Кафедра загальної та прикладної геофізики
Курсова робота з сейсморозвідці на тему:
Моделювання та визначення основних властивостей хвилі Лява
Виконали: студенти 3-го курсу
Блінов І.В.
Медведєва В.А.
Іонов А.М.
Перевірив:
Доц. Сердобольський Л.А.
Дубна, 2005
Зміст
Введення
Теоретичне обгрунтування хвиль Лява
Розрахункова частина
Список літератури
Введення
У однорідної безмежному середовищі, як випливає з фізико-геологічних основ сейсморозвідки, може існувати три типи об'ємних сейсмічних хвиль: одна поздовжня P і дві поперечні - SH і SV. При появі в середовищі сейсмічних кордонів будь-яка з цих хвиль внаслідок явищ відображення і заломлення породжує клас вторинних об'ємних хвиль - відбитих та заломлених (головних) сейсмічних хвиль. Існування вільної сейсмічної границі L 0 - поверхні півпростору, що контактує з вакуумом (або повітряним середовищем), зумовлює появу ще одного, особливого, класу хвиль - поверхневих сейсмічних хвиль.
Пружні хвилі, порушувані пружним сейсмічними джерелом, що знаходяться на поверхні однорідного ізотропного пружного півпростору з пружними модулями λ, μ, ρ, вперше вивчені Лемб. З отриманих ним результатів випливає, що в такому середовищі з'являються поверхневі хвилі. Поверхнева хвиля Лява одна з таких хвиль.
У сейсморозвідці досліджувані в роботі хвилі грають зазвичай роль перешкод. Тому знання їх властивостей необхідно для боротьби з ними. При вирішенні завдань інженерної сейсморозвідки поверхневі хвилі служать достатньо надійним джерелом відомостей про характер розподілу швидкості поширення поперечних хвиль у верхній частині розрізу.
При веденні сейсмічних робіт на поперечних SH хвилях у шаруватому (неоднорідному по вертикалі) півпросторі порушуються поперечні поверхневі хвилі, які прийнято називати хвилями Лява.
Для цих хвиль характерна залежність фазової швидкості поширення від частоти реєстрації. Це явище прийнято називати частотної дисперсією.
Теоретичне обгрунтування хвиль Лява
Розглянемо середовище, що складається з однорідного півпростору, перекритого однорідним шаром потужності h. Покрівля цього шару є вільною межею. Зробимо природне припущення, що швидкість розповсюдження поперечних хвиль у шарі V S 1 менше швидкості поширення поперечних хвиль V S 2 в півпросторі. Припустимо, що в таких умовах проводяться сейсмічні роботи з використанням поперечних хвиль типу S Н. У цьому випадку поряд з об'ємними хвилями S Н можуть існувати родинні їм поверхневі хвилі типу Лява. Початок декартової системи координат помістимо на денній поверхні. Вісь 0 Z направимо вертикально вниз, вісь ОХ - у напрямку поширення сейсмічних хвиль. Відповідно до припущенням про структуру сейсмічних хвиль вектор зсуву в шуканої хвилі повинен мати вигляд в шарі:
(1)
в півпросторі:
, (2)
де ω - кругова частота; V L - швидкість розповсюдження шуканої хвилі Лява. U і W компоненти вектора зміщення, які вводяться наступним чином:
і
Як було показано раніше, вектор зсуву і всі його компоненти повинні задовольняти хвильовому рівнянню виду:
. (3)
Підставляючи в це рівняння відповідно компоненти V 1 (х, z, t) і V 2 (х, у, t), отримаємо, що шукані функції А (z) і В (z) повинні бути вирішенням наступних диференціальних рівнянь:
;
; (4)
З очевидних фізичних міркувань слід допустити, що шукана швидкість поширення хвиль Лява повинна бути укладена в інтервалі
. (5)
При цих припущеннях в якості рішень, що забезпечують спадання амплітуди коливань у хвилі Лява у нескінченності (по осі OZ), слід взяти:
; (6)
, (7)
де А 01, А 02, В 01 - константи інтегрування.
Граничні умови на вільній поверхні вимагають звернення до нуль всіх компонент нормального вектора напруги Р z. У силу зробленого припущення про структуру компонент вектора зміщення, це умова еквівалентно наступного:
. (8)
На кордоні шару і півпростору повинна виконуватися безперервність компонент вектора напруги і вектора зміщення. Ці умови, як легко бачити, трансформуються в наступні два рівняння:
; (9)
. (10)
З урахуванням (5) