Постулати квантової механіки

Кожен з постулатів квантової механіки, звичайно, можна сформулювати у вигляді лаконічного математичного твердження, але, як будь-яке вихідне припущення, будь-який з них побудований на цілій сукупності понять і образів, які, у свою чергу, вимагають докладного роз'яснення.
2.1. Постулат 1. Хвильова функція.
2.1.1. Будь-яке фізичний стан квантово-механічної системи зображується хвильової функцією . Її аргументами є всі координати всіх частинок системи і час.
2.1.2. Сукупність усіх просторових змінних всіх частинок називається конфігураційним простором системи K. Так, для n частинок
Конфігураційний простір має наочний геометричний образ тільки для систем, що містять не більше однієї частинки. У решті випадків - це абстрактне поняття. Кожна змінна задана в межах своєї області визначення, яка залежить від характеру цієї змінної. Дуже часто використовують не декартові, а полярні, або інші, координати.
2.1.3. Математичні властивості хвильової функції визначаються її призначенням. Будучи функцією стану, вона повинна бути:
однозначна
нерозривна
кінцева.
Цими властивостями володіють так звані регулярні функції. Пояснимо графічно зміст цих функцій, для чого представимо властивості, неприпустимі для регулярної функції.
a <х <b
На цьому інтервалі Функція розривна Функція необмежена
функція неоднозначна при х = а зростає при х => а
Рис. 1. Функції, які за своїми властивостями не можуть бути використані в якості хвильових функцій стану квантово-механічної системи.
2.1.4. Далі постане проблема зіставлення фізичних параметрів для станів як однієї системи, так і станів різних систем. Для цього буде потрібно стандартизація хвильових функцій, а, отже, їх чисельна калібрування. Це досягається введенням умови нормування хвильової функції. Воно має витоки в векторної алгебри та в теорії ймовірностей.
Норма - це одна з назв довжини вектора в алгебрі. Нормований вектор має одиничну норму, тобто його скалярний твір самого на себе дорівнює одиниці:
або , (2)
де | а | - модуль вектора. Будь-який вектор довільної довжини b можна нормувати, множачи на нормировочной множник
, (2.1)
в результаті отримаємо нормований вектор а, що відповідає умові нормування (2.1).
Хвильова функція, що розглядається як абстрактний вектор стану, повинна бути нормована, тобто її скалярний твір самій на себе дорівнює 1:

Еквівалентна запис умови нормування має вигляд
(2.2)
2.1.5. Поняттю хвильової функції до цих пір ми не надавали конкретного фізичного змісту, приймаючи її просто як абстрактний образ стану. Фізичне тлумачення хвильової функції запропонував Макс Борн. Згідно Борну, величину слід розглядати як ймовірність перебування системи, що перебуває в стані , В елементі об'єму конфігураційного простору , Який охоплює точку цього простору з координатами , Тобто
,
де
І в такому випадку умова нормування набуває ясний імовірнісний зміст, а саме, формула
(2.3)
виявляється просто умовою достовірності існування системи у конфігураційному просторі, якщо вона знаходиться в стані . Квадрат модуля хвильової функції набуває сенсу щільності ймовірності. Таким чином, хвильові функції повинні бути
однозначними
безперервними
кінцевими
нормованими.
2.1.6. З формули нормування (2.3) слід розмірність хвильової функції стаціонарної системи в розглянутій задачі, а саме:
,
де розмірність обсягу конфігураційного простору дорівнює добутку розмірностей всіх просторових змінних, що утворюють його:

2.1.7. Вище йшлося про ортогональні наборах власних функцій ермітових операторів. Накладаючи на кожну з них умова нормування, приходимо до надзвичайно зручним ортонормированном розділами функцій, наприклад:
,
де
Ці дві якості можна об'єднати в одну умову:
(2.4)
де - Символ Кронекера, який може приймати два значення:
при і при .
Читач, мабуть, здогадався, що в нашому розпорядженні з'явився потужний апарат, подібний векторному.
2.2. Постулат 2. Оператори динамічних змінних
2.2.1. Можливі значення фізично спостережуваних величин є власними значеннями операторних рівнянь виду

