Надійність інформаційних систем

Передмова
Проблема надійності є дуже важливою для сучасних технічних систем. Можна навести приклади багатьох систем, для яких рішення проблеми надійності в самому прямому сенсі означає, бути чи не бути даній системі. До них можна віднести і різні інформаційні системи, що включають в свій склад велике число комп'ютерів, що мають мережеву структуру, територіально розподілені інформаційні системи, інформаційні системи вимірювання параметрів різних об'єктів, системи моніторингу і т.п.
Інформаційні системи можуть мати просту і складну структуру. Їх ускладнення йде сьогодні в різних напрямках. З одного боку, до складу систем входить все більше число комплектуючих елементів. З іншого боку, ускладнюється їх структура, що визначає з'єднання окремих елементів та їх взаємодію в процесі функціонування і підтримки працездатності. При цьому ускладнення систем є прямим наслідком постійно зростаючої відповідальності виконуваних ними функцій, складності і різноманіття цих функцій.
За інших рівних умов система, що складається з великої кількості комплектуючих елементів і має більш складну структуру і складний алгоритм функціонування, є менш надійною в порівнянні з більш простою системою. Все це вимагає розробки спеціальних методів забезпечення надійності таких систем, включаючи розробку математичних методів розрахунку надійності та експериментальної оцінки.

1. Основні поняття та визначення

Перш ніж почати виклад теоретичних основ надійності, введемо основні терміни та визначення, прийняті в сучасній інженерній практиці.
Під надійністю технічної системи розуміють властивість системи зберігати працездатність в заданих умовах функціонування. Говорячи про працездатність, слід відразу ж визначити критерій відмови системи. Відмова - це подія, після виникнення якого система втрачає здатність виконувати задана призначення. Ці два поняття в певному сенсі виражаються одне через інше: відмова - це втрата працездатності. Проте для тієї чи іншої інформаційної системи конкретне визначення відмови залежить від багатьох факторів: призначення системи, виконуваного завдання, вимог до виконання даної конкретної функції та ін
Надійність - це складна властивість, що включає до свого складу кілька поодиноких властивостей: безвідмовність, готовність, збереженість, ремонтопридатність, а також безпека та живучість.
Під безпекою розуміється здатність системи функціонувати, не переходячи в небезпечний стан. Для інформаційних систем це властивість не є суттєвим у порівнянні, наприклад, з системами атомної енергетики.
Під живучістю технічної системи розуміють її здатність протистояти зовнішнім впливам як природного характеру не передбачених умовами нормальної експлуатації, так і навмисним.
Відмітною ознакою надійності як властивості технічної системи є те, що вона характеризується імовірнісними процесами, що протікають у часі.
При вивченні теорії надійності широко використовуються такі поняття як система, об'єкт, елемент. Елемент - це такий об'єкт, окремі частини якого не уявляють істотного інтересу в межах проведеного аналізу. Під терміном «система» будемо розуміти безліч (сукупність) діючих об'єктів, взаємопов'язаних між собою функціонально і розглядаються як єдине структурне ціле. Поняття «елемент», «об'єкт» і «система» достатньо відносні. Підрозділ системи на елементи залежить від необхідної точності проведеного аналізу, від рівня наших уявлень про систему і т.п. Більше того, об'єкт, що вважався системою в одному дослідженні, може розглядатися як елемент, якщо вивчається система більшого масштабу. Наприклад, в інформаційній мережевій системі елементом може вважатися комп'ютер, термінал, канал зв'язку і ін У той же час, розглядаючи функціонування комп'ютера, можна виділити процесор, вхідні і вихідні пристрої, різні інтерфейси і т.д.
У теорії надійності дуже важливу роль грає розподіл елементів і систем на відновлювані та невідновлювані. Змістовний сенс цих понять очевидний.
Інформаційні системи бувають простими і складними.
Простими системами будемо вважати такі, в яких чітко визначено ознаку відмови, тобто можна вказати елемент, відмова якого приводить до відмови системи.
Основні ознаки класифікації відмов виробів наведені в таблиці 1.
Таблиця 1

