Оператори моменту імпульсу та їх комутація
Разом з модулем моменту імпульсу , Або еквівалентно
, Квантуется і напрямок цієї векторної величини, але в досить своєрідній формі, відмінній від класичного уявлення про направлення векторів. Досліджуємо це квантування за напрямком.
4.3.5.1. Як випливає з розділу 4.3.4.4, поряд з , Функції
відповідає цілком певне значення
, Але дві інші проекції
і
залишаються невизначеними. Це не випадково, а обумовлено принципом невизначеності Гейзенберга. Легко переконатися в цьому, показавши, що
не комутується з
і
, Але в той же час комутує з
. Аналогічно між собою не комутує будь-яка пара з
.
Як приклад знайдемо комутатор
(4.65)
Аналогічно можна отримати такі співвідношення
(4.66)
4.3.5.2. Ці формули корисні для відшукання можливих значень квадрата моменту імпульсу і хвильових функцій при вирішенні рівняння (4.62), яке безсумнівно складніше рішення (4.63). Для вирішення цього завдання скористаємося прийомом, раніше застосованим нами для гармонійного осцилятора (див. розділ 3.51) коли власні значення та власні функції оператора Гамільтона були знайдені лише на основі комутаційних співвідношень, а також операторів зрушень станів.
4.3.5.3. Сконструювавши спеціально оператори зсуву станів, можна вирішити і задачу про обертальних станах жорсткого ротатора. У цьому випадку ми будемо переміщатися від стану до стану з одним і тим же значенням , А, отже, і з однією і тією ж кінетичної обертальної енергією, тобто всередині виродженого рівня спробуємо "перерахувати" дискретні стану. Вони відрізняються тільки значеннями
, Тобто орієнтаціями вектора моменту імпульсу. Головна проблема на даному етапі - відшукання квантового числа l, квант модуль вектора
4.3.5.4. Для цієї мети запишемо, як завжди
(4.67)
і одночасно врахуємо, що справедливі операторні рівняння
(4.68)
(4.69)
Разом з тим, як і в теорії плоского ротатора
(4.70)
Віднімемо почленно (4.70) з (4.68) і отримаємо
, (4.71)
а з урахуванням (4.67)
(4.72)
Таким чином, функція Y виявляється власною функцією оператора , Тобто
(4.75)
де - Власне значення.
В силу самосопряженним операторів квантової механіки, їх власні значення повинні бути речовими і єдина фізична величина як сума квадратів може бути тільки позитивною. Це справедливо, незважаючи на недоступність для індивідуального визначення кожного з доданків
і
З зіставлення (4.72) і (4.73) слід нерівність
(4.74)
Звідси . (4.75)
4.3.5.5. Формула (4.75) містить прозорий сенс: квадрат моменту імпульсу не може бути менше квадрата однієї з його проекцій. Одне і те ж значення модуля моменту імпульсу, обумовлене квантовим числом l, має відповідати станам з різними значеннями проекції , Які задаються квантовим числом m. При цьому кожному станом з позитивним значенням m відповідає стан з негативним m, відмінне напрямком обертання навколо осі z. Формула (4.75) одночасно визначає межі зміни квантового числа m, пов'язуючи його з числом l у вигляді
, (4.76)
тобто і
(4.77)
4.3.5.6. Нарешті, ми підійшли впритул до вирішення найважливішої проблеми - зв'язки квантового числа l зі значенням квадрата моменту імпульсу і з параметром в рівнянні (4.62). Звернімося знову до рівняння (4.72). У його правій частині стоїть сума квадратів операторів. Досліджуємо її, розкладаючи на комплексні сомножители за аналогією із завданням про гармонійний осцилятор. Позначимо їх
і
. Їхній зміст подібний змістом операторів
(3.79) і
(3.80) - вони також є операторами зсуву станів.
