Рух в інерціальних системах відліку

8. РУХ В НЕІНЕРЦІАЛЬНИХ СИСТЕМАХ ВІДЛІКУ
1. СИЛА ІНЕРЦІЇ В НЕІНЕРЦІАЛЬНИХ СИСТЕМАХ ВІДЛІКУ, ЩО РУХАЮТЬСЯ ПРЯМОЛІНІЙНО.
Неінерціальною системою відліку (НІСВ) називають систему відліку (СВ), що рухається з прискоренням відносно інерціальної системи відліку (ІСВ).
Одержимо рівняння руху матеріальної точки відносно НІСВ. Рівняння руху – це співвідношення, якими визначаються прискорення матеріальних точок механічної системи в тій СВ, відносно якої розглядається рух.
ІСВ  будемо називати нерухомою СВ, а рух відносно неї – абсолютним. Рух відносно НІСВ  будемо називати відносним. НІСВ  рухається відносно ІСВ  з прискоренням; разом з системою  рухаються і всі тіла, що в ній знаходяться; цей рух називають переносним.
Положення м.т. М в нерухомій СВ  визначається радіусом-вектором  (початок координат СВ  – т. О); в рухомій СВ  положення т. М визначається радіусом-вектором  (початок координат СВ  – т. ).  - це радіус-вектор рухомого початку  відносно нерухомого О.

Як і раніше, час і простір вважаємо абсолютними, оскільки мова іде про повільні рухи (v<<c), тобто відстані і проміжки часу інваріантні по відношенню до переходу від однієї СВ до іншої.
Вектори  в будь-який момент часу пов’язані співвідношенням:
                                            (8.1)
Диференціюємо (8.1) двічі по t:
                                              (8.2)
                                             (8.3)
Обмежимося спочатку розглядом лише поступального руху системи  . В цьому випадку  і  характеризують швидкість і прискорення не лише початку , а й будь-якої точки системи  відносно О, тобто  - це переносні швидкість і прискорення.  при поступальному русі дають відносну швидкість і відносне прискорення.  завжди дають абсолютну швидкість і абсолютне прискорення  т. М:
,                                   (8.4)
,                                    (8.5)
причому .
В ІСВ S рівнянням руху м. т. М є рівняння 2-го закону Ньютона:
                                       (8.6)
Підставимо (8.5) в (8.6):     ; перенесемо член, що містить переносне прискорення, в праву частину:
                               (8.7)
Ми одержали рівняння відносного руху м.т. М. Праву частину (8.7) можна формально вважати якоюсь „силою”, що діє на м. т. М в рухомій СВ. В цьому випадку рівняння руху м. т. в НІСВ за формою співпадає з ІІ законом Ньютона. Права частина (8.7) складається з двох складових.  є рівнодійна звичайних сил (в ньютонівському розумінні сила – це результат взаємодії тіл). Друга складова – ( ) виникає тому, що  рухається з прискоренням . Її називають поступальною силою інерції:
                                         (8.8)
Якщо  не змінюється при переході від однієї СВ до іншої, то  не інваріантна відносно такого переходу. Крім того, сила інерції не підлягає дії закону рівності дії і протидії. Якщо на яке-небудь тіло діє сила інерції, то не існує протидіючої сили, що прикладена до другого тіла.
Сили інерції, подібно силам тяжіння, пропорційні масі тіла. Тому в однорідному полі сил інерції, як і в полі сил тяжіння, всі тіла рухаються з одним і тим же прискоренням, незалежно від їх маси. Знаходячись в кабіні космічного корабля, який рухається поступально з прискоренням , модуль якого дорівнює g, ми виявимо, що всі тіла ведуть себе так, ніби на них діє сила  . Ті ж явища ми спостерігали б, якби корабель нерухомо стояв на Землі. Не „виглядаючи” з кабіни, ми не змогли б встановити, чим зумовлена сила  – прискореним рухом кабіни чи дією гравітаційного поля Землі (чи й обома причинами разом).
Ейнштейн висловив припущення, яке дістало назву принципу еквівалентності сил тяжіння і сил інерції:
Всі фізичні явища в однорідному полі тяжіння відбуваються так само, як і у відповідному однорідному полі сил інерції.
Принцип еквівалентності лежить в основі загальної теорії відносності Ейнштейна.
Отже, в СВ, що рухається поступально з прискоренням , на всі тіла діє сила інерції , що дорівнює добутку маси тіла на прискорення СВ, взяте з протилежним знаком.

Рівняння руху м.т. в такій НІСВ має вид:
                                      (8.9)

2. НІСВ, ЩО РІВНОМІРНО ОБЕРТАЄТЬСЯ.

Розглянемо тепер НІСВ , яка рівномірно обертається навколо вісі, що проходить через т. О′ з кутовою швидкістю . Для спрощення вважатимемо , звідки .
Рівняння (8.2) і (8.3) матимуть вид: ,  .
Обчислимо похідні .
Якщо x′, y′, z′ координати т. М в , то:
                                  (8.10)
.
Перший доданок - це відносна швидкість м. т. М:
                            (8.11)
Другий доданок перетворимо, використавши відоме співвідношення ,  або    :
 ,   , 
Таким чином:
                                          (8.12)
Отже:
,                                         (8.13)
де   .
Диференціюємо  (8.13)  по t:
; оскільки , то .
При знаходженні  скористаємося тими ж міркуваннями, що і при знаходженні :
 (використано вираз (8.12)).
Нарешті:
                        (8.14)
В (14) останній доданок
                                      (8.15)
є переносним прискоренням; таке прискорення зазнає нерухома точка в CВ, що обертається.
Доданок                             (8.16)
залежить як від відносного так і від переносного руху точки.
Це прискорення дістало назву коріолісового прискорення.
Отже:
                               (8.17)
Абсолютне прискорення є векторною сумою відносного, коріолісового та переносного прискорень.
Це твердження називають  теоремою Коріоліса.
Обчислимо переносне прискорення. Розкладемо вектор  на дві складові:  і  - перпендикулярну і паралельну вісі обертання.

 тому
За властивістю подвійного векторного добутку:
,        (8.18)
оскільки
Очевидно  в даному випадку ( і ) є доцентровим прискоренням.
Підставимо тепер в (8.6)  (8.17)  і врахуємо (8.16) і (8.18):
;

;
                    (8.19)
До „справжніх” сил додалися дві сили інерції:
коріолісова сила :                        (8.20)
і відцентрова сила :                           (8.21)
Коріолісова сила інерції виникає тільки тоді, коли CВ обертається, а м.т. М рухається відносно цієї системи.  При  і .
, тому під час відносного руху вона роботи не виконує;  змінює    тільки за напрямком .
Якщо система відліку   , крім обертового руху, здійснює ще й поступальний, то  і  В цьому випадку переносна швидкість і переносне прискорення визначаться співвідношеннями :

  ,
а рівняння відносного руху м.т. в НІСВ має вид:
               (8.22)