділ, то кожен повинен отримати назад свій внесок в 32 пістоля.

Тож прийміть до уваги, монсеньйор, що якщо перший виграє, то йому належить 64; якщо він програє, то йому належить 32. Якщо ж гравці не мають наміру ризикувати на цю партію, і хочуть зробити розділ, то перший повинен сказати: «Я маю 32 пістоля вірних, бо у разі програшу я їх все одно отримав би, але інші 32 пістоля можуть бути отримані або мною, або Вами , випадковості рівні. Розділимо ж ці 32 пістоля навпіл, і дайте мені, крім того, безперечну суму в 32 пістоля ».

Далі Паскаль розглянув інший випадок, коли перший гравець виграв дві партії, а другий ні однієї і третій, коли перший гравець виграв одну партію, а другий жодної. В обох випадках міркування ті ж, що були наведені вище.

Ферма запропонував наступне рішення цього завдання:

Нехай до виграшу гравця А бракує двох партій, а гравцеві У трьох. Тоді для завершення гри достатньо зіграти максимум чотири партії. Можливі наслідки представлені у вигляді таблиці:

У перших одинадцяти исходах виграє А, в останніх п'яти В. Таким чином, ставка між гравцями повинна бути розділена стосовно 11 / 5. Тобто гравець А отримає 11/16, а В отримає 5 / 16 ставки. Очевидно, що Ферма, як і Паскаль, ділить ставку пропорційно ймовірностям виграшу кожним з гравців всієї гри. Однак, вони й самі не помічають, що їхні вихідні позиції однакові.

Паскаль одночасно з роздумами над проблемами, що склали зміст його листування з Ферма, розробляв питання комбінаторики. Результатом цього з'явився «Трактат про арифметичний трикутник", який вніс серйозний вклад у розвиток комбінаторики. У цьому трактаті є параграф, в якому викладені правила використання комбінаторних результатів в задачі про розподіл ставки. Правило, запропоноване Паскалем, полягає в наступному: нехай гравцеві до виграшу всієї гри не вистачає

Партій, а гравцеві партій, тоді ставка повинна ділитися між гравцями в наступному відношенні:

4. Робота Х. Гюйгенса

Значний вплив на розвиток теорії ймовірностей справила робота Х. Гюйгенса (1629-1695). Інтерес Гюйгенса до цих питань був викликаний його поїздкою в Париж в 1655 р., де він познайомився з низкою провідних учених і почув від них відомості щодо завдань про розподіл ставки в азартних іграх, які розроблялися Паскалем і Ферма. Результатом стала його робота, опублікована в 1656 р. у вигляді доповнення до книги його вчителя Ф. ван Схоутена «Математичні етюди».

Робота Гюйгенса складається з невеликого введення і 14 пропозицій. Ці пропозиції дуже різні за своїм змістом. Перші три є тими принципами, на основі яких Гюйгенс засновував наступні рішення.

Пропозиція 1. Якщо я маю рівні шанси отримати або , То це мені варто .

Пропозиція 2. Якщо я маю рівні шанси отримати або , То це мені коштує стільки ж, як якби я мав .

Пропозиція 3. Якщо число випадків, в яких виходить сума , Так само , А число випадків, в яких виходить сума , Так само , То вартість мого очікування дорівнює .

Ясно, що цими пропозиціями Гюйгенс ввів поняття математичного очікування для випадкової величини, що приймає два або три значення. У перших двох реченнях значення, що приймаються випадковими величинами, рівноймовірно, а в третьому реченні ймовірність значення дорівнює і ймовірність значення дорівнює . Поняття ймовірності у Гюйгенса ще не виділено, і він весь час оперує числами шансів, що сприяють тому чи іншої події. Гюйгенс говорив про вартість, за яку він готовий поступитися своїм правом на отримання виграшу. Термін «очікування» був введений у вживання Схоутеном при перекладі.

Пропозиції 1 і 2 представляють собою ніщо інше, як версію завдання про розподіл ставки.

«Припустимо, що я граю проти іншої особи на те, хто першим виграє 3 партії, і що я вже виграв 2 партії, а він 1. Я хочу знати, яка частина ставки належить мені, коли ми хочемо перервати гру і справедливо розділити ставки ... Потрібно зауважити спочатку, що достатньо взяти до уваги кількість партій відсутніх тій і іншій стороні. Так як вірно, що якби ми грали на те, хто виграє 20 партій, і якби я виграв 19 партій, а мій противник 18, то я мав би таке ж саме перевагу, як і у викладеному випадку, де при трьох партіях я виграв дві, а він тільки одну, а це тому, що в обох випадках мені бракує тільки однієї партії, а йому двох. Потім, щоб обчислити частина, яка належить кожному з нас, потрібно звернути увагу на те, що сталося б, якби ми продовжували гру. Вірно і те, що вигравши партію, я отримав би повністю суму ставки, яку позначу . Але якщо першу партію виграє мій противник, то наші шанси стануть рівними, беру до уваги, що кожному з нас буде бракувати по одній партії; значить, кожен із нас мав би право на , Що відповідно до першого речення, еквівалентно сумі половин, тобто , Так що моєму суперникові залишається ».

Пропозиції 4-9 роботи Гюйгенса присвячені вирішенню завдань, пов'язаних з нешкідливим діленням ставки. Наприклад, в пропозиції 8 розглянуто розподіл ставки між трьома гравцями, коли першому гравцеві бракує до виграшу всієї гри однієї партії, а другому і третьому за дві. Пропозиції 10-14 містять різні завдання, пов'язані з киданням кісток. В кінці роботи поміщені 5 задач без рішень, які Гюйгенс запропонував читачеві для самостійних роздумів.

До кінця 17 століття завершувався тривалий період накопичення первинних відомостей про випадкові події, точно поставлених завдань і підходів до їх вирішення. Багато видатних уми займалися цими питаннями і з різних позицій підходили до кількісної оцінки можливості настання випадкової події. Ферма фактично користувався поняттям математичного сподівання, використання якого для вирішення різноманітних завдань було широко розвинене Гюйгенсом; Паскаль, Ферма і Гюйгенс використовували уявлення про теоремах додавання і множення ймовірностей , і підійшли впритул до поняття ймовірності, проте його вони не вказали. Якби дослідники того часу поставили собі питання, що імовірніше при чотириразовому киданні кістки хоча б раз викинути шістку або при двадцатіпятікратном киданні двох кісток хоча б раз викинути на обох кістках шістки, вони були б змушені ввести класичне поняття ймовірності і далі його використовувати. Однак цього в 17 столітті не відбулося і введення в науку класичного поняття ймовірностей належить лише 18 сторіччя. Період передісторії завершувався і починався період історії теорії ймовірностей. Для цього вже був створений досить міцний фундамент.