2. Основні показники надійності

Однією з основних характеристик надійності об'єкта є час безвідмовної роботи або напрацювання до відмови. Позначимо цю випадкову величину Т. Будемо вважати, що в момент часу t = 0 об'єкт починає роботу, а в момент t = T відбувається відмова. Відмова - це випадкова подія в часі. Закон розподілу випадкової величини T характеризується інтегральної функцією розподілу = Вер (T _k <T), де T _k - випадковий момент часу, коли відбулася відмова. Тоді, - Ймовірність відмови на інтервалі [0, t].
Функція Q (t) є ймовірність відмови до моменту t. Щільність розподілу імовірності відмови
(1)

Безвідмовна робота - протилежне подія по відношенню до події відмови, тому ймовірність безвідмовної роботи протягом часу t:
(2)
Якщо F (t) - диференційована функція (на практиці це майже завжди виконується), то диференціальна щільність відмови:
(3)
Tогда ймовірність відмови і ймовірність безвідмовної роботи об'єкта протягом часу t визначається через щільність ймовірності відмови:
, (4)
.
У розрахунках найчастіше застосовують таку характеристику надійності як інтенсивність відмов l (t). Інтенсивність відмов можна розглядати як відносну швидкість зменшення значень функції надійності зі збільшенням інтервалу (0, t).
(5)
Рішення рівняння (5) при початковому умови p (0) = 1 дає для функції надійності
формулу
(6)
При l = const формула (6) істотно спрощується:
P (t) = exp (-lt). (7)
Інтенсивність відмов - Це є умовна щільність ймовірності відмов у припущенні, що до моменту t елемент функціонував безвідмовно. Таким чином, випадкова величина має три характеристики - p (t), , .
Як показники надійності застосовують також числові характеристики випадкової наробітку до відмови. Їх зазвичай легше визначити за експериментальними даними, ніж залежності p (t), l (t), f (t). Найбільш часто використовують середній наробіток до відмови (математичне очікування напрацювання до відмови або перший початковий момент).
, (8)
де F (t) - функція розподілу випадкової величини T.
Інтегруючи (8) по частинах, отримуємо
(9)

Таким чином, середнє напрацювання до відмови чисельно дорівнює площі під кривою p (t).
При l = const маємо
(10)

Другий центральний момент (середнє квадратичне відхилення)

(11)
Дуже часто цих двох моментів буває достатньо для повної характеристики функцій розподілу наробітку до відмови. Наприклад, в практично часто зустрічаються випадки, коли (Експоненційний розподіл), p (t) = exp (-lt) і m _t = - Несе вичерпну інформацію про надійність системи.
Найбільш часто зустрічаються розподілу та їх основні показники представлені в таблиці 2.
Таблиця 2

N п / п	Тип розподілу	Функція розподілу відмов	Щільність розподілу відмов	Інтенсив- ність відмов	Параметри законів
					мат. очікув.	дисперсія
1	2	3	4	5	6	7
1	Показові (Експоненціальні)
2	Релея
3	Рівномірний
4	Вейбулла

при - Розподіл Вейбулла перетворюється у показове.
при - Розподіл Релея

3. Методи підвищення надійності

Ефективність інформаційної системи в значній мірі залежить від рівня її надійності, в першу чергу від рівня її безвідмовності. Досвід експлуатації показує, що рівень надійності систем не завжди відповідає сучасним вимогам, тому дуже актуальна проблема розробки методів, що дозволяють забезпечити необхідні рівні характеристик надійності системи. Надійність системи можна підвищити, використовуючи різні методи. При цьому кожен раз треба вибирати придатний метод з урахуванням вартості, вагових, габаритних та інших характеристик системи.
Методи підвищення надійності можна класифікувати по області їх використання.

Методи

Конструктивні		Виробничі		Експлуатаційні
- Створення надійних елементів; - Створення сприятливого режиму роботи; - Методи раціонального проектування систем; - Методи введення надмірності: Нагрузочная, Параметрична, Функціональна, Резервування структури. - Методи, які захищають елементи від руйнівних факторів		- Удосконалення технології; - Автоматизація виробництва; - Тренування елементів і модулів системи.		- Методи попередження відмов, засновані на прогнозуванні моментів їх появи; - Методи попередження відмов, засновані на статистичних даних про довговічність елементів; - Підвищення кваліфікації обслуговуючого персоналу; - Наукові методи експлуатації.

