Зміст
1. Способи подання і параметри
2. Елементи R, L, C в ланцюзі синусоїдального струму
3. Алгебра комплексних чисел
4. Символічний метод
5. Закони ланцюгів в символічній формі
Список літератури
1. Способи подання і параметри
Змінний струм (напруга) - це струм (напругу), що змінюється в часі або по величині, або по напрямку, кому і за величиною і за напрямком. Окремим випадком змінного струму є періодичний струм.
Мінімальний проміжок часу, після закінчення якого повторюються миттєві значення в тому ж порядку, називається періодом T [З] функції.
Синусоїдальні струми і напруги - це окремий випадок періодичних струмів і напруг:
Величину зворотний періоду називають частотою: [Гц].
Періодичні струми і напруги характеризуються:
- Амплітудним значенням (I m, U m) - максимальним значенням за період;
- Середнім значенням (I 0,, I СР, U 0 ,, U СР)
;
- Средневипрямленним значенням (I ср ст., U ср ст.)
;
- Діючим значенням (I, U, Е, J).
Чинним значенням періодичного струму називається така величина постійного струму, яка за період надає таку ж теплову дію, що і періодичний струм.
Нехай
тоді миттєва потужність змінного струму:
.
Енергія, що виділяється за період в опорі
.
Нехай з того ж опору R протікає постійний струм, тоді миттєва потужність постійна:
.
Прирівнюючи енергії і
, Отримаємо величину постійного струму, який надає таке ж теплову дію, що і періодичний струм, тобто діюче значення періодичного струму:
.
Аналогічно записують формулу для діючого значення напруги.
Активна потужність Р - це середнє значення миттєвої потужності за період:
.
Найбільш поширеним періодичним струмом є синусоїдальний струм. Це пов'язано з тим, що періодичні сигнали, що зустрічаються в електротехніці, можна представити у вигляді суми синусоїдальних функцій кратних частот (ряд Фур'є) і синусоїдальний режим є найбільш економічним режимом у ланцюгах (мінімальні втрати).
У стандартній формі синусоїдальні струми і напруги записують наступним чином:
і
- і
- Амплітудні значення,
- - Називається фазою і показує стан, в якому знаходиться змінюється величина.
- - Кутова частота,
- - Початкова фаза, тобто фаза в момент початку відліку часу. На графіку початкову фазу визначають від моменту переходу синусоїди з негативних значень до позитивних до початку координат.
Два коливання однакової частоти збігаються за фазою, якщо у них однакові початкові фази; зрушені по фазі, якщо у них різні початкові фази. Синусоїда з більшою початковою фазою випереджає синусоїду з меншою початковою фазою. Якщо зсув фаз дорівнює кажуть, що синусоїди в протифазі. Якщо зсув фаз
, То синусоїди у квадратурі.
Для синусоїдальних коливань маємо:
Інтеграл від другого доданка = 0 (див. висновок середнього значення).
У колах синусоїдального струму і напруги потужність в кожен момент часу різна. Тому з рівності теплової дії виводять поняття активної потужності Р.
2. Елементи R, L, C в ланцюзі синусоїдального струму
Хай через кожен елемент протікає синусоїдальний струм .
Тоді, згідно з компонентним рівнянь і з урахуванням синусоидальности струму отримуємо:
;
;
Напруження на елементах в ланцюзі синусоїдального струму так само синусоїдальних і мають ту ж частоту, але інші амплітуди і початкові фази. Враховуючи стандартну запис напруги , Отримуємо
R | L | C |
| | |
| | |
Напруга на опорі збігається з струмом по фазі, напруга на ємності відстає від струму на 90 0, напруга на індуктивності випереджає струм на 90 0.
Визначимо миттєву і активну потужності на кожному елементі:
;
;
.
для R
для L
для C
Таким чином, миттєва потужність у всіх елементах змінюється з подвійною частотою струму. Однак миттєва потужність в опорі R містить ще постійну складову, тому активна потужність виходить більше нуля. Індуктивність і ємність активної потужності не споживають: половину періоду потужність надходить від зовнішнього ланцюга, а в другу половину періоду ці елементи віддають потужність в зовнішній ланцюг. У ті моменти часу, коли індуктивність споживає активну потужність, ємність генерує її і навпаки.
Так як опір R споживає активну потужність, то його називають активним опором. Індуктивність і ємність активної потужності не споживають, тому їх називають реактивними опорами і позначають відповідно [O м] і
[O м].
Для розрахунку режиму в ланцюзі синусоїдального струму можна записати систему рівнянь за законами Кірхгофа, використовуючи отримані співвідношення між напругою і струмом на елементах. Це буде система тригонометричних рівнянь. Рівняння будуть містити синусоїди різної амплітуди і початкової фази і необхідно проводити багато тригонометричних перетворень, що не завжди зручно. Тому розроблений спеціальний метод аналізу режимів ланцюгів синусоїдального струму - метод комплексних величин або символічний метод.
