Принципи квантової механіки

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Співвідношення невизначеності Гейзенберга.

Логічним розвитком ідеї про корпускулярних властивості світла ("хвилі можуть вести себе подібно часткам") стало визнання хвильових властивостей у часток (електрон, нейтрон, протон і т.д. мало відрізняються від фотонів і подібно до них можуть проявляти хвильові властивості). Наприклад, в випадку дуже близького розташування невеликих щілин у досліді Юнга з джерелом електронів замість світлового так само виникає інтерференційна картина. Рентгенівські промені (фотони з дуже великою енергією) при дифракції на тривимірній кристалічній структурі дають картинку, схожу з виходить при дифракції електронів.

Міркування, аналогічні раніше проробленим для интерферирующих фотонів, вимагають визнання неможливості постановки експерименту із з'ясування через яке з двох отворів пролетів електрон за умови збереження інтерференційної картини. На відміну від фотона, електрон (або інша елементарна частинка) в принципі можуть бути зареєстровані без їх обов'язкового поглинання (наприклад, по розсіяному на них світла). Однак, будь-яка взаємодія володіють малими часток з іншими тілами (навіть зі світлом) неминуче призводить до суттєвих змін станів самих спостережуваних частинок, що веде до руйнування інтерференційної картини (фотони при розсіянні передають частинкам імпульс порядку, спроба зменшення якого за рахунок зменшення частоти висвітлює випромінювання неминуче приводять до втрати інформації про становище частинки через явища дифракції). Численні уявні експерименти, подібні розглянутому приводять до висновку про неможливість одночасного вимірювання координати та імпульсу часток з як завгодно високою наперед заданою точністю. Виражає принципові обмеження на точність вимірювань нерівність, що зв'язує мінімально можливі похибки було запропоновано Гейзенбергом і носить назву співвідношення невизначеності:

.

Співвідношення невизначеності Гейзенберга стало предметом пильної уваги філософії, оскільки проголошуваний принциповий заборону перегукувався з ідеями прихильників агностичний навчань, які заперечують можливість пізнання оточуючого нас світу. Незважаючи на те, що переважна більшість натуралістів впевнене в пізнаваності світу, був потрібний серйозний філософський аналіз виниклої проблеми. Мабуть, вихід полягає у визнанні незастосовність методів опису макроскопічних об'єктів до об'єктів мікросвіту: якщо об'єкт не володіє будь-якими характеристиками, то неможливості їх точного експериментального визначення зовсім не означає неможливість вивчення об'єкта (безглуздість спроб отримати експериментально відповідь на питання про довжину хвоста риса не означає неможливості пізнання світу в цілому). Т.ч. співвідношення невизначеності є "підказкою" природи про те, що звичною мовою класичної кінематики і динаміки Ньютона малопридатний для опису процесів за участю об'єктів мікросвіту.

Особливості квантово-механічного опису. "Правила гри" квантовомеханічного опису нерелятивістських макро-і мікроскопічних об'єктів не можуть бути виведені, виходячи з "звичних" класичних законів, оскільки є більш загальними і включають в себе ці класичні закони, як окремий випадок, одержуваний у вигляді суто математичних наслідків з постуліруемих принципів квантової механіки (принцип відповідності повинен виконуватися).

Критерієм істинності формулируемого принципів, як зазвичай, є експеримент і, може бути, краса і витонченість теорії ("ця теорія досить божевільна, щоб бути вірною"). Слід очікувати, що після завершення розробки ще більш загальної теорії (релятивістської квантової механіки), принципи нерелятивистской теорії перетворяться на прямі наслідки нових, більш фундаментальних принципів.

Найбільш принциповими відмінностями квантовомеханічного опису явищ від прийнятого в класичному природознавстві підходу є:

1. Відмова від детермінованості і визнання принципової ролі випадковості в процесах з участю мікрооб'єктів. У класичному описі поняття випадковості використовується для опису поведінки елементів статистичних ансамблів і є лише свідомої жертвою повнотою опису в ім'я спрощення рішення задачі. У мікросвіті ж точний прогноз поведінки об'єктів, що дає значення його традиційних для класичного опису параметрів, мабуть, взагалі неможливий. З цього приводу до цих пір ведуться жваві дискусії: прихильники класичного детермінізму, не заперечуючи можливості використання рівнянь квантової механіки для практичних розрахунків, бачать у обліковується ними випадковості результат нашого неповного розуміння законів ("внутрішніх механізмів"), керуючих поки непередбачуваним для нас поведінкою мікро об'єктів . Прихильником такого підходу, що допускає наявність у квантових об'єктів "внутрішніх ступенів свободи", бал А. Ейнштейн, які сформулювали свою позицію в знаменитому вислові: "Я не можу припустити, що б Господь Бог грав у кості". До теперішнього часу не виявлено ніяких експериментальних фактів, що вказують на існування внутрішніх механізмів, керуючих "випадковим" поведінкою мікрооб'єктів.