4. Резервування як спосіб підвищення надійності

Підвищення надійності системи шляхом резервування є одним з ефективних способів підвищення надійності, але завжди пов'язане зі збільшенням її габаритів, маси, вартості.
Розглянемо коротко класифікацію методів резервування (див. табл. 3)
Таблиця 3

Ознака резервування	Метод резервування
По виду з'єднання основних і резервних елементів	Загальне
	Роздільне
	Змішаний
	З змінюється структурою (динамічний)
За навантаженості резервних елементів до їх включення	Навантажене
	Недовантаженою (полегшене)
	Ненавантаженому
	З мінливих навантаженням
За способом перемикання основних і резервних елементів	З ручним перемиканням
	З напівавтоматичним перемиканням
	З автоматичним перемиканням
За наявності відновлення елементів	Без відновлення
	З відновленням
За використовуваних параметрів системи	Інформаційне Структурний Функціональне Тимчасовий

Розглянемо методи резервування за навантаженості резервних елементів.
За навантаженості резервних елементів резервування підрозділяється на наступні види:
1.Нагруженное резервування - коли резервний елемент знаходиться в тому ж режимі, що й основний елемент.
2.Недогруженное резервування - коли резервний елемент знаходиться в менш навантаженому режимі, ніж основний елемент.
3.Ненагруженное резервування - коли резервний елемент не несе навантажень (виключений).
4.Резервірованіе з мінливих навантаженням - коли резервний елемент у вибрані моменти часу може перебувати в одному із заданих станів (навантаженому, полегшеному, ненавантаженому).

5. Навантажене резервування

Нехай система складається з n основних елементів і m резервних елементів. Щільність ймовірності безвідмовної роботи f (t). Умови роботи елементів не залежні, а автомат контролю і комутації елементів (АКК) - абсолютно надійний.
; (12)
Для вирішення задачі використовуємо метод гіпотез [1]. Припустимо, що всі елементи справні. Так як робота елементів не залежна, ймовірність цієї гіпотези:
(13)
Нехай відмовив один конкретний (s-й) елемент, тоді ймовірність цієї гіпотези:
(14)
Імовірність відмови будь-якого одного з m + n елементів:
(15)
Нехай відмовили будь-які два елементи (спочатку s-й, потім k-й). Тоді ймовірність цієї гіпотези:
(16)

Далі аналогічно
(17)
Всі розглянуті вище гіпотези сприяють працездатного стану системи. Тому ймовірність безвідмовної роботи системи дорівнює сумі ймовірностей цих гіпотез.
або (18)
(19)
Так як всі елементи равнонадежни, то

Якщо закон розподілу експонентний, тобто , То , . Тоді
(20)
При n = 1
, Де k = m +1 / (21)
Тоді , (22)
, (23)
при
Таким чином, у резервованої системи інтенсивність відмови є функцією часу напрацювання, навіть для експоненціального закону розподілу часу напрацювання для елементів.
При t = 0, = 0; при

6. Ненавантаженому резервування

Тут ті ж умови, що і в п. 5, але час безвідмовної роботи елементів розподілено за експоненціальним законом з параметром . Інтенсивність відмов такої системи , Так як резервовані елементи без відмов.
Необхідно знайти щільність розподілу суми незалежних випадкових величин
(24)
Для цього скористаємося характеристичної функцією
, Де (25)
Тоді
(26)

Щільність ймовірності моменту виходу з ладу m + 1 елемента
(27)

Імовірність безвідмовної роботи системи визначиться як

(28)

Якщо резервування елементів немає, тобто m = 0, то

(29)

7. Недовантаженою резервування

Система складається з n основних елементів з інтенсивністю відмов λ = а і m резервних елементів з λ = b. Умови роботи елементів незалежні. Автомат контролю і комутації - абсолютно надійний. Система буде справна, якщо число k відмов елементів 0 ≤ k (t) ≤ m. Тоді або , (30)
тому що при k = m + 1 буде відмова, а група 0 ≤ k (t) ≤ m + 1 - повна група подій
Якщо в момент t система знаходиться в стані k, то інтенсивність її відмов


