Крайові задачі і різницеві схеми

-1

6

-18

10

3

-3

3

-16

36

-48

25

12

-137

300

-300

200

-75

12

-10

-12

-65

120

-60

20

-3

2

3

-30

-20

60

-15

2

-1

-2

15

-60

20

30

-3

1

3

-20

60

-120

65

12

-2

-12

75

-200

300

-300

137

10

-147

360

-450

400

-225

72

-10

60

-10

-77

150

-100

50

-15

2

-10

2

-24

-35

80

-30

8

-1

4

-1

9

-45

0

45

-9

1

-3

1

-8

30

-80

35

24

-2

4

-2

15

-50

100

-150

77

10

-10

10

-72

225

-400

450

-360

147

60

1

-2

1

-12, 2

1

-2

1

0, -1

1

-2

1

12, -2

2

-5

4

-1

55, -6

1

-2

1

0

-5, -2

П'ятиточкова апроксимація другої похідної

Шести точкова апроксимація другої похідної

Семи точкова апроксимація другої похідної

Наприклад, похідна першого порядку в точках m = 0, 3, 5 для семи точкової апроксимації матиме вигляд:

,

.

Аналогічно виписуються вираження і для других похідних в точках 0 і 2:

Таким чином, з наведених таблиць можна вибрати апроксимуючі вирази для похідної у цій точці, що включають значення функції в точках потрібного оточення.

4. Крайові задачі для рівнянь другого порядку

При математичному описі реальних фізичних об'єктів найчастіше доводиться мати справу з диференціальними рівняннями в звичайних або приватних похідних другого порядку з початковими, крайовими або граничними умовами.

Перетворення їх у кінцево-різницеву систему алгебраїчних рівнянь здійснюється аналогічно: для кожної точки в області (інтервалі) інтегрування, де не задано крайове або граничне значення шуканої функції, записується вихідне рівняння, в якому всі похідні виражені через заздалегідь визначене число прилеглих ординат шуканої функції, належать області, і обчислені всі коефіцієнти і функції незалежних змінних в цій точці. До отриманих таким чином рівнянь додаються співвідношення або значення функції та її похідних в точках межі області. В результаті буде сформована алгебраїчна система рівнянь з числом рівнянь і невідомих, рівному загальної кількості точок області інтегрування.

У процесі формування рівнянь особливу увагу необхідно звертати на заміну похідних кінцево-різницевими еквівалентами в прикордонних точках. У виразах останніх мають бути відсутні невідомі значення функції в точках, розташованих поза області інтегрування. Це досягається багаторазовим застосуванням оператора зсуву до відповідного кінцево-різницевого оператора.

Якщо в центральних точках точність апроксимації похідних з n точками задовольняє поставленим вимогам і цю точність бажано зберегти і в прикордонних точках заданих областей, то для останніх вибирають апроксимуючі формули, побудовані для (n +1) - й точки або більше.

Розглянемо приклади апроксимації диференціальних рівнянь з крайовими умовами кінцево-різницевої системою алгебраїчних рівнянь. Ці апроксимації в літературі отримали назву "різницеві схеми". Нижче в чотирьох таблицях наведено чотири варіанти кінцево-різницевої апроксимації однієї і тієї ж крайової задачі, для якої відомо точне рішення. Вид рівняння, умови на межі інтервалу, рішення аналітичне та обчислене в заданих точках з 12 значущими цифрами наведені в правій крайній колонці першої таблиці. У лівих колонках першою і в трьох інших таблицях записані системи алгебраїчних рівнянь, отриманих застосуванням трьох-, п'яти-, п'яти-шести-і семи точкової апроксимації другої похідної в заданому рівнянні. Праворуч від рівнянь наведені рішення алгебраїчних рівнянь теж з 12-ю значущими цифрами.

У цьому завданні весь інтервал інтегрування [0,1] був розбитий на 10 рівних частин з кроком h = 0.1. З одинадцяти точок у двох крайніх шукана функція x (t) була задана, тому рівняння записувалися для дев'яти внутрішніх точок, в яких значення функції потрібно знайти.

5. Різницеві схеми для рівнянь в приватних похідних

Звичайно-різницева апроксимація диференціальних рівнянь в приватних похідних, звана в літературі методом сіток, використовує ті ж кінцево-різницеві вирази похідних через значення шуканої функції, які наведені в таблицях вище. Однак є особливості, які пов'язані з наявністю у кожної розглянутої точки сусідніх точок не тільки за напрямками осей незалежних змінних, але і в безлічі інших похилих напрямів.