2. Принципово відрізняється від класичного закон додавання ймовірностей взаємовиключних один одного (з класичної точки зору) подій (наприклад, проходження електрона через одну з щілин екрану в досліді Юнга). У класичній концепції ймовірності завжди складаються:

(2),

що і призводить до не справджується на досвіді очікуванню виявити при відкриванні двох щілин картини, що дорівнює сумі зображень, одержуваних від кожної з щілин окремо. У кавнтовой механіці закон (1) справедливий лише у випадку, коли існує хоча б принципова можливість встановити яке з можливих подій відбулося насправді (при освітленні щілин Юнга короткохвильовим випромінюванням можна дізнатися, яким шляхом пройшов електрон, закон додавання (1) виконується і інтерференційної картини не виникає). Якщо ж ситуація така, що події принципово неможливо розрізнити, сумарна ймовірність обчислюється як квадрат модуля суми комплексних функцій, які називаються амплітудами ймовірностей:

(3),

при цьому ймовірності не підсумовуються, що, наприклад, і спостерігається в експериментах з інтерференції електронів (рис. 20_1). При русі в порожньому просторі амплітуда переходу частки з однієї точки в іншу збігається з виразом для плоскої монохроматичної хвилі, частота якої пов'язана з енергією формулою Планка. (Порівняйте формулу (3) з виразом, що описує інтерференцію світла (19_8): далекосяжні висновки напрошуються самі собою! Однак, саме тут доречна велика обережність: сучасна квантова механіка є нерелятивістської теорією і з її законів безпосередньо не може бути отримано вичерпні ультрарелятивістських частинки - фотона.)

3. У квантовій механіці відкидається постулируемая в класичному природознавстві принципова можливість виконання вимірювань і навіть спостережень об'єктів і відбуваються з ними процесів, які не впливають на еволюцію системи, що вивчається. Це призводить до існування пар канонічно-сполучених класичних параметрів, одночасне як завгодно точне вимірювання яких виявляється неможливим (до них відносяться вже згадувані координата - імпульс, час - енергія, та ін.)

Закони класичної фізики виходять з квантовомеханічний в межі великих мас складових систему тіл. При цьому, наприклад, що даються співвідношенням невизначеності (1) обмеження на точність виявляються малоістотними:

(4).

Виходить з має дві відкриті двері кімнати людина, в принципі, "буде інтерферувати" подібно електрону в досліді Юнга, через що виникнуть області в просторі, де він не зможе з'явитися. проте через велику маси людини розміри цих областей будуть настільки малі (реально багато менше розмірів мікрочастинки), що для реальних завдань макроскопічного опису вказане явище завідомо неістотно і навіть не наблюдаемо. При розгляді ж руху електрона (маса всього кг) в атомі (характерні розміри близько м) співвідношення невизначеності пророкує наявність завідомо ненульового імпульсу. Відповідна йому кінетична енергія виявляється близькою по порядку величини до потенційної енергії електростатичного притягання електрона до ядра. При цьому співвідношення невизначеності "не дає" електрону істотно наблизитися до ядра, оскільки при цьому швидкість його руху неминуче повинна збільшитися. Т.а електрон в атомі є принципово квантово-механічним об'єктом. При квантово-механічному розгляді атома навіть у рамках підлозі класичної моделі Резерфорда проблема ультрафіолетової катастрофи знімається.

"Стара" і "нова" квантові механіки.

Основна заслуга в суворій формулюванні принципів квантової механіки належить Н. Бору. У первинному варіанті їм використовувалася планетарна модель атома Резерфорда, в рамках якої рухається по круговій орбіті електрону зіставлялися хвиля, квадрат модуля якої визначав ймовірність виявлення електрона в даній точці ("хвиля ДеБройля"). Бор постулював існування стаціонарних орбіт, при русі по яким електрон не випромінює електромагнітні хвилі (виявилося, що на таких орбітах вкладається ціле число довжин хвиль ДеБройля). При переході електрона з однієї орбіти на іншу зміна його енергії супроводжується випромінюванням або поглинанням фотона. Така модель чудово пояснювала частотні закономірності в спектрі випромінювання атомів водню (19_5), але ще зберігала риси відкидаємо класичної теорії (електрони в атомі мали траєкторії, які не можна спостерігати, не змінюючи стану атома). Теорія не могла пояснити деяких деталей ("тонкої структури"), виявлених при більш точних (інтерферометричні) дослідженнях спектра водню. Більш того, за допомогою постулатів Бора не вдавалося пояснити спостережувані дуже складні спектри багатоелектронних атомів і їх молекулярних сполук. Нарешті, "стара" квантова механіка не пояснювала безлічі інших явищ, що відбуваються з атомами й молекулами, які були вже добре відомі в хімії.

