Різницеві схеми для рівнянь параболічного типу
1. Рішення задачі Коші
Розглянемо задачу Коші для рівняння теплопровідності
,
,
, (3.5)
з умовою на прямий t = 0
,
. (3.6)
Потрібно знайти функцію , Яка при
і
задовольняла б рівнянню (3.5), а при
виконувала б умова (3.6).
Будемо вважати, що задача (3.5), (3.6) має у верхній півплощині єдине рішення , Безперервне разом зі своїми похідними
, i = 1, 2 і
, k = 1, 2, 3, 4.
Запишемо задачу (3.5), (3.6) у вигляді . Для цього достатньо покласти
Будемо далі вважати, що t змінюється в межах . У даному випадку
,
Г - Об'єднання прямих t = 0 і t = T.
Виберемо прямокутну сітку і замінимо область сіткової областю
. До області
віднесемо сукупність вузлів
, Де
,
,
,
,
,
,
.
Замінимо завдання різницевої схемою виду
. Позначимо через
точне значення рішення задачі
у вузлі
, А через
- Відповідне наближене рішення. Маємо
Для заміни виразів і
скористаємося формулами чисельного диференціювання. Маємо:
, (3.7)
, (3.8)
, (3.9)
(3.10)
Назвемо деяку сукупність вузлів, що залучаються для заміни завдання у вузлі
, Різницевої схемою
, шаблоном. Найбільш вживані шаблони зображені на рис. 3:
Рис. 3. Явний і неявний шаблони
Розглянемо явний двошаровий шаблон. Для нього
(3.11)
Тут ми скористалися формулами (3.7) і (3.10) і позначили
.
Введемо позначення
(3.12)
Тепер на підставі формул (3.11), (3.12) можна записати різницеву схему для завдання :
, (3.13)
де різницевий оператор визначається за правилом
Аналогічно, якщо використовувати неявний двошаровий шаблон, можна отримати таку різницеву схему:
, (3.14)
де
На підставі формул (3.11) і (3.13) можна записати
,
де
Аналогічно, використовуючи (3.11), (3.10), (3.14), одержимо
,
.
З'ясуємо порядок апроксимації різницевих схем (3.13) і (3.14). Як візьмемо лінійне безліч всіх пар обмежених функцій
.
Норму в визначимо правилом
Нехай , Де r і s - Деякі позитивні числа.
Припустимо, що для і
вірні оцінки
,
.
Тоді легко отримати
, (3.15)
. (3.16)
Для параболічних рівнянь, як ми побачимо далі, у разі схеми (3.13) можна взяти S = 2, а в разі схеми (3.14) можна взяти S = 1.
З формул (3.15), (3.16) випливає, що різницеві схеми (3.13), (3.14) апроксимують завдання з похибкою порядку S щодо h.
Різницева схема (3.13) дозволяє за значеннями рішення на нульовому шарі, тобто за значеннями обчислити значення на першому шарі
. Для цього достатньо в (3.13) покласти n = 0 і зробити обчислення, що носять рекурсіонний характер. Потім за значеннями
можна аналогічно при n = 1 обчислити значення
і т.д. У силу цього різницеву схему (3.13) називають явною.
Різницева схема (3.14) такими властивостями не володіє. Дійсно, якщо ми в (3.14) покладемо n = 0, то в лівій частині отриманої формули буде лінійна комбінація з значень , У правій частині будуть значення відомої функції
і
. Для обчислення значень на першому шарі
в цьому випадку необхідно вирішувати нескінченну систему лінійних рівнянь. З цієї причини схему (3.14) називають неявною.
2. Стійкість двошарових різницевих схем
Визначимо норму в просторі за правилом
.
Розглянемо явну різницеву схему (3.13). З'ясуємо, при яких значеннях r, можлива стійкість цієї схеми.
Для доказу стійкості треба показати, що різницева схема однозначно розв'язна і при будь-яких
,
має місце оцінка ,
де М - Постійна, яка не залежить від і
і
.
Різницева схема (3.13) - явна, і тому її однозначна розв'язність очевидна.
Перепишемо формулу у вигляді
,
, (3.17)
.
Нехай виконана умова
або
. (3.18)
Тоді з (3.17) отримаємо:
,
або
. (3.19)
Нерівність (3.19) означає, що при ,
не перевершує
, то є
НЕ зростає із збільшенням n.
Це властивість однорідної різницевої схеми прийнято називати принципом максимуму. Покладемо в (3.19) . Це дасть
,
,
.
Зауважимо, що є число, незалежну від m і n. Підсумувавши останні нерівності і, враховуючи, що
, Одержимо
(3.20)
де позначено
На підставі (3.20) можна записати
або
.
Таким чином, різницева схема (3.13) при виконанні умови (3.18), що накладається на і h, стійка. Умова (3.18) досить жорстко, бо з нього випливає, що
. (3.21)
Це призводить до того, що якщо ми бажаємо зберегти стійкість, то при обчисленнях за схемою (3.13) крок за часом доводиться вибирати дуже малим.
Звернемося тепер до різницевої схемою (3.14), що відповідає шаблоном, зображеному на рис. 4,
Рис. 4. Неявний двошаровий шаблон
і перепишемо її у вигляді
(3.22)
Подивимося, які треба виконати обчислення, щоб, використовуючи формули (3.22), можна було вирахувати, наприклад, значення на першому часовому шарі зі значеннями
на нульовому часовому шарі. Поклавши в формулах (3.22) n = 0, отримаємо:
(3.23)
Формули (3.23) являють собою нескінченну систему лінійних рівнянь щодо невідомих .
Рішення таких систем є складною і трудомісткою завданням, тому різницеві схеми (3.14) незручні для задач Коші на нескінченних відрізках і застосовується рідко. Однак якщо відрізок осі x, на якому розглядається задача Коші, кінцевий, тобто , А на прямих x = a і x = b додатково задані деякі обмеження на рішення
, То різницеві схеми виду (3.14) виявляються досить ефективними. Зокрема, можна показати, що такі схеми є абсолютно стійкими, тобто стійкими при будь-яких значеннях
.
Якщо, наприклад, на відрізках прямих x = a і x = b, задані умови ,
, То вид системи (3.23) істотно зміниться:
(3.24)
Формули (3.24) являють собою систему M + 1 алгебраїчних рівнянь щодо . Матриця цієї системи трехдіагональна і її можна вирішити методом прогонки. Звідси зрозуміло, що реалізація неявних різницевих схем вимагає великих обчислювальних витрат для обчислення рішення на одному часовому шарі, але таких шарів може бути трохи через те, що в цьому випадку відсутні обмеження на співвідношення
. Якщо користуватися явної різницевої схемою, то обчислення рішення на наступному шарі здійснюється за рекурсіонному правилом і пов'язано з мінімальними обчислювальними витратами, проте через обмеження
кількість тимчасових шарів у випадку явних схем може бути істотно великим в порівнянні з числом тимчасових шарів для неявних схем.
Розглянемо тепер питання про збіжність схеми (3.13). Ця схема апроксимує задачу (3.5), (3.6) з похибкою порядку і стійка при
. Тому схема (3.13), по теоремі про апроксимації та стійкості, буде сходящейся. При цьому похибка для наближеного рішення буде величиною порядку
.