5. Перші дослідження з демографії

Одним із поштовхів для розвитку основних понять теорії ймовірностей зіграли дослідження Джона Граунта (1620-1675) і Вільяма Петті (1623-1687) з демографії. Їхні роботи наочно продемонстрували, яким потужним знаряддям можуть служити для вивчення масових явищ статистичні спостереження, якщо їх відповідним чином обробити. Першою роботою, з якої починається історія статистики як галузі наукового знання, слід назвати книгу Граунта, опубліковану в 1662 р. під назвою «Природні і політичні спостереження, перелічені в доданому змісті і зроблені над бюлетенями смертності. По відношенню до управління, релігії, торгівлі, зростанню, повітрю, хвороб і різних змін зазначеного міста ».

Основна задача, яка цікавила Граунта, полягала у вказівці методу, який дозволяв би встановити з достатньою точністю віковий склад населення міста в результаті спостережень за віком померлих. З цією метою їм були проаналізовані 229 250 реєстрацій смертей в Лондоні відбулися за 20 років. Серед цих смертей було відзначено 71 124 смерті дітей від 0 до 6 років. Причини смертей були ретельно перераховані Граунт. Він спеціально наголосив, що ставлення числа смертей дітей від 0 до 6 років до загального числа смертей за той же період часу, дорівнює 71 124/229 250, приблизно дорівнює 1 / 3. Іншими словами, Граунт ввів уявлення про частоту події. Для розвитку теорії ймовірностей ця обставина зіграла величезну роль, як і його зауваження: «... ми б хотіли зазначити, що деякі із випадковостей мають постійне ставлення до всіх похорону». Тут Граунт впритул підійшов до уявлення про статистичної стійкості середніх. Їм була складена перша таблиця смертності.

Граунт прекрасно розумів, що точність його висновків тим більше, чим більше спостережень є для обробки. Саме у зв'язку з цим він наголосив, що недостатньо обмежуватися обробкою бюлетенів смертності тільки за один тиждень для отримання повноцінних висновків про склад населення.

Поняття частоти підхопили інші автори. Так в невеликій книзі В. Петті «Два нариси з політичної арифметики, які стосуються людям, будівлям, лікарням у Лондоні, Парижі», що вийшла в 1682 р. в Лондоні, а через два роки у французькому перекладі в Парижі, були дані порівняльні дані про смертності в госпіталях шарите Парижа і Лондона.

Роботи Граунта, Петті і ряду їхніх послідовників є ніщо інше, як перші кроки в галузі математичної статистики.

Безпосереднім продовжувачем досліджень, розпочатих Граунт і Петті, був знаменитий англійський астроном Едмунт Галлей (1656-1742). У 1693 р. Галлей опублікував у виданнях Лондонського королівського суспільства дві статті «Оцінка ступенів смертності людства, виведена на підставі цікавих таблиць народжень і поховань міста Бреславля, зі спробою встановити ціну довічних рент» і «Кілька подальших зауважень з приводу Бреславльского бюлетенів смертності». Одна з причин інтересу Галлея до таблиць смертності полягає в тому, що самі Граунт і Петті усвідомлювали недостатню обгрунтованість своїх висновків, оскільки у них були відсутні чисельність населення і вік померлих. Крім того, в містах, які вони вивчали, був великий приплив населення ззовні. Ця обставина робить зазначені міста «невідповідними в якості стандарту для цієї мети, яка вимагає, якщо це можливо, щоб населення, з яким мають справу, було зовсім закритим, тобто таким, де всі вмирають там, де вони народилися, де немає ніяких емігрантів і іммігрантів. За словами Галлея, Бреславльского матеріали не мають зазначених дефектів.

На підставі наявних у нього даних Галлей склав таблицю смертності, яку він розглядав і як таблицю доживають за віком осіб, так і як розподіл населення за віком. Він ввів в науку поняття про ймовірну тривалість життя, як про вік, якого однаково можна досягти і не досягти. На сучасній мові це медіана тривалості життя. В обчисленнях Галлея можна помітити використання ним принципів, що лежать в основі теорем складання т множення ймовірностей, а також міркування, близькі до формулювання закону великих чисел.

Роботи Галлея мали дуже велике значення для розвитку науки і застосувань статистичних досліджень про народонаселення до питань страхування.

6. Виникнення класичного визначення ймовірності

До кінця 17 ст. наука так і не підійшла до введення класичного визначення ймовірності. Однак в 30-х роках 18-го століття класичне визначення ймовірності стало загальновживаним, і ніхто з учених цих років не міг би обмежитися тільки підрахунком числа благоприятствующих події шансів. Введення класичного визначення ймовірності відбулося не в результаті одноразової дії, а зайняло тривалий проміжок часу, протягом якого відбувалося безперервне вдосконалення формулювання, перехід від приватних задач до загального випадку. Ще в книзі Гюйгенса «Про розрахунки в азартних іграх» (1657) немає поняття ймовірності як числа, укладеного між 0 і 1 і рівного відношенню числа благоприятствующих події шансів до числа всіх можливих. А в трактаті Я. Бернуллі «Мистецтво припущень» (1713) поняття це запроваджено, хоча й у недосконалій формі. Що ж змусило Бернуллі ввести в науковий обіг класичне поняття ймовірності?

Безсумнівно, що формулювання закону великих чисел, здійснена Бернуллі, сама по собі є достатнім для цього підставою. Однак сильний вплив на хід думок ряду дослідників, в тому числі і Бернуллі, надали роботи Граунта і Петті. Їхні твори переконливо показали переваги поняття частоти перед поняттям чисельності. Поняття частоти, тобто відношення числа спостережень, в яких з'являється певна властивість, до числа всіх спостережень, дозволяє отримати серйозні практичні висновки. Звідси залишався один крок до введення класичного визначення ймовірності. Висновки Граунта і Петті щодо стійкості деяких подій підготували грунт і до формулювання закону великих чисел.

Бернуллі дав таке визначення ймовірності: «Ймовірність є ступінь достовірності і відрізняється від неї, як частина від цілого». Далі було пояснення сказаного на прикладі, який показує, що Бернуллі в дану ним формулювання вкладав той же зміст, який ми вкладаємо в класичне визначення ймовірності.

Цікаві інші міркування його роботи. Бернуллі поставив питання: як визначити ймовірність випадкової події, якщо у нас немає можливості підрахувати числа всіх можливих і сприяють йому шансів? Відповідь була їм сформульовано таким чином: «Але тут нам відкривається інша дорога для досягнення шуканого. І те, що не дано вивести a priori, то, принаймні, можна отримати a posteriori, тобто з багаторазового спостереження результатів у подібних прикладах ... Бо, якщо, наприклад, при спостереженнях, зроблених колись над трьома сотнями людей того ж віку та складання, в яких знаходиться тепер Тит, було відмічено, що з них двісті до закінчення 10 років померли, а решта залишилися в живих і далі, то можна укласти з достатньою підставою, що є вдвічі більше випадків Тита померти протягом найближчого десятиліття, ніж залишитися в живих після закінчення цього терміну ... Цей досвідчений спосіб визначення числа випадків за спостереженнями не новий і не незвичайний ».

Важливо підкреслити, що в висловлених уривках досить чітко простежується думка про статистичному визначенні ймовірності. Таким чином, у трактаті Бернуллі присутні обидві концепції ймовірності класична і статистична. Обидві вони викладені не дуже чітко, але вони вже введені в розгляд і використані. Введено в розгляд поняття ймовірності випадкової події, як числа, укладеного між 0 і 1. Достовірного події приписується максимально можливе значення ймовірності одиниця, а неможливого мінімальне нуль. Крім того, було ясно сказано, що це число може бути визначене двома різними способами: шляхом підрахунку числа равновозможних випадків, які сприяють події, і всіх можливих випадків і обчислення їх стосунки або ж шляхом проведення великого числа незалежних випробувань і обчислення частоти події.

Монмор у своїй книзі «Огляд аналізу азартних ігор» використовував введене Бернуллі поняття ймовірності і застосував його до рішення досить складних завдань. Зокрема Монмор розглянув і правильно вирішив наступне завдання: є предметів, пронумерованими числами від 1 до . Питається, чому дорівнює ймовірність того, що при послідовному вийманні цих предметів навмання (без повернення) хоча б один предмет буде вийнято так, що номер виймання співпаде з присвоєним йому номером. Ця ймовірність виявилася рівною .

А. Муавр прийняв класичне визначення ймовірності, дане Бернуллі, і ймовірність події визначив в точності так, як це робимо ми тепер. Він писав: «Отже, ми будуємо дріб, чисельник якого буде число випадків появи події, а знаменник число всіх випадків, за яких воно може з'явитися або не з'явитися, така дріб буде висловлювати дійсну ймовірність його появи». Муавр, як і Бернуллі не загострював увагу на те, що шанси мають бути рівноймовірно. Це зауваження вперше було введено у визначення класичної ймовірності лише П. Лапласом в його «Аналітичної теорії ймовірностей". Лагранж про це ще не задумувався і давав визначення ймовірності в точності за Муавру. Мабуть, на Лапласа вплинула дискусія, розпочата Д `Аламбером, який під час вирішення завдання про ймовірність випадіння (при киданні двох монет) герба на одній з монет і решки на інший, визначив її рівної 1 / 3. Це він мотивував тим, що є лише три можливості:

1) на обох монетах випадає герб;

2) на обох монетах випадає решка;

3) на одній монеті випадає герб, а на іншій решка.

7. Формування поняття геометричної ймовірності

Уже в першій половині 18 століття з'ясувалося, що класичне поняття ймовірності має обмежену область застосувань і виникають ситуації, коли воно не діє, а тому необхідно якесь природне його розширення. Зазвичай вважають, що таким поштовхом послужили роботи французького натураліста Ж. Бюффона (1707-1788), в яких він сформулював знамениту задачу про киданні голки на розграфлені площину і запропонував її рішення. Проте, задовго до народження Бюффона з'явилася робота, в якій фактично вже було поставлено питання про знаходження геометричній ймовірності. У 1692 р. в Лондоні було опубліковано англійський переклад книги Х. Гюйгенса «Про розрахунки в азартних іграх», виконаний Д. Арбутнотом (1667-1735). Наприкінці першої частини перекладач додав кілька завдань, серед яких була сформульована задача зовсім іншої природи, у порівнянні з тими, які були розглянуті великим автором. Він назвав це завдання важкою і помістив її в додаток «для того, щоб вона була вирішена тими, хто вважає такого роду проблеми гідними уваги». Завдання, запропонована Арбутнотом полягає в наступному: на площину навмання кидається прямокутний паралелепіпед, з ребрами, рівними , , . Питається, як часто паралелепіпед буде випадати гранню ? Сам Арбутнот не зробив навіть спроби вирішити придуману ним завдання. Це було здійснено значно пізніше Т. Сімпсоном (1710-1761) в книзі «Природа і закони випадку». Ідея рішення полягає в наступному: опишемо близько паралелепіпеда сферу і спроектуємо з центру на поверхню її всі ребра, бічні грані і підстави. В результаті поверхня сфери розіб'ється на шість непересічних областей, відповідних гранях паралелепіпеда. «Неважко помітити, що певна частина сферичної поверхні, обмежена траєкторією, описаної таким чином радіусом, знаходитиметься в такому ж відношенні до загальної площі поверхні, що ймовірність появи деякої грані до одиниці». Тут укладено принципи розвідки геометричних ймовірностей: вводиться міра безлічі благоприятствующих події випадків і береться її ставлення до міри множини всіх можливих випадків. У нашому випадку повна міра зводиться до площі поверхні кулі.

Бюффон двічі публікував роботи, присвячені геометричним ймовірностями. Перша публікація відноситься до 1733 р., коли він зробив у Паризькій академії наук доповідь, надрукований під назвою «Мемуар про гру під назвою франк-карі». Мета, яку ставив перед собою Бюффон, полягала в тому, щоб показати, що «геометрія може бути використана в якості аналітичного інструменту в галузі теорії ймовірностей», в той час, як до тих пір «геометрія здавалася мало придатною для цих цілей», оскільки для них використовувалася тільки арифметика. Гра франк-карі полягає в наступному: стать разграфлен на однакові фігури. На підлогу кидається монета, її діаметр менше кожної зі сторін і монета цілком вкладається всередину фігури. Чому дорівнює ймовірність того, що кинута навмання монета перетне одну або дві сторони фігури?

Для визначеності розглянемо покриття площині прямокутниками зі сторонами , . Легко підрахувати, що площа смуги між основним прямокутником зі сторонами, паралельними сторонам основного на відстані від кожної з його сторін і цілком розташованого усередині основного, дорівнює . Легко зрозуміти, що центр монети, потрапивши всередину малого прямокутника, не тільки не перетне, але навіть не торкнеться сторін основного. Значить, ймовірність того, що монета перетне щонайменше одну із сторін основного прямокутника дорівнює .

Друге завдання, сформульована Бюффоном, полягає в наступному: площина разграфлена рівновіддаленими паралельними прямими. На площину навмання кидається голка. Один гравець стверджує, що голка перетне одну з паралельних прямих, інший, що не перетне. Визначити ймовірність виграшу кожного з гравців. Менш відома задача про гру, коли голка кидається на площину, розграфлений на квадрати. У вирішенні цього завдання Бюффон допустив помилку, пізніше виправлену Лапласом.

Після Бюффона завдання на геометричні ймовірності стали систематично включатися в трактати і підручники з теорії ймовірностей. У прекрасному для свого часу підручнику «Підстави математичної теорії ймовірностей» (1846) В.Я. Буняковського (1804-1889) є великий розділ, присвячений геометричній ймовірності. У нього включена завдання Бюффона про киданні голки і окремий випадок ігри франк-карі, коли площина розбита на трикутник.

Серйозний крок у розвитку геометричних ймовірностей пов'язаний з іменами Ламі (1795-1870), Барб'є, Д. Сильвестра (1814-1897), М. Крофтона, які не просто поставили нові завдання, а й залучили до їх вирішення поняття міри множини. На базі їх розглядів пізніше виникла нова гілка геометрії, що отримала назву інтегральна геометрія.

Сильвестр перший після Бюффона розширив тематику завдань на геометричні ймовірності. Їм було запропоновано завдання про чотирьох точках або завдання Сильвестра: чотири точки взяті навмання всередині опуклої області. Чому дорівнює ймовірність того, що, взявши ці точки в якості вершин, можна скласти опуклий чотирикутник?

Сильвестр чітко розумів, що при обчисленні геометричних ймовірностей доводиться брати відношення площ чи обсягів тих областей, які сприяють події і в яких містяться всілякі події. Фактично так робили й раніше. Але при цьому вимовляли інші слова, які або не мали певного сенсу або ж не відповідали виробленим дій. Порівнявши результати обчислень для різних областей, Сильвестр запропонував знайти ті області, для яких імовірність отримання опуклого чотирикутника досягає максимуму або мінімуму. Перші результати належать Крофтону. Він довів, що мінімум досягається для кола. Там же він висловив припущення, що мінімум досягається і для еліпса. Ця пропозиція була доведено лише В. Блашке (1923). Дельтейль показав, що максимальна ймовірність формування опуклого чотирикутника досягається для трикутної області. Безсумнівно, що в 19 столітті на розвиток проблематики геометричних ймовірностей особливий вплив справив Крофтон. Він почав вивчати перетин випадковими прямими заданих опуклих контурів.

На необхідність вдосконалення поняття геометричної ймовірності безперечний вплив справила книга Ж. Бертрана (1822-1900), в якій на добре підібраних прикладах було показано, що логічно поняття геометричної ймовірності не витримує критики. Граючи на невизначеності термінології, здавалося б для однієї і тієї ж задачі, йому вдалося отримати декілька різних відповідей. В якості основної мішені їм була обрана завдання про проведення навмання хорди всередині кола. Критика Бертрана привернула увагу математиків до загальних питань логічного обгрунтування теорії ймовірностей.

У 20 столітті інтерес до геометричних ймовірностям не зменшився, а зріс, оскільки, крім чисто математичного інтересу, вони придбали серйозне прикладне значення у фізиці, біології, медицині, інженерній справі і т.д.

8. Основні теореми теорії ймовірностей

Наступне важливе питання: хто і коли виділив в теорії ймовірностей основні її теореми додавання, множення і повної ймовірності? Формулювання цих теорем не вдалося помітити ні в листуванні Ферма з Паскалем, ні в трактаті Гюйгенса. Проте зачатки цих теорем можна простежити буквально з перших кроків теорії ймовірностей як математичної науки.

Так в роботах Паскаля можна побачити, що він чітко розумів як слід підраховувати число благоприятствующих шансів для події , Якщо нам відомі шанси для несумісних подій , Що складають подію . Це, звичайно, ще не теорема додавання, але важливий крок на шляху її формулювання. У роботах Я. Бернуллі і Н. Бернуллі дається чітка формулювання правило нарахування ймовірності протилежної події, якщо відома ймовірність прямого.

Перша чітка і остаточне формулювання теорема додавання ймовірностей знаходиться в роботі Т. Байеса (1702-1761), що носить назву «Досвід вирішення завдань з теорії ймовірностей покійного високоповажного містера Байеса, члена Королівського товариства. Повідомлено містером Прайсом в листі Джону Кентон, магістра мистецтв, члену Королівського товариства ». У цій роботі міститься визначення несумісних подій. Байес вживає інший термін «нещільні події». За Байєса «кілька подій є нещільними, якщо настання однієї з них виключає настання інших». Байес сформулював теорему додавання в наступному вигляді: «Якщо кілька подій є нещільними, то ймовірність того, що настане якась з них, дорівнює сумі ймовірностей кожного з них ».

Чітке виділення теореми множення було здійснено Муавром в 1718 р. У вступі до «Доктрині шансів» він визначив важливе поняття незалежності випадкових подій: «Ми скажемо, що дві події незалежні, коли кожне з них не має ніякого відношення до іншого, а поява одного з них не робить ніякого впливу на появу іншого ». Ще точно їм дано визначення залежних подій: «дві події залежні, коли вони пов'язані один з одним і коли ймовірність появи однієї з них змінюється при появі іншого». Теорему множення Муавр сформулював так: «... ймовірність появи двох незалежних подій дорівнює добутку ймовірності появи однієї з них на ймовірність того, що інша має з'явитися, якщо перше з них вже з'явилося. Це правило може бути узагальнено на випадок кількох подій ».

Про ймовірність спільного настання кількох подій Муавр писав наступне «... треба позначити одне з них як перше, інше як друге і т.д. Тоді ймовірність появи першого повинна розглядатися як незалежна від інших, друга - в припущенні, що перше відбулося, третє - в припущенні настання першого і другого і т.д. Отже, вірогідність настання всіх подій дорівнює добутку всіх щойно зазначених ймовірностей ". Муавр зазначив, що розшук умовних ймовірностей, як правило, являє собою складне заняття.

Формулювання теореми множення у Байеса така ж, як у Муавра. Єдине, в чому Байес пішов далі Муавра це у формулюванні слідства про обчислення ймовірності за ймовірностями і . Ця пропозиція дало підставу приписувати Байєса формули, які носять його ім'я. Насправді у нього їх немає, оскільки він не знав формули повної ймовірності.

Результат, приписуваний Байєса, мабуть, вперше отримав сучасну формулювання у Лапласа в його «Досвід філософії теорії ймовірностей". У розділі «Загальні принципи теорії ймовірностей» він сформулював принцип, який відноситься до ймовірності гіпотез, або, як писав Лаплас, ймовірності причин, словесно сформулював відоме "правило Байєса». Більше того, цей принцип Лапласа містить і формулу повної ймовірності.

Таким чином, основні принципи дії з імовірностями вичленяли тривалим шляхом. Їх багато разів використовували при вирішенні окремих завдань, але не формулювали їх як особливих пропозицій. Знадобилося майже століття, щоб після введення в науку поняття ймовірності сформулювати для цього поняття систему правил дії з ним. Такі правила широко використовувалися фактично, але потреби в їх формулюванні не відчували. Попутно при цьому вводилися і додаткові поняття, які дозволяли глибше вникати у природу речей. У нашому випадку цими поняттями є поняття несумісності і незалежності випадкових подій.

9. Задача про розорення гравця

Серйозну роль у розвитку теорії ймовірностей грала завдання про розорення гравця, вона дозволяла відточувати методи вирішення складних питань і в якійсь мірі була вихідним пунктом для розвитку теорії випадкових процесів. Саме в цьому завданні вперше почали вивчати стан системи залежно від часу. Точніше положення гравців після заданого числа партій. Це завдання було вперше сформульована в Гюйгенсом в книзі «Про розрахунки в азартних іграх». Цією завданням займалися багато видатних математики Я. Бернуллі, Н. Бернуллі, Муавр, Лаплас та ін

Перші підходи до вирішення завдання про розорення гравця майже одночасно були запропоновані трьома математиками Монмор, Муавром і Н. Бернуллі. Їх результати ставилися до 1710-1711 р. Завдання Гюйгенса в їх формулюванні злегка змінилася і набула звичний для нас вигляд: гравці і мають відповідно і франків і при кожній партії деякої гри один з них виграє у іншого 1 франк. Імовірність виграшу гравця для кожної партії дорівнює , Для гравця ймовірність виграшу дорівнює . Питається, чому дорівнюють ймовірності і того, що гравець виграє (відповідно гравець ) Гру (тобто гравець виграє всі гроші раніше, ніж виграє їх у ).

Муавр знайшов, що

, .

І що математичне очікування числа необхідних для завершення гри партій одно .

Йому ж вдалося знайти ймовірності , Що гравець виграє гру за партій (відповідно виграє за партій гравець ). До того ж їм був детально розглянуто випадок, коли .

У 1710 р. формули для у разі знайшов Монмор. Свої міркування він переслав Йогану Бернуллі, який передав лист своєму племіннику Миколі. У відповідь лист Н. Бернуллі від 26 лютого 1711 містило рішення і для випадку .

Розгляд рішень цих вчених ясно показує, що всі вони володіли прийомами оперування з ймовірностями складних подій. Практично вони бездоганно точно використовували теореми додавання і множення ймовірностей, а також формулу повної ймовірності, хоча в ту пору вони ще не отримали точного формулювання. Відбувалося накопичення досвіду і виділення тих правил, які постійно необхідні при підрахунку ймовірностей складних подій.

10. Виникнення граничних теорем теорії ймовірностей

На подальший розвиток теорії ймовірностей величезний вплив справила ідея, вперше висловлена ​​і здійснена Я. Бернуллі розглядати не тільки точні рішення задач теорії ймовірностей, але і їх асимптотичні постановки при необмеженому збільшенні деякого параметра. У першу чергу слід вказати на закон великих чисел у формі Я. Бернуллі. Саме він послужив джерелом для різного роду уточнень як в 18-му столітті, так і в наступні століття.

Я. Бернуллі дав формулювання своєї теореми у відмінному від прийнятого тепер вигляді, використовував для позначення випробувань, при яких цікавить нас подія відбувається, слова «плідний», «фертильний», а для протилежних результатів слово «стерильний».

«Нехай число фертильних випадків до числа стерильних випадків відноситься точно або наближено як або ж це число відноситься до числа всіх випадків як або ж як . Останнє ставлення знаходиться, отже, між і . Потрібно довести, що можна зробити таку велику кількість дослідів, що число з'явилися фертильних спостережень до числа всіх дослідів буде більше, ніж , І менше, ніж ». Ясно, що це формулювання лише словесно відрізняється від прийнятої тепер.

Книга «Мистецтво пропозицій» Я. Бернуллі побуту ретельно вивчена його племінником Н. Бернуллі. У його роботі «Про застосування мистецтва припущень в питаннях прав», виходячи з таблиць Граунта, він вивчав питання про ймовірність дожиття до певного віку. На підставі багаторічних реєстрацій народжень він відзначив той факт, що хлопчиків народжується більше, ніж дівчаток. При цьому відношення числа народжень хлопчиків до числа народжень дівчаток виявляється, як він вважав, рівним 18:17.

Далі Н. Бернуллі розглянув приклад, коли є 14 000 народжень. Тоді, відповідно до формул Н. Бернуллі, має місце рівність ( означає фактичне число народжень хлопчиків)

Фактичне число народжень хлопчиків залежить від випадку. Наведена формула дозволяє обчислити вірогідність того, що число народжень хлопчиків буде укладено в зазначених межах. Однак обчислення, які при цьому необхідно зробити, складні.

У точності цей приклад розглянуто Лапласом в «Аналітичної теорії ймовірностей". Як шуканого значення ймовірності нерівності Лаплас вказав величину 0.994303.

У двох останніх виданнях книги Муавра «Доктрина шансів» був поміщений переклад його статті 1733 Згідно зі словами самого автора «Я розміщую тут переклад моєї роботи, написаної 12 листопада 1733 і повідомленої деяким друзям, але ніколи не публікувався». У короткому вступі Муавр зазначив, що для вирішення ряду задач теорії ймовірностей необхідно підраховувати суми членів біноміального розподілу і що обчислення стають громіздкими при великих значеннях числа випробувань. В результаті перед Муавром виникло питання про розшук асимптотичної формули. Це завдання було їм благополучно вирішена. Основні труднощі, що при цьому виникала, полягала в оцінці факторіала при великих значеннях . Муавр довів, що , Де , Проте це його не задовольнило і йому хотілося зв'язати цю константу з раніше введеними в математику. Стірлінг показав, що . Відому формулу Стірлінга для наближеного обчислення факторіала в разі великих чисел, таким чином, слід було б назвати формулою Муавра. Використавши знайдену ним формулу «Стірлінга», Муавр спочатку з'ясував, що у разі середній член бінома асимптотично дорівнює , А потім довів локальну теорему, названу його ім'ям. Далі Муавр отримав локальну теорему для випадку фактично в прийнятому тепер вигляді.

Маючи в руках локальну теорему, Муавр без утруднень сформулював і інтегральну, правда, тільки для симетричних кордонів.

Муавр зазначив, що інтегральну теорему можна використовувати і для оцінки невідомої ймовірності , Тобто для вирішення оберненої задачі, задачі математичної статистики.

11. Контроль якості продукції

У зв'язку з переходом промисловості на масове виготовлення виробів, різко збільшився інтерес до перевірки якості виробів, що входять в прийняту партію. З'явилася глибока за змістом і значна за своїм практичним застосуванням теорія статистичних методів приймального контролю, заснована на широкому використанні теорії ймовірностей.

Першим кроком, що належать до цього кола ідей, слід вважати одне із завдань, розглянутих Т. Сімпсоном у книзі «Природа і закони випадку» (1740 р.). Є дане число речей різного гатунку речей першого, другого і т.д. Навмання б'ються речей. Знайти ймовірність того, що при цьому буде взято речей першого сорту, другого і т.д.

Через сто з невеликим років, до цього завдання знову повернувся М. В. Остроградський (1801-1862) в роботі «Про одному питанні, яке стосується ймовірностей» (1846). Він обчислив необхідні для практичного застосування таблиці. Наведемо справжні слова Остроградського. «У посудині є білі і чорні кулі, загальна кількість яких нам відомо, але ми не знаємо, скільки з них якого кольору. Ми витягуємо деяку кількість куль, підрахувавши, скільки з них білих і скільки чорних, знову кладемо в посудину. Потрібно визначити ймовірність того, що загальне число білих не виходить з наперед заданих меж. Або, краще сказати, ми шукаємо залежність між цією ймовірністю і межами, про які йде мова.

Щоб зрозуміти важливість цього питання, уявімо себе на місці того, хто повинен отримати велику кількість предметів, причому повинні виконуватися деякі умови, і хто, щоб перевірити ці умови, повинен на кожен предмет витратити деякий час. Перед армійськими постачальниками часто стоять такого роду завдання. Для них кулі, що містяться в посудині, представляють одержувані предмети, білі, наприклад предмети прийнятні, як задовольняють певним умовам, а чорні неприйнятні.

Таким чином, якби питання, яке ми перед собою поставили, було вирішено, постачальник міг би скористатися цим, щоб звести приблизно до двадцятої частці часто дуже тяжку механічну роботу, як, наприклад, перевірку великої кількості мішків борошна або штук сукна ».

Загальне число куль в урні відомо, але невідомий її склад. Його і слід оцінити при вибірці, взятої з урни навмання. Для цієї мети Остроградський використовує формули Байеса.

Статистичні методи приймального контролю отримали особливо бурхливий розвиток в роки Другої світової війни, оскільки було необхідно приймати величезні партії однорідної продукції, а перевіряти її суцільно не було можливостей по ряду причин. Немає можливості тут перелічити навіть основні етапи розвитку теорії статистичних методів приймального контролю. Велике число дослідників працювали над різними проблемами цієї тематики і внесли в її розвиток великий вклад. З вітчизняних вчених заслуговують бути відзначеними А.Н. Колмогоров, В.І. Романовський, С.Х. Сіраждінов, Ю.К. Бєляєв та ін

12. Розвиток теорії помилок спостережень

Вже згадувалося, що Галілей заклав основи теорії помилок вимірювань і ввів в розгляд ряд важливих понять, які зберегли значення і в наші дні.

Пізніше під впливом насамперед астрономічних і геодезичних спостережень інтерес до помилок вимірювань значно зріс. Знаменитий астроном-спостерігач Тихо Браге (1546-1601) звернув увагу на те, що кожне окреме вимірювання несе в собі можливу помилку і точність вимірювань значно підвищується, якщо зробити кілька вимірів і взяти з них середнє арифметичне.

Здавалося б, від І. Кеплера (1571-1630), який зробив так багато для формування законів руху планет, слід було чекати підвищеної уваги до методів обробки результатів спостережень. Але ці питання фактично залишилися в стороні від його інтересів, і він помітив тільки те, що хороший спостерігач проводить вимірювання з помилками обмеженою величини.

Перші спроби побудувати математичну теорію помилок вимірів належать Р. Котс (1682-1716), Т. Сімпсону (1710-1761) і Д. Бернуллі (1700-1782).

Пізніше теорія помилок вимірів привернула увагу практично всіх відомих фахівців у галузі теорії ймовірностей. Вона зробила серйозний вплив на постановку завдань і розробку методів математичної статистики.

13. Формування поняття випадкової величини

Ведення поняття випадкової величини пов'язано з іменами багатьох вчених, які хоч і не використовували цього терміна, але фактично досліджували окремі його властивості.

Починаючи з Котса, Сімпсона і Н. Бернуллі в 18-му столітті почала розвиватися теорія помилок спостережень, що виникла в першу чергу під впливом астрономії. Помилка виміру залежно від випадку може набувати різних значень. Ця позиція була висловлена ​​Галілеєм задовго до робіт згаданих учених. Він же ввів в ужиток термін «випадкова» і «систематична помилка» виміру. Друга тісно пов'язана з якістю виготовлення приладу, майстерністю спостерігача, умовами спостереження. Перша ж залежить від численних причин, вплив яких неможливо врахувати і які змінюються від спостереження до спостереження. Тепер ми ясно бачимо, що похибка вимірювання є випадковою величину з якимось невідомим нам розподілом ймовірностей.

Але з поняттям випадкової величини зустрічалися вже Я. Бернуллі, Н. Бернуллі, Монмор, Муавр. Справді, Я. Бернуллі розглянув число появ цікавить його події в незалежних випробуваннях. Для нас тепер це випадкова величина, здатна приймати значення з імовірностями, що задаються формулами Бернуллі. Н. Бернуллі, Монмор і Муавр, досліджуючи завдання про розорення гравця, також мали справу з випадковою величиною: числом партій, які необхідні для руйнування. Муавр пішов ще далі, він ввів в розгляд нормальний розподіл ймовірностей. Однак ніхто з перерахованих учених не помітив, що в науку владно постукала необхідність введення нового поняття випадкової величини.

Спочатку вважалося, що можливі значення помилок вимірювань складають арифметичну прогресію з невизначеною, але дуже малої різницею. Потім поступово від цього припущення відмовилися і стали уявляти собі, що можливі значення, що приймаються помилками спостережень, заповнюють цілий відрізок, імовірності можливих значень визначалися за допомогою щільності розподілу. І якщо Д. Бернуллі щодо щільності розподілу ймовірностей допускав ще певні вольності, то у Лапласа, Гаусса, Лежандра з щільністю розподілу вже було все в порядку. Це була невід'ємна функція, інтеграл якого по всій прямий дорівнює 1, а ймовірність попадання в той чи інший відрізок дорівнював інтегралу від щільності, взятому з цього відрізку. Лапласу вже була відома формула для розвідки щільності розподілу суми по плотностям розподілу доданків. У книзі «Аналітична теорія ймовірностей" Лаплас вміло оперує з плотностями розподілу, ставить і вирішує ряд цікавих завдань, але ніде не вводить поняття випадкової величини. Він або використовує мову теорії помилок вимірювань, або мову математичного аналізу і не відчуває потреби в новому понятті теорії ймовірностей.

Перша половина 19-го століття принесла нові завдання, які потребують понятті випадкової величини. Перш за все, це дослідження бельгійського натураліста А. Кетле (1796-1874), помітив, що розміри органів тварин певного віку підкоряються нормальному розподілу. Вивчення ухилень снаряда від цілі стало предметом дослідження багатьох вчених, вони також прийшли до висновку про нормальний розподіл цієї величини.

Численні дослідження багатьох великих математиків підготували грунт для введення поняття випадкової величини. Мабуть, перший крок був зроблений Пуассоном в мемуарах 1832 «Про ймовірність середніх результатів спостережень». Терміна випадкова величина у Пуассона ще немає, але він пише про «деякої речі», яка здатна прийняти значення відповідно з імовірностями . Він розглянув також безперервні випадкові величини та їх щільності розподілу.

Отже, Пуассоном було зроблено важливий крок у науці, він ввів у науковий обіг нове поняття - випадкову величину. Його початковий термін «річ» не прижився і незабаром перестав вживатися. Чебишев в своїх мемуарах з теорії ймовірностей вже використовує термін «величина» і автоматично вважає всі випадкові величини, з якими має справу, незалежними. У роботі ж Ляпунова з теорії ймовірностей систематично використовується термін «випадкова величина» і всюди, де це необхідно, обмовляється, що автор має справу з незалежними випадковими величинами.