Кожній динамічної змінної ставиться у відповідність свій лінійний самосполучення оператор.
2.2.2. Найважливішими динамічними характеристиками однієї частинки є:
- Радіус-вектор , Де координати можуть бути:
декартовими або полярними ( - Кути, а - Довжина вектора);
- Вектор імпульсу і його координати - проекції ;
- Вектор моменту імпульсу , Що є векторним добутком радіуса-вектора на імпульс
(2.5)
і, відповідно, його проекції рівні
(2.6)
(2.7)
(2.8
- Кінетична енергія Т, скалярна величина, яка в поступальному русі пов'язана і з масою та імпульсом
;
для одновимірного обертання навколо осі (наприклад, z) справедлива така ж формула, де маса замінена моментом інерції I _z, а імпульс - його моментом :

- Потенційна енергія, тобто скалярний силове поле, що задається функціонально-їй координат , В якому рухається частка;
- Повна енергія Е, що дорівнює сумі кінетичної і потенційної енергій
2.2.3. З урахуванням загальних вимог, що пред'являються до операторів квінтове механіки, постулюється найпростіші оператори, а саме: оператори координат, що визначають положення частки, і імпульсу її,
- Оператор координати збігається з множенням на саму координату q, тобто: , Або кут ,
або, в загальному вигляді ;
- Оператор імпульсу має диференційну форму
(2.9)
де постійна Планка Дж · с, і оператори координат імпульсу відповідно рівні:
, , (2.10)
Введення в оператор, уявної одиниці перетворює його в самосполучення тобто відповідає умові (1.5).
2.2.4. Інші оператори будуються за формулами класичної механіки, де замість координат і імпульсів використовуються їх оператори, Це твердження можна вважати наслідком макроскопічного пристрою приладів за законами класичної фізики. Побудуємо оператори і для однієї частинки:
- Оператори моменту імпульсу і його проекцій:
, (2.11)
, (2.12)
, (2.13)
(2.14)
У полярних координатах (наприклад, сферичних) відповідні похідні декартових координат слід замінити їх виразами через полярні змінні ;
- Оператор кінетичної енергії в декартових координатах:
(2.15)
Переходячи до полярних координатах, лапласиан перетворять до них. Для випадку обертання по поверхні без радіальної компоненти руху, як це має місце при обертанні двоатомної молекули навколо центру мас, можна записати:
(2.16)
оператор потенційної енергії, подібно координаті, дається просто множенням на функцію потенційної енергії, тобто
, Або (2.17)
оператор повної енергії називають гамильтонианом, на честь англійського вченого Гамільтона, який залишив фундаментальні праці в механіці, астрономії та математики, і позначають його
(2.18)
2.3. Постулат 3. Рівняння Шредінгера
2.3.1. Еволюція системи визначається, з одного боку, її миттєвим станом і, отже, хвильової функцією. З іншого боку, зміна стану в часі залежить від "швидкості" еволюції, тобто від похідної хвильової функції за часом. Разом з тим така зміна пов'язана з яким-небудь взаємодією з оточуючими систему об'єктами і, отже, з обміном енергією. Це означає, що при описі еволюції необхідно пов'язати саму хвильову функцію, її похідну за часом і гамільтоніан, в загальному випадку залежить від координат і часу.
2.3.2. Такий зв'язок вводиться у вигляді временнớго рівняння Шредінгера, яке є одним з постулатів квантової механіки та записується у формі:
(2.19)
Можливі функції стану системи задовольняють рівнянню (2.19)
2.3.3. У тому випадку, коли гамільтоніан Н, а, отже, і енергія системи не залежать від часу, тимчасове рівняння Шредінгера легко перетворюється на стаціонарне рівняння Шредінгера, що має структуру операторного рівняння (1.1).
Зробимо відповідні перетворення. Для цього покладемо, що гамільтоніан не включає часу в явному вигляді і залежить лише від координат
(2.20.)
Це дозволяє нам використовувати метод Фур'є для розділення змінних і представити хвильову функцію у вигляді двох співмножників, одного покоординатного та іншого тимчасового:
(2.21)