Через більш, ніж десятиліття, після створення першої квантово-механічної моделі атома водню Н. Бором була побудована нова закінчена і несуперечлива квантово-механічна теорія, в цілому з успіхом використовується до теперішнього часу. Як це вже не раз траплялося у фізиці, її створення зажадало розвитку нового математичного апарату, адекватно описує сформульовані в її рамках нові фізичні ідеї.

Математичний формалізм квантової механіки: стану, амплітуди, оператори. Існує декілька альтернативних математичних формалізмів, що відповідають основним фізичним ідеям квантової механіки. Один з підходів полягає в розгляді станів фізичної системи як векторів в просторі, розмірність якого визначається числом її взаємовиключних станів, званих базисними (на рис. 20_2 як приклад наведено два таких стану молекули бензолу з різними конфігураціями хімічних зв'язків, допустимих класичною теорією валентності). Під скалярним добутком двох станів розуміється комплексне число - амплітуда, квадрат модуля якої дає ймовірність знайти систему в одному з перемножуваних станів, якщо точно відомо, що вона знаходиться в іншому. У прикладі з молекулою бензолу

,

де через позначено стан, відповідне "рівномірному розподілу хімічних зв'язків", до визнання реального існування якого хімія йшла досить довгим шляхом.

Для опису вимірюваних фізичних величин F у квантовій механіці вводяться оператори, дії яких на вектори станів у загальному випадку наводять до появи нових векторів:

(6)

(Так на мові математики описується той факт, що процедура вимірювання впливає на досліджувану квантово-механічну систему). Спостережуване на досвіді середнє значення фізичної величини в заданому стані системи визначається діагональним матричним елементом оператора цієї величини:

.

Т.ч. математичний апарат сучасної квантової механіки орієнтований на обчислення ймовірностей перебування фізичних систем у тих чи інших станах і середніх значень фізичних величин, що характеризують цю систему, тобто як раз ті величини, які можуть бути виміряні в реальному експерименті.

Еволюція в часі квантово-механічних систем. Для опису зміни системи в часі вводиться оператор еволюції, що зв'язує її стану в два близьких моменти:

.

Якщо оператор еволюції відомий, його послідовне застосування до вихідного стані системи дозволяє простежити за її тимчасовим розвитком, тобто вирішити основне завдання природознавства. Зазвичай оператор еволюції за нескінченно малий проміжок часу записують у вигляді

,

де - оператор Гамільтона. Підстановка виразу (9) в (8) приводить до основного рівняння квантової механіки

,

граючому настільки ж важливу роль у квантовій теорії, як закони Ньютона в класичному природознавстві. За своїм змістом оператор Гамільтона є узагальненням класичного поняття енергії, оскільки для окремого випадку стаціонарної ізольованої системи (де енергія зберігається) рівняння (10) має рішення

,

збігається з хвилею ДеБройля та задовольняє стаціонарному рівнянню

.

Стаціонарні стану квантово-механічних систем.

При вирішенні рівняння (11) визначаються стаціонарні стани системи і відповідні їм значення енергії W. У випадку дискретного набору дозволених енергій говорять про енергетичні рівнях системи, в разі безперервного набору - про безперервне спектрі енергій. Наприклад, базисні стану і Принципи квантової механіки молекули бензолу не є стаціонарними: є наслідком співвідношення невизначеності неточна локалізація електронів в просторі призводить до можливості переходу цих станів один в одного (т.зв. тунельний ефект). Рівняння (12) дозволяє відшукати два зберігаються в часі стану, які виявляються симетричною і антисиметричною лінійними комбінаціями базисних:

,

і визначити відповідні їм енергії

.

Т.ч. наявність можливості переходів між двома еквівалентними станами приводить до виникнення в системі двох енергетичних рівнів замість одного (рис. 20_3). Система може перебувати лише в одному з побудованих стаціонарних станів (), але в кожному з них ймовірність знайти класично осмислену конфігурацію або Принципи квантової механіки однакова і дорівнює 0.5. Симетричне стаціонарний стан енергетично більш вигідно і найбільш часто реалізується в природі.

Аміачний мазер. Існує безліч різноманітних систем, що володіють двома базисними станами, не зберігаються в часі. До них відноситься молекула аміаку, з класичної точки зору має дві конфігурації або Принципи квантової механіки , Здатні перетворюватися один в одного з-за тунельного ефекту (рис. 20_4). Стаціонарні енергетичні рівня молекули розділені зазором, енергетично відповідному високочастотному радіовипромінюванню. Налагоджена в резонанс зовнішнє електромагнітне поле здатне викликати переходи між цими станами, яких супроводжуються поглинанням або випромінюванням енергії у вигляді електромагнітних хвиль (на іншій мові - фотонів). Ансамбль з молекул, що знаходяться у верхньому енергетичному стані здатний тільки випромінювати енергію, тобто взаємодіяти з електромагнітним полем, посилюючи його. На описаному принципі заснована робота першого мазера - лазера, що працює в радіо діапазоні випромінювання.