Визначення випадкової величини, дане Пуассоном, тепер вже не може вважатися математичним. Це скоріше опис реального об'єкта вивчення, звернення до інтуїції, отриманої в результаті наукового і життєвого досвіду. Навіть нескладний логічний аналіз цього визначення показує, що з нього зовсім не дотримуються правила для дій над випадковими величинами. Для того, щоб випадкова величина набула статусу повноцінного математичного поняття, їй необхідно дати строго формалізоване визначення. Це було зроблено в кінці 20-х років А.Н. Колмогоровим в невеликій статті, присвяченій аксіоматиці теорії ймовірностей, а потім у подробицях викладено у його знаменитій книзі «Основні поняття теорії ймовірностей". Підхід Колмогорова став тепер загальноприйнятим, оскільки він повноцінно включив теорію ймовірностей в загальний стиль сучасного викладу, прийнятий у математиці.

14. Закон великих чисел

Знаменита теорема Я. Бернуллі про зближення при збільшенні числа спостережень ймовірності події з частотою його появи отримала перше узагальнення лише в 1837 р. в роботі Пуассона «Дослідження про ймовірності у вирішенні судових справ кримінальних і цивільних». Саме в цьому мемуарах він ввів термін «закон великих чисел». Але його результати не внесли в теорію ймовірностей істотного прогресу, оскільки в ідейному плані вони не виходили за межі концепції Я. Бернуллі. Істотне зрушення в цьому напрямку пов'язаний з роботою Чебишева «Про середніх величинах» (1867). У цій роботі він перейшов від розгляду випадкових подій до випадкових величин. Теорема Чебишева тепер викладається в усіх підручниках теорії ймовірностей. Вона неодноразово пізніше служила джерелом узагальнень.

У 1909 р. Е. Борель для показав, що в разі схеми Бернуллі має місце більш сильне пропозицію, ніж закон великих чисел. Саме, він довів, а в 1917 р. цю пропозицію на довільне поширив італійський математик Кантелло, що .

Це пропозиція отримала найменування посиленого закону великих чисел. Широке узагальнення посиленого закону великих чисел було дано Колмогоровим в роботі 1930 р., а також в 1934 р. в його монографії «Основні поняття теорії ймовірностей".

У 1935 р. Хинчин ввів нове поняття відносної стійкості сум, яке повинно було дати максимально загальну форму закону великих чисел для позитивних випадкових величин. Нехай послідовність невід'ємних випадкових величин. Про суми кажуть, що вони відносно стійкі, якщо можна знайти такі позитивні константи , Що при виконано співвідношення .

У разі однаково розподілених величин Хинчин вдалося знайти необхідну і достатню умову для відносної стійкості сум . Учень Хинчина А.А. Бобров поширив цей результат на випадок разнораспределенних доданків.

Істотне розширення проблематики, пов'язаної з законом великих чисел, було здійснено В.І. Глівенко в роботах, що відносяться до 1929-1933 рр.., Коли він почав розглядати граничні теореми для випадкових величин зі значеннями в функціональних просторах. Вершиною його результатів є чудова теорема про збіжність емпіричних розподілів до істинної функції розподілу спостережуваної випадкової величини. Теорема Глівенко, відразу ж після її опублікування, була названа Кантелло основною теоремою математичної статистики.

15. Центральна гранична теорема

Теорема Муавра про збіжність розподілів центрованого і нормованого числа появ події в незалежних випробуваннях, в кожному з яких подія може наступити з однією і тією ж імовірністю , До нормального розподілу довгий час служила зразком для подальших узагальнень. Перше узагальнення належить Лапласу і вже формулюється як гранична теорема для сум незалежних випадкових величин , Кожна з яких рівномірно розподілена на відрізку . Лаплас розглядав дискретні випадкові величини зі зростаючою кількістю можливих значень. Цим самим давалася апроксимація безперервного розподілу дискретним.

Істотне просування досліджень з граничною теоремою пов'язано з ім'ям Пуассона. Він розглянув схему послідовності незалежних випробувань з різними імовірностями появи події в кожному з випробувань. Пуассон довів для цього випадку локальну теорему. тут же він дав помилкове узагальнення цієї теореми на суми довільних незалежних випадкових величин, що мають кінцеві дисперсії, за умови їх центрування сумами математичних очікувань і нормування квадратним коренем з суми дисперсій доданків.

Інтерес до нормального розподілу на початку 19-го століття зріс у зв'язку з появою знаменитих досліджень Лежандра і Гауса за формулюванням та обгрунтуванню методу найменших квадратів.

Другий поштовх, який викликав додатковий інтерес до граничних теорем теорії ймовірностей, була статистична фізика, початки якої були побудовані в середині 19-го століття. Перший спільний результат в цьому напрямку був сформульований в 1887 р. Чебишевим. Для доказу цієї пропозиції Чебишевим був розроблений досить сильний метод, який отримав назву методу моментів і є одним з найбільших досягнень науки того часу. Однак, у формулюванні теореми і її доказі був допущений ряд промахів, які відразу ж взявся виправляти учень Чебишева А.А. Марков. Їм була строго доведена кілька виправлена ​​теорема Чебишова. Ляпунов протягом 1900-1901 рр.. узагальнив отримані результати.

Спільність результатів Ляпунова справила величезне враження на сучасників. Саме в ту пору з'явився термін «центральна гранична теорема» для позначення умовної збіжності функцій розподілу нормованих і центрованих математичними очікуваннями сум до нормального розподілу.

Багато вчених займалися і досягли певних результатів при вивченні центральної граничної теореми: Ліндеберга (1922), Феллер (1934), Бернштейн (1927), Хинчин і Леві (1935) ...

Дослідження питання збіжності функції розподілу до нормального закону не скінчилися і в наші дні.

16. Загальні граничні розподілу для сум

Природне запитання про те, які розподілу можливі як граничних для сум незалежних випадкових величин за умови, що вони приблизно однакові за величиною, виник лише у двадцяті-тридцяті роки 20-го століття. Це питання детально досліджували Колмогоров, Гнеденко, Леві, Хинчин.

17. Формування понять математичного сподівання і дисперсії

Поняття математичного очікування в початкових його елементах було введено в теорію ймовірностей дуже рано: вперше воно з'явилося в листуванні Паскаля і Ферма. У більш явній формі воно було введено Гюйгенсом. Але в ту пору цьому терміну надавався сенс очікування тієї середньої ціни, яку можна дати за придбання випадкової величини, що дає виграш з імовірністю .

Для 18-го століття звернення до математичного сподівання було не характерним. Вся увага приваблювало поняття ймовірності випадкової події. У знаменитій книзі Лапласа «Аналітична теорія ймовірностей" немає визначення математичного очікування і тим більше правил дії з ними. Можливо, це пов'язано з тим, що Лаплас не розглядав і поняття випадкової величини, замість цього він вивчав помилки спостережень, щільності їх розподілів і навіть вивів, і використовував формулу для щільності суми двох незалежних помилок.

Здавалося б, створення і розвиток теорії помилок спостережень мало стимулювати вивчення числових характеристик випадкових величин. Однак цього не сталося. Втім, для нормального розподілу були введені поняття істинного значення та точності спостережень; було відомо, як їх обчислювати за щільністю розподілу. Таким чином, для цього окремого випадку вже була відома формула для обчислення математичного сподівання і дисперсії.