Тому, у разі використання багатоточкових (більше трьох точок) формул для похідних, вирази останніх можуть розроблятися додатково для кожного застосування.

Найбільш зручним у розробці багатоточкових кінцево-різницевих виразів для рівнянь в приватних похідних є операторний метод, заснований на обліку взаємозв'язку оператора диференціювання з операторами зсуву за напрямами різних незалежних змінних. Розглянемо його застосування на прикладі побудови різницевих формул для двовимірних рівнянь в приватних похідних другого порядку.

Характерним представником рівнянь в приватних похідних другого порядку є рівняння Лапласа:

,

де - Безперервна функція, задана на кордоні області.

Область чисельного рішення рівняння розіб'ємо на клітини системою вертикальних і горизонтальних прямих, що проходять через рівномірно розташовані з кроком h точки на осях координат відповідно x і y:

Значення функції у вузлах сітки позначимо через і для кожної точки області рішень приватні похідні з рівняння замінимо відповідним (наприклад, трьох точковим) симетричним кінцево-різницевим виразом для внутрішніх точок і для точок поблизу кордонів таким несиметричним, щоб значення функцій не виходили за межі області:

Після підстановки в рівняння Лапласа цих виразів для кожної внутрішньої точки області буде отримана система алгебраїчних рівнянь такого вигляду:

Як приклад, який демонструє застосування методу сіток, наведемо рішення рівняння Лапласа для прямокутної області з кількістю вузлів і значеннями функції на кордоні, як показано нижче:

Рівняння для 25 внутрішніх точок u (i, k):

Результат вирішення системи з 25 рівнянь представлений у таблиці:

Слід зазначити, що в трьох точковому поданні кінцево-різницеві вирази похідних другого порядку для внутрішніх та прикордонних точок збігаються. Це дозволяє для прямокутних областей, замінивши двовимірну індексацію невідомих одномірної

,

перетворити систему рівнянь у векторно-матричну форму запису з блочно-діагональною матрицею коефіцієнтів, яка зручна для вирішення алгебраїчних рівнянь з числом невідомих більш 100 на векторних обчислювальних машинах:

,

, , I

- Матриці, відповідно, блокова, коефіцієнтів і одинична;

, , ,

, ,

- Відповідно, вектори невідомих і правих частин рівняння зі своїми блоковими компонентами.

У кінцево-різницевої поданні рівняння Лапласа кожне рівняння є для відповідної точки області формулою обчислення середнього арифметичного сукупності значень функції в сусідніх точках:

.

Похибка кінцево-різницевого подання рівняння Лапласа у вигляді системи алгебраїчних рівнянь визначається похибкою апроксимації похідних, яка для трьох точкового варіанту, приведеного вище, пропорційна кроку сітки.

Природно бажання підвищити точність апроксимації лапласіан, додавши в структуру його кінцево-різницевого подання значення функції в додаткових точках при збереженні підсумовування значень з навколишніх точок.

6. Підвищення точності різницевих схем

Оператор зсуву, що перетворить значення функції в точці z в значення функції в точці z + h виражається через оператор похідної , Як , А його застосування представляється виразом:

Позначивши операторні вирази для зсуву значень функції по осях x, y відповідно

нескладно записати з їх допомогою наступні операторні вирази:

У фрагменті сітки, зображеної у вигляді таблиці , Для кожної представленої індексом точки записано значення функції, виражене через значення функції у центральній точці, перетворене відповідними операторами зсуву:

Обчислимо суми значень функцій, симетрично розташованих навколо центральної точки:

Подібними перетвореннями операторних виразів можна отримати формули для таких сум:

і будь-яких інших.

Включаючи вирази для часткових сум в єдину суму з різними ваговими коефіцієнтами, нехтуючи висловлюваннями з похідними і лапласіанамі високих порядків, отримують кінцево-різницеві формули, апроксимуючі рівняння Лапласа в заданій точці і містять більше число значень шуканої функції.

Наприклад, з виразу для безпосередньо випливає

що, після зневаги доданками в правій частині, повністю відповідає трьох точкової різницевої апроксимації приватних похідних. Підсумовуючи і з вагами відповідно 4 і 1, отримаємо апроксимацію похідних за значеннями у восьми точках:

Якщо значення приватних похідних в точках області рішення малі, то радикальним способом збільшення точності апроксимації рівняння є зменшення кроку сітки.