Підставимо результат у (2.20) і перенесемо ліворуч від , А ліворуч від оператора диференціювання за часом, так як по відношенню до цих операторам виносяться множники умовно постійні і не перетворяться:
,
(2.22)
Тепер розділимо змінні в рівнянні (2.22)
(2.23)
Ураховуючи незалежність просторових і часових змінних слід обидві частини отриманого рівності (2.23) прирівняти однієї і тієї ж постійної величини, в результаті отримаємо систему з двох рівнянь:
(2.24)
(2.25)
Легко бачити, що вираз (2.25) має вигляд операторного рівняння (1.1) і, отже, постійна const є власне значення гамільтоніану, тобто енергія системи: .
Тимчасова частина хвильової функції φ (t), що отримується як рішення рівняння (2.24), має вигляд суворо періодичного процес, що відбувається з круговою частотою , А саме:
(2.26)
Як вже говорилося раніше, тимчасова періодичність функцій стану є невід'ємною рисою стаціонарного руху. Операція комплексного сполучення рівняння (2.19) означає заміну t на-t, тобто час як би повертається назад. Тимчасова частина хвильової функції в (2.26) звернеться до фізично еквівалентну , Але будь-яка спостерігається величина залишиться тією ж самою згідно (1.5). Рівняння Шредінгера описує, таким чином, процеси, оборотні в часі.
2.3.5. Нарешті, з рівняння (1.25) для стаціонарних систем отримуємо операторний вираз закону збереження енергії:
(2.27)
Це вираз називається стаціонарним рівнянням Шредінгера. Воно не містить часу в явному вигляді. Стаціонарне рівняння Шредінгера є основним інструментом для вирішення теоретичних задач про електронну будову атомно-молекулярних систем. У процесі точного або наближеного рішення рівняння (2.27) знаходиться вид хвильової функції, а також енергія досліджуваних станів.
2.3.6. Будь-яка система характеризується своїм гамильтонианом, і він є тим вихідним загальним умовою, яка управляє і характером руху, і наказує можливий вид станів і рівнів системи
2.4. Постулат 4. Принцип суперпозиції станів
2.4.1. Якщо можливими хвильовими функціями є і то можливо такий стан системи, якому відповідає хвильова функція
(2.28)
2.4.2. Цей постулат математично оформляє зв'язок між чистими і змішаними станами квантово-механічної системи, про які йшлося у розділі 1. Образ змішаного стану, згідно сформульованому твердженням, виявляється суперпозицією - накладенням хвильових функцій чистих станів, Звідси даний постулат називається принципом суперпозицій.
Якщо і належать деякому ортонормированном набору, тобто
і ,
то формулу нормировки змішаного стану (2.29) можна вважати умовою, що визначає вклади окремих чистих станів у змішане:
(2.29)
Звідси випливає, що ймовірність виявити систему в будь-якому з чистих станів (1 або 2) у складі змішаного дорівнює квадрату коефіцієнта ( або відповідно).
2.5. Постулат 5. Середні значення динамічних змінних
2.5.1. Середнє значення динамічної змінної , Що отримується з безлічі вимірювань, так само математичного сподівання цієї величини:
(2.30)
Якщо хвильова функція унормована, то знаменник поодинокий, і отримуємо більш простий вираз;
(2.31)
2.5.2. Покажемо, що у чистих станів квантово-механічної системи середні значення спостережуваних змінних співпадають з власними значеннями відповідних ермітових операторів. У цьому випадку формули (2.30) і (2.31) безпосередньо випливають з фундаментального операторного рівняння (1.1).
Щоб показати це, запишемо рівняння (1.1) за допомогою символіки Дірака, далі зліва скалярно домножимо кожну його частину на бра-вектор | І виділимо в правій частині рівності власне число . У підсумку приходимо до формул (2.30) і (2.31). Ланцюжок найпростіших перетворень має вигляд:

Для загального випадку змішаних станів подібного обгрунтування немає, і формули (2.30) і (2.31) постулюється. Цей постулат набуває вже універсальне зміст. З його допомогою можна розраховувати середні значення навіть тих динамічних змінних, оператори яких не володіють дискретними спектрами хвильових функцій і власних значень, наприклад, координати і потенційної енергії.