Природа хімічного зв'язку. Системою з двома станами є найпростіші хімічну сполуку - молекулярний іон водню (рис. 20_5). Як і в розглянутих вище випадках причиною не збереження в часі обраних базисних станів є тунельний ефект. При зближенні ядер ймовірність тунельного переходу електрона від одного до іншого зростає, що призводить до збільшення відстані між підрівнями і робить симетричне стан іона енергетично більш вигідним. "Прагнучи до зниження повної енергії", ядра зближуються, що сприймається як результат дії додаткової сили, які забезпечують виникнення хімічного зв'язку.

Природа електростатичних і ядерних взаємодій. У загальних рисах подібний механізм лежить в основі сучасних уявлень про виникнення електростатичних взаємодій між електричними зарядами. Замість "тунельного" електрона в молекулярному іоні роль переносника електричних взаємодій між зарядами грають віртуальні фотони, виявлення яких у реальному експерименті виявляється принципово неможливим.

Подібний механізм був запропонований і у разі сильних ядерних взаємодій. Швидкий спад ядерних сил при збільшенні відстаней привів до припущення, що переносником взаємодії є на що володіє нульовою масою спокою фотон, а вельми важка частинка з масою, яка перевершує електронну приблизно в 200 разів. Незабаром такі частинки були виявлені в космічних променях (пі-мезони), але подальші експерименти показали їх непричетність до ядерних силам. Однак висунута гіпотеза все-таки виявилася життєздатною: згодом були виявлені схожі на раніше відкриті мезони частинки, властивості яких узгоджувалися з передбаченими на основі аналізу ядерних сил.

Електропровідність кристалів. Системи з двома станами мають двома енергетичними підрівнями. Збільшення числа еквівалентних станів призводить до появи більшої кількості підрівнів. Прикладом системи з великою кількістю станів може служити електрон в ідеальному кристалі, який може бути локалізована поблизу кожного з N регулярно розташованих іонів, що відповідає набору базисних станів: (рис. 20_6). Найнижчою енергії відповідає симетрична лінійна комбінація базисних станів:

,

інші ортогональні лінійні комбінації дають систему з близько розташованих один до одного N енергетичних підрівнів. При збільшенні числа атомів в кристалі підрівні зливаються в суцільну смугу - енергетичну зону, відповідну безперервному набору дозволених значень енергії електрона. Оскільки вільна частка в порожньому просторі так само може мати енергію з безперервного набору, поведінка електрона в ідеальному нескінченному кристалі вельми схоже з поведінкою вільної частинки. Цим пояснюється можливість існування електропровідності у твердих кристалічних тілах.

Рівняння Шредінгера. При описі руху мікрочастинок у просторі як базисного зручно вибрати безперервний набір станів з певними координатами, для кожного з яких може бути записано рівняння, аналогічне (10). Конкретний вид оператора Гамільтона для цього випадку був правильно вгадано Шредінгер і має вигляд, аналогічний класичному виразу для механічної енергії:

,

де - оператор імпульсу, - оператор потенційної енергії. Найбільший практичний інтерес представляють ймовірності виявити знаходиться в стаціонарному стані частку в заданій точці простору R. Відповідно до загальних правил квантової механіки ця ймовірність дається квадратом модуля відповідної амплітуди, званої хвильової функцією:

.

Аналіз математичних властивостей стаціонарного рівняння Шредінгера

показує, що у випадках, коли область класично можливого руху частинки у просторі обмежена, дозволеним є лише дискретний набір енергетичних рівнів. При необмеженій русі енергетичний спектр безперервний.

У найпростішому випадку стаціонарних рішень для атома водню пов'язаних станів (електрон знаходиться поблизу ядра) відповідає набір дозволених значень енергії, повністю співпадає з обчисленими в рамках першої моделі Бора і чудово узгоджується з експериментом (рис. 20_7). У ионизованном стані (електрон пішов від ядра на нескінченно велику відстань) частка може мати будь-яким значенням енергії.

Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Виробництво і технології | Реферат
39.4кб. | скачати


Схожі роботи:
Елементи квантової механіки
Постулати квантової механіки
Концепція невизначеності квантової механіки
Класичні підстави квантової механіки
Основні ідеї квантової механіки
Найпростіші задачі квантової механіки
Основні поняття квантової механіки
Введення в аксіоматику квантової механіки
Основні поняття та образи квантової механіки
© Усі права захищені
написати до нас