При завданні у правій частині рівняння Лапласа функції g (x, y) остання в наведених кінцево-різницевих сумах повинна замінити на , - На і т.д.:

7. Сіткові методи для нестаціонарних задач

Зменшення величини кроку призводить до квадратичного зростанню числа точок в області рішення, а отже, до порядку алгебраїчної системи рівнянь. Одним із шляхів зменшення числа рівнянь є метод прямих, який дозволяє апроксимувати диференціальне рівняння в приватних похідних системою диференціальних рівнянь в звичайних похідних з крайовими умовами. Для цього приватні похідні по одній з незалежних змінних не замінюють кінцево-різницевим еквівалентом. Якщо в рівнянні залишена просторова змінна, то одержувана система буде крайової завданням з усіма складнощами її вирішення, розглянутими раніше.

Істотним буде виграш лише при вирішенні диференціальних рівнянь в приватних похідних, що описують нестаціонарні процеси. До них відносяться рівняння, подібні рівнянням теплопровідності і хвильовому. Цим рівнянням крім умов на кордоні задають ще й початковий розподіл шуканої функції у всіх точках області рішення.

Застосування методу прямих розглянемо на прикладі рішення рівняння теплопровідності такого вигляду:

,

яке описує поширення тепла (зміна температури) вздовж металевого стержня, ввареннимі своїми кінцями в дві металеві пластини з різними, постійно підтримуються на них температурами. Коефіцієнт B, що характеризує властивості матеріалу, візьмемо рівним 1.

Нехай відстань між пластинами дорівнює одиниці, тобто , Значення температури на пластинах і початковий розподіл температури по довжині .

Розіб'ємо одиничну довжину стержня на 8 рівних частин (h = 1 / 8) і позначимо значення температури в кожній точці через , K = 0,1 ,..., Застосуємо п'яти-та шести точкову апроксимацію приватної похідною другого порядку: першу симетричну - для внутрішніх точок, і другу (несиметричну) - для прикордонних точок . Температури в точках з k = 0 і k = 8 задані: 100 ° і 0 °.

Після заміни похідних кінцево-різницевими еквівалентами отримаємо наступну систему лінійних диференціальних рівнянь з початковими умовами у векторно-матричній формі:

Щоб отримати уявлення про вплив порядку різницевих формул на вид запису і точність виконання завдання, у таблиці наведено системи рівнянь для 5 - і 3-точкових виразів приватних похідних:

Отримані системи звичайних диференціальних рівнянь можна вирішувати будь-яким з розглянутих раніше чисельним методом. Правда, з'являється особливість у виборі кроку інтегрування за часом, який тепер залежить ще й від кроку розбиття області рішення по просторової змінної. У разі апроксимації похідної за часом кінцевими різницями "вперед" співвідношення між кроком з тимчасової змінної і по просторової має підкорятися наступного нерівності: . При недотриманні нерівності рішення буде чисельно нестійким і інтегрування за часом з кожним кроком буде давати необмежено зростаючі значення.

У розглянутому прикладі = 0,015625, тому інтегрування трьох систем за формулами Рунге-Кутта було виконано із кроком по часу = 0,001 до значення 0,01 і з кроком 0,005 - до значення часу, рівного 0,75. Вибірка ряду значень температури з рішень в інтервалі часу (0,0.75] показана в таблиці колонками з трьох чисел, відповідних зверху-вниз трьом наведеним вище системам.

Як видно, трьох точкова апроксимація в порівнянні з ятиточковий дає гірший результат. Точне рішення в сталому режимі дає зміна температури на кожній однієї восьмої довжини стрижня 12,5 ° С. П'ятиточкова апроксимація в даній задачі дала похибка в соті частки відсотка.

Література

1. Калашников В. І. Введення в чисельні методи: Учеб. посібник. - Харків: НТУ "ХПІ", 2002. - 132 с.

2. Рено М.М. АЛГОРИТМИ Чисельні методи: методичний посібник ДЛЯ ВУЗІВ. Вид-во: "Книжковий дім Університет" (КДУ), 2007. - 24с.

3. Самарcкій А. А. Завдання і вправи з чисельних методів. Изд.3 Изд-во: КомКніга, ЛКИ, 2006. - 208с.

4. Самарський А.А. Введення в чисельні методи Навчальний посібник для вузів 3-тє вид., Стер. ЛАНЬ, 2005. - 288с.

5. Турчак Л. І., Плотніков П. В. Основи чисельних методів. Вид-во: Физматлит ®, 2003. - 304с.

6. Тиртишніков Е.Е. МЕТОДИ Чисельний аналіз (1-е вид.) НАВЧАНЬ. ПОСІБНИК Видавництво "Академія / Academia", 2007. - 320с.