канд. біол. наук М. П. Іванов, д-р техн. наук В. В. Кашино
ФНІІ ім.А.А.Ухтомского, СПбДУ
Під многіхсістемах, наприклад, супутникової навігаційної системи GPS NAVSTAR, асинхронних адреснихсістемахсвязі (ААСС) і т.д. використовуються сигнали, що випромінюються багатьма джерелами на одній несучій частоті і адресовані різним споживачам. При цьому для прийому використовується узгоджена з тим сигналом, який потрібно прийняти, фільтрація або кореляційний прийом. Можливо, застосування частотно-часової фільтрації [1]. У таких системах неминуча поява перехресних внутрішньосистемних завад, які бажано мінімізувати. У роботі [2] показано, що при визначенні якості системи за середнім інтегральним ефектом взаємних перешкод безперервні сигнали повинні мати однакові Автокореляційні функції, тобто повинні відрізнятися тільки фазовими характеристиками. Цей критерій доцільно використовувати, якщо взаємні кореляційні функції (ВКФ) мають один значний сплеск Rkm, яким, а передусім, іопределяется критерій - величина , Або, навпаки, мають багато сплесків одного порядку. Проте у згаданій роботі [2] не наведена процедура побудови самої системи сигналів.
Приймемо за критерій оптимальності максимальну величину сплесків ВКФ, а сигнали оптимальної системи визначимо в класі функцій, пов'язаних між собою лінійними операторами. Усі реальні сигнали належать енергетичного простору L2, а загальний вигляд лінійного оператора, що діє з L2 в L2, - інтегральний, тому шукана система сигналів є єдиною.
Позначимо як шукану систему сигналів, построеннуюна базі деякого основного (умовного) сигналу S0 за правилом
(1)
де Ak - лінійний інтегральний оператор з ядром hk (u):
(2)
Будемо вважати основний сигнал S0 реалізацією деякого випадкового стаціонарного процесу з інтервалом кореляції tcor <<T, отримаємо для ВКФ Rkm k-го і m-го сигналів
(3)
Зокрема, як відомо [3],
(4)
і
(5)
Екстремальні значення ВКФ всіх сигналів Sk досягаються в моментивремені относительномаксимумаосновногосигналаx0, які визначаються рівняннями
(6)
де H (u) - ядро твори лінійних інтегральних операторів Ak Ak-1-A1.
Щоб виключити тривіальні рішення Ak º 0, введемо природні обмеження на енергію функцій hk (u):
(7)
Тоді перша варіація функціонала R10 з урахуванням обмежень (6) і (7) буде мати вигляд
(8)
де l1 і l2 - невизначені поки множники Лагранжа.
Використовуючи результати роботи [4], отримаємо узагальнене рівняння Ейлера-Пуассона для функції h1 (u), що доставляє екстремум функціоналу R10
(9)
Множник Лагранжа l2 знаходиться при інтегруванні по інтервалу T обох частин рівняння (9), помножених на ядро h1 (u), а множник l1 - шляхом подібного інтегрування після зведення обох частин рівняння в квадрат. Виконуючи перетворення з урахуванням обмежень (6) і (7) і формули (5), отримаємо для ядра оператора A1, що визначає перший сигнал системи S1, і для кореляційної функції цього сигналу такі вирази
(10)
де коефіцієнт a1 є коренем квадратного рівняння
(11)
Відповідна екстремали h1 (u) формули (10) обумовлює величину перехресної перешкоди P10 обнаружителя сигналу S1 при наявності основного сигналу S0
(12)
Аналогічно можуть бути знайдені оптимальні у сформульованому сенсі ядра операторів A2, A3, - і відповідні перехресні перешкоди P20, P30, ... і P31, P42, ... і т.д.
Розширення системи сигналів обмежується величиною допустимих перехресних перешкод.
Зауважимо, що прийнята процедура встановлення послідовності лінійних інтегральних операторів A1, A2, ... залежить тільки від автокореляційної функції основного сигналу S0.
Знайдемо величину перехресних перешкод, що визначаються ВКФ сигналів. Для цього перейдемо в обмеженні (7) в частотну область.
(13)
де
Знайдемо спектральну функцію першого оператора H1 (f). Позначимо через G00 (f) спектр потужності основного сигналу S0. Тоді ВКФ сигналів S1 і S2 можна представити [3] у вигляді
(14)
Екстремуму знайденої ВКФ будуть відповідати значення t1, що задовольняють рівнянню
(15)
Функції ½ H1 (f) ½ і j1 (f) оператора A1, що доставляють при t = t1 екстремум функціоналу R10 (t) з урахуванням обмежень (13) і (15), будуть визначатися [4] двома рівняннями
(16)
(17)
Рівняння (16) отримано шляхом варіювання функціоналу R10 (t1) по функції ½ H1 (f) ½, а рівняння (17) - по функції j1 (f).
Множачи ліву частину рівняння (16) на функцію ½ H1 (f) ½ і інтегруючи його в межах від 0 до ¥, отримаємо, беручи до уваги формули (13) і (14),
(18)
Помічаючи, що cos (j1 (f) +2 pft1) не може бути рівний нулю, і підставляючи значення l1f з рівняння (17) в рівняння (16) отримаємо з урахуванням виразу (18)
(19)
Помножимо рівняння (19) на функцію G00 (f) і виконаємо інтегрування в межах від 0 до ¥, тоді, з урахуванням формули (14), отримаємо
(20)
Таким чином, модуль і фаза шуканої спектральної функції H1 (f) виявляються пов'язаними зі спектром потужності основного сигналу S0 наступним співвідношенням
(21)
Помічаючи, що при лінійному перетворенні сигналу з деякою спектральної функцією ½ H (f) ½ 2 разів, отримуємо для спектру потужності сигналу S1
(22)
Таким чином, при розширенні лінійної системи сигналів (1), беручи до уваги обмеження (13) та враховуючи перехресні перешкоди лише суміжних сигналів в послідовності S1, S2, ..., знаходимо величину перехресних перешкод, що змінюється за законом
(23)
Формула (23) очевидно визначає нижню межу перехресних перешкод для лінійної системи сигналів при відсутності інших зовнішніх перешкод. Ця формула дозволяє зробити ще одне важливе припущення: мінімум нижньої межі перехресних перешкод в лінійній системі сигналів з фіксованою енергією або середньою потужністю досягається на послідовності сигналів (1), що відрізняються тільки фазовими спектрами, причому
(24)
де G00 (f) - спектр потужності основного сигналу S0.
В якості основного сигналу може бути обраний будь-який сигнал. Величина перехресних перешкод визначається тільки спектром потужності основного сигналу S0. Оптимальний вибір спектру сигналу S0 за встановленим критерієм вимагає додаткових досліджень. Зокрема, спектр G00 (f) може бути обраний відповідно до критерію [2].
Візьмемо для прикладу в якості базового сигналу S1 (t) реалізацію випадкового телеграфного сигналу, що приймає значення | 1, причому моменти зміни знаку сигналу представляють найпростіший потік подій. Такий сигнал описується, як відомо [3], рівнянням Пуассона, а його автокореляційна функція має вигляд експоненти
(25)
де b - подвійна частота зміни знаку.
Як випливає з формули (10), ядро оператора A пропорційно лінійної комбінації автокореляційної функції базового сигналу та її похідної. Тому перетворення Фур'є функції h1 (t) буде мати в загальному випадку вид
(26)
або з урахуванням формули (25)
(27)
де c - деяка постійна.
Обмежимося системою сигналів, що відрізняються тільки фазовими характеристиками або характеристиками, що мають постійне значення модуля характеристики Hk (w). Зокрема, характеристика H1 (w) задовольняє цій вимозі, якщо a = b, тобто передатна функція лінійного пристрою, перетворюючого кожен попередній сигнал Sk (t) в подальшому Sk +1 (t), k = 0, 1, 2,. .. з точністю до несуттєвих постійних амплітудних і фазових множників буде
(28)
Такі передавальні функції мають, як відомо [5], лінійні ортогональні фільтри, імпульсні перехідні функції яких gn описуються поліномами Лаггера
(29)
де
Розглянемо зміну ВКФ зі зростанням числа сигналів системи для даного прикладу. Взаємний спектр сигналів системи має [3] вид
(30)
де G0 (w) - спектр потужності базового сигналу або, з урахуванням формули (25), і відповідно до формули (28)
(31)
Загальний вигляд ВКФ розглянутих сигналів може бути визначений шляхом застосування перетворення Фур'є до правої частини виразу (31)
(32)
Інтегруючи за допомогою відрахувань, визначаємо
(33)
Висновки
1. Встановлено алгоритм побудови оптимальної по мінімуму внутрішньосистемних завад системи сигналів на базі основного сигналу.
2. Одержано залежність перехресних перешкод від спектру потужності основного сигналу і виробляють ядер відповідних лінійних інтегральних операторів.
3. Встановлено нижня межа мінімальної величини перехресних перешкод, яка визначається тільки спектром основного сигналу.
Список літератури
1.ІвановМ.П., КашіновВ.В. Оптимальна частотно-тимчасова фільтрація / / http://www.laboratory.ru/, 2001.
2.ГущінЮ.Е., КашіновВ.В., ПономаренкоБ.В. Деякі властивості оптимальної групи сигналів для асинхронної адресної системи зв'язку. / / В зб. "Підвищення ефективності і надійності радіоелектронних систем". Вип. 6, 1976, ЛЕТІ.
3.БендатДж, Пірсол. Вимірювання і аналіз випадкових процесів. М., "Мир", 1971.
4.ІвановМ.П., КашіновВ.Обобщенний принцип найменшої дії. http://www.laboratory.ru/, 2001.
5.ТіхоновВ.І. Нелінійні перетворення випадкових процесів. / / М. Радіо і зв'язок, 1986.