У момент часу t + Δ t система буде знаходитися в стані kc ймовірністю
(31)
- Імовірність того, що система не піде зі стану k.
Спрямувавши одержимо загальний вираз для диференціального рівняння
(32)
При k = 0 (33)
k = 1 (34)
k = m +1 (35)
Початкові умови
(36)
тобто в початковий момент часу всі елементи справні.
Рівняння (32) - рівняння О.М. Колмогорова для однорідного марківського процесу (λ = const).
Рівнянню (32) можна зіставити граф переходів з одного стану системи в інше
На підставі аналізу рівнянь О.М. Колмогорова, Б.В. Васильєва [1] було сформульовано мнемонічне правило складання таких рівнянь по заданому графу. У лівій частині кожного рівняння варто похідна за часом від ймовірності перебування системи в k-му стані в момент часу t. Кількість членів у правій частині одно алгебраїчній сумі добутків інтенсивностей переходів на відповідні ймовірності перебування системи в тих вузлах графа, звідки відбувається безпосередній перехід системи в інші (сусідні) вузли. Причому, доданком, яким відповідають виходять з k-го вузла стрілки графа, приписується - знак мінус, а що входить - знак плюс. Як бачимо рівняння (32) складено за цим правилом.
Застосовуючи перетворення Лапласа:
(37)
систему диференціальних рівнянь зводимо до алгебраїчної, розв'язуючи яку отримаємо
(38)
Знаючи зображення по Лапласа знаходимо
(39)

Вирішуючи (39), отримаємо

, (40)
де (41)

Остаточно

, (42)
де (43)
Наприклад, m = 1, a / b = 1
B ₀ (1) = 1 + n; B _{1 (1)} = n
(44)
(45)

(46)
З аналізу виразу (46) випливає, що розподіл часу безвідмовної роботи резервованої системи відмінно від експоненціального розподілу, навіть, якщо всі її елементи мають такий розподіл.

8. Надійність резервованої системи з автоматом контролю і комутації

1. Вплив надійності АКК на працездатність системи. Вимоги до надійності автомата.
До цих пір припускали, що АКК абсолютно надійний.
Зробимо наступні припущення:
1) Виявлення та заміна відмовили елементів у системі відбувається миттєво.
2) Інтенсивність відмов позначимо як a і в
3) f _a (t) = ne ^{- n t}
4) Умови роботи елементів незалежні.
5) Відмова АКК не призводить до відмови системи до наступної відмови елемента.
Очевидно, що АКК може відмовити до того як буде використано весь резерв, тобто він теж визначає надійність системи.

Можна показати, що

(47)
(48)

Література
1. Дружинін Г.В. Надійність автоматизованих виробничих систем.
М. Вища школа, 1986.
2. Ушаков І.А. Імовірнісні моделі надійності інформаційно-обчислювальних
систем. М. Радіо і зв'язок, 1991.
3. Рябінін І.А. Надійність і безпека структурно-складних систем. Санкт-Петербург, Політехніка, 2001.
4. Афанасьєв В.Г., Зеленцов В.А., Миронов А.І. Методи аналізу надійності і критичності відмов складних систем. Міністерство оборони, 1992.
5. Райншке К., Ушаков І.А. Оцінка надійності систем з використанням графів, М. Радіо і зв'язок, 1998.
6. Рябінін І.А., черкесів Г.М. Логіко-імовірнісні методи дослідження надійності структурно-складних систем. М. Радіо і зв'язок, 1986.
7. Барлоу Р., Прошан А. Математична теорія надійності. Пер. з англ. Під ред Гнеденко Б.В., М. Рад. Радіо, 1969.
8. Заде Л. Поняття лінгвістичної змінної та його застосування до прийняття наближених рішень. Пер. з англ. - М., Мир, 1976.
9. Кофман А. Введення в теорію нечітких множин Пер. з франц. М. Радіо і зв'язок, 1982.