3. Алгебра комплексних чисел
Комплексним числом називають пару чисел, що зображують вектор на комплексній площині. Будемо зображати комплексне число з великої літери з рисою внизу ( ). Вводиться уявна одиниця:
Комплексне число може бути представлене в різних формах:
- Показова форма: - Це вектор на комплексній площині, де
- Довжина (модуль) вектора,
- Аргумент чи фаза. Фазу завжди відраховують проти годинникової стрілки від позитивного напрямку дійсної осі;
- Алгебраїчна форма: - Це точка на комплексній площині, де
- Координати по і уявною осях, причому:
,
,
, Якщо
,
=
, Якщо
<
.
Перехід від однієї форми запису комплексного числа до іншої:
.
Складати комплексні числа переважно в алгебраїчній формі або геометрично за правилом паралелограма:
Віднімати комплексні числа зручно в алгебраїчній формі або геометрично за правилом паралелограма (вектор різниці направлений з кінця від'ємника в кінець зменшуваного):
Множити і ділити комплексні числа зручніше в показовій формі:
;
.
Комплексні числа, не залежні від часу, позначають великими літерами з рисою внизу: , А комплексно зв'язані їм числа позначають ще й зірочкою зверху
: Це числа, у яких та ж речова частина, а уявна з протилежним знаком.
Комплексні числа, які є функціями часу, позначають великими літерами з крапкою зверху: , А комплексно зв'язані їм числа позначають великими літерами із зірочкою зверху
: Це числа, у яких той же модуль, але фаза з протилежним знаком.
Так як , То помножити комплексне число на j це значить, не змінюючи його модуля, збільшити фазу на 90 0 або повернути відповідний вектор на 90 0 проти годинникової стрілки. Розділити на j - навпаки:
.
4. Символічний метод
Нехай є комплексне число з лінійно змінюється в часі аргументом: . На комплексній площині це число являє незмінний по довжині вектор, що обертається проти годинникової стрілки з постійною швидкістю w.
Будь-яку синусоїдальну функцію часу можна представити у вигляді проекції на дійсну або уявну вісь відповідного обертового вектора.
Проекція вектора на уявну вісь дає синусоидально змінюється функцію часу:
Вводять спеціальне позначення (символи):
- Комплекс амплітудного значення струму або
- Комплекс амплітудного значення напруги. Вони містять інформацію про амплітуду і початковій фазі синусоїдального коливання.
Комплекс амплітудного значення поділений на , Дає комплекс діючого значення:
і
.
Комплекс амплітудного або комплекс діючого значення дозволяють перейти до миттєвого значенням, наприклад:
;
.
5. Закони ланцюгів в символічній формі
1. Перший закон Кірхгофа
Алгебраїчна сума миттєвих значень струмів гілок, що сходяться в одному вузлі, дорівнює нулю. .
Підставимо замість кожного миттєвого значення струму його представлення у вигляді комплексу амплітудного значення, тоді .
Так як в будь-який момент часу нулю дорівнює сума проекцій обертових векторів, отже, нулю повинна дорівнювати сума самих обертових векторів, тобто отримаємо . Так як
, То скоротимо на неї і отримаємо
.
Алгебраїчна сума комплексів амплітудних значень струмів гілок, що сходяться в одному вузлі, дорівнює нулю.
Поділивши на , Отримаємо перший закон Кірхгофа для комплексів діючих значень.
2. Другий закон Кірхгофа
Після аналогічних перетворень отримаємо:
або
.
Алгебраїчна сума комплексів амплітудних (діючих) значень напруг на всіх елементах контуру, крім ЕРС дорівнює алгебраїчній сумі комплексів амплітудних (діючих) значень ЕРС цього ж контура.
Проте для самих амплітудних і діючих значень закони Кірхгофа не виконуються.
Список літератури
1. Основи теорії кіл. Підручник для вузів. / Г.В. Зевеке, П.А. Іонкіна, А.В. Нетушил, С.В. Страхов.-5-е вид. перераб.-М.: Вища школа, 1989. 528 з.
2. Теорія електричних ланцюгів: Методичні вказівки до лабораторних робіт / Ряза. держ. радіотехн. акад.; Сост.: С.М. Мілюков, В.П. Ринін; Під ред. В.П. Ринін. Рязань, 2002. 16 с., 2004. 20 с. (№ 3282, № 3624)
3. Основи теорії кіл: Методичні вказівки до курсової роботи / Ряза. держ. радіотехн. акад.; Сост.: В.М. Зуб, С.М. Мілюков. Рязань, 2005. 16 с.
4. Теоретичні основи електротехніки. / Г.І. Атабеков, С.Д. Купалян, А.В. Тимофєєв, С.С. Хухріков.-М.: Енергія, 1979. 424 с.
5. М.Р. Шебес. Теорія лінійних електричних ланцюгів у вправах і завданнях. М.: Вища школа, 1990. 528 з.