На початку 19-го століття нормальний розподіл затьмарило собою всі інші, оскільки з ним зіткнулися в теорії помилок спостережень і, здавалося, довели в роботах Гаусса і Лежандра, що розподіл помилок спостережень має бути нормальним. Решта розподілу втратили інтерес, про них просто не думали. Безсумнівно, у зв'язку з цим ніхто не думав про доведення теорем щодо математичних сподівань і дисперсій, оскільки для нормального розподілу вже було все відомо. Зауважимо, що в книзі Чебишева «Досвід елементарного аналізу теорії ймовірностей» поняття випадкової величини, математичного сподівання і дисперсії навіть не згадуються. Однак у курсі лекцій з теорії ймовірностей, які систематично він читав у Петербурзькому університеті, Чебишев говорить про величини (маючи на увазі випадкові величини), їх математичному очікуванні і дисперсії. Більше того, в цих лекціях було сказано, що «воно (поняття математичного очікування) має більше значення на практиці, ніж сама вірогідність, тому що на підставі її у нас складається думка про те, що ми можемо очікувати перед появою відомого події».

У цих лекціях є доказ і формулювання теорем про математичне сподівання і дисперсії суми випадкових величин. Там же він навів і виведення свого знаменитого нерівності. При цьому він припускав як щось самоочевидне, що мова йде про незалежних величинах.

Тільки в підручнику «Обчислення ймовірностей" (1913-1924) строго доводяться і теорема про математичне сподівання твори і про математичне сподівання суми зі спеціальним згадкою про те, що вона вірна не тільки для незалежних величин.

Поняття випадкового процесу належить минулому століттю і пов'язано з іменами Колмогорова, Хинчина, Слуцького, Вінера (1894-1965). Це поняття в наші дні є одним з центральних не тільки в теорії ймовірностей, але також в природознавстві, інженерній справі, економіці, організації виробництва, теорії зв'язку. Теорія випадкових процесів належить до категорії найбільш швидко розвиваються математичних дисциплін. Безсумнівно, що ця обставина значною мірою визначається її глибокими зв'язками з практикою.

Двадцятого століття не міг задовольнитися тим ідейним спадщиною, яку було отримано ним від минулого. У той час, як фізика, інженера, біолога цікавив процес, тобто зміна досліджуваного явища в часі, теорія ймовірностей пропонувала їм як математичного апарату лише кошти, які вивчали стаціонарні стани. Для дослідження зміни в часі теорія ймовірностей кінця 19-го початку 20-го століття не мала ні розроблених приватних схем, ні тим більш загальних прийомів. Вивчення броунівського руху в фізиці підвело математику до порога створення теорії випадкових процесів. У дослідженнях датського вченого А.К. Ерланга була розпочата нова важлива область пошуків, пов'язана з вивченням завантаження телефонних мереж. Число абонентів змінюється в часі випадково, а тривалості кожної розмови володіє великою індивідуальністю. І ось в цих умовах подвійної випадковості слід проводити розрахунок пропускної здатності телефонних мереж, комутаційної апаратури і керуючих зв'язком систем. Роботи Ерланга мали значний вплив не тільки на рішення суто телефонних завдань, а й на формування елементів теорії випадкових процесів, зокрема, процесів загибелі і розмноження.

У другому десятилітті двадцятого століття почалися дослідження динаміки біологічних популяцій. Італійський математик Віто Вольтера розробив математичну теорію цього процесу на базі чисто детерміністських міркувань. Пізніше ряд біологів та математиків розвивали його ідеї вже на основі стохастичних уявлень. Спочатку і в цій теорії застосовувалися виключно ідеї процесів загибелі і розмноження.

Теорія броунівського руху, яка виходить із теоретико-імовірнісних передумов, була розроблена в 1905 р. двома відомими фізиками М. Смолуховським (1872-1917) і А. Ейнштейном (1879-1955). Пізніше висловлені ними ідеї використовувалися неодноразово як при вивченні фізичних явищ, так і в різних інженерних задачах.

Спроба вивчення засобами теорії ймовірностей явища дифузії була зроблена в 1914 р. двома відомими фізиками Н. Планком (1858-1947) і Фоккер.

Ми повинні згадати ще про дві важливі групах досліджень, розпочатих в різний час і з різних приводів. По-перше, це роботи А.А. Маркова (1856-1922) з вивчення ланцюгових залежностей. По-друге, роботах Е.Е. Слуцького (1880-1948) з теорії випадкових функцій. Обидва ці напрями грали дуже істотну роль у формуванні загальної теорії випадкових процесів.

У 1931 р. була опублікована велика стаття Колмогорова «Про аналітичних методах в теорії ймовірностей», а через три роки робота Хинчина «Теорія кореляції стаціонарних стохастичних процесів», які слід вважати початком побудови загальної теорії випадкових процесів. У першій з цих робіт були закладені основи теорії марковських процесів, а в другій - основи стаціонарних процесів. Вони були джерелом величезного числа подальших досліджень.

Обидві згадані основоположні роботи містять не тільки математичні результати, але й глибокий філософський аналіз причин, які послужили вихідним пунктом для побудови основ теорії випадкових процесів.

Але не общефилософское зміст є основною перевагою роботи Колмогорова. У ній були закладені основи теорії випадкових процесів без післядії і отримані диференціальні рівняння (прямі і зворотні), які керують ймовірностями переходу. У цій же роботі був даний начерк теорії стрибкоподібних процесів без післядії, докладний розвиток якої пізніше було дано Феллером і Дубровським.

Побудова іншого класу випадкових процесів на базі фізичних завдань було здійснено Хінчіним. Він ввів поняття стаціонарного процесу в широкому і вузькому сенсі і отримав знамениту формулу для коефіцієнта автокореляцій. Ця робота послужила підставою для подальших досліджень Крамера, Вальда, Колмогорова і багатьох інших учених.

Висновок

В історії кожної науки постійно доводиться стикатися з такими ситуаціями, коли ця наука ще не створена, а дослідники розглядають окремі завдання, що належать до її компетенції. З таким же положенням ми зіштовхуємося і в теорії випадкових процесів. Цій теорії ще не було, не було і властивих їй понять, не було навіть ідеї розгляду зміни випадкової величини в часі, а окремі завдання в цьому напрямку вже вивчалися.

Теорія ймовірностей має багату і повчальну історію. Вона наочно показує як виникали її основні поняття і розвивалися методи із завдань, з якими стикався суспільний прогрес. При цьому ми побачимо, як людство переходило від первинних припущень до більш повного і досконалого знання, як створення теорії ймовірностей дозволяло переходити від строгих детерміністичних уявлень до більш широким стохастичним концепціям, тим самим, відкриваючи нові можливості для глибоких висновків про природу речей.

Теорія ймовірностей продовжує бурхливо розвиватися, в ній з'являються нові напрями досліджень. Ці напрямки становлять значний загальнотеоретичний і прикладний інтерес.