(4.78)
(4.79)
4.3.5.7. Якщо в задачі про осцилляторе кожен з операторів зрушень досліджувався в парі з гамильтонианом, то в даному випадку зрушення не будуть пов'язані з переміщенням з енергетичної драбинці рівнів. Тут ми будемо рухатися як би з енергетичної горизонталі в межах одного виродженого рівня, перераховуючи стану із загальним модулем | , Але з різними його орієнтаціями. З цієї причини найзручніше розглянути наслідки перестановок операторів
і
, З оператором
, Дія якого на конкретну власну хвильову функцію описується рівнянням (4.69). Складемо комутатори
і
. Для зручності й скорочення громіздких викладок об'єднаємо символи (+) і (-). Далі всюди будемо вважати, що запис індексів у вигляді стовпця (±) означає, що в наступних виразах верхньому індексом (+) будуть відповідати верхні ж знаки у спільних записах і, навпаки, нижньому індексом (-) - знаки внизу, наприклад:
(4.80)
Підставимо в (4.80) рівняння (4.78) і (4.79), потім перегруппіруем доданки
(4.81)
Комутатори і
вже виведені вище - формула (4.66). Використовуємо їх вираження
тобто (4.82)
(4.83)
4.3.5.8. Виходячи з формули (4.80), твір операторів можна записати так
При підстановці (4.82) і (4.83) це дає
(4.84)
Знайдемо далі результат дії операторів на хвильову функцію
, Для якої задані квантові числа l і m, тобто
, Використовуючи рівняння (4.64) і (4.69):
(4.85)
4.3.5.9. Вираз (4.85) - це як і раніше операторний рівняння на власні значення. Воно показує, що функції відповідає стан з квантовим числом m +1, т. е збільшеним на одиницю в порівнянні з вихідною функцією
- Стан
. Таким чином, оператор
з повним правом може бути названий оператором підвищення стану (але не рівня!). Аналогічно оператор
- Оператор зниження, тому що функції
відповідає зменшене квантове число -
4.3.5.10. Отже, дія операторів підвищення і пониження на хвильову функцію можна представити так
(4.86)
(4.87)
Зверніть увагу на те, що оператори і
змінюють характеристику перетворюваної функції, і формули (4.86) і (4.87) не створюють рівнянь на власні значення, а постійні
- Це просто чисельні множники. Таким чином, ці формули дозволяють "перераховувати" стану в проділу одного виродженого рівня, якому відповідає конкретний модуль моменту імпульсу, заданий квантовим числом l. При цьому зсув між найближчими значеннями проекцій
дорівнює
, Тобто
. (4.88)
4.3.5.11. Нагадуємо, що хвильові функції є власними функція-ми операторів
і
. На підставі рівнянь (4.64) і (4.68) можна записати
(4.89)
а з рівнянь (4.58) і (4.70) слід
(4.90)
При вирахуванні (4.90) з (4.89) отримуємо операторний рівняння (4.71) з конкретним власним значенням тобто
. (4.91)
Доцільно побудувати таку послідовність співмножників з операторів зсуву, яка безпосередньо призводила б до очікуваного результату (4.91).
4.3.5.12. Для цього досліджуємо твір операторів виду
.
Підставляючи комутатор (4.66), отримаємо
(4.92)
Абсолютно аналогічно
(4.93)
або при спільній записи
(4.94)
У цих формулах привабливо те, що результат добутку двох операторів зрушень виражається через оператори з дійсними власними значеннями, як це випливає із зіставлення правих частин рівнянь (4.92) - (4.94), з одного боку, і рівнянь (4.90) і (4.91) - з іншого.
4.3.5.13. Всі комутаційні співвідношення операторів моменту імпульсу і його проекцій, знайдені в цьому розділі, зручно звести в одну таблицю 4.З. . У рядках таблиці вказані ліві оператори-співмножники, а в стовпцях - праві. На перетині рядка і стовпця знаходиться комутатор відповідних операторів. Звертаємо увагу читача на антисиметричною характер таблиці комутаторів щодо головної діагоналі, тобто елементи, однаково розташовані по різні сторони останньої відрізняються тільки знаками. Таким чином, при зміні порядку запису операторів-співмножників комутатор змінює знак.
Таблиця 4.3. Комутатори операторів моменту імпульсу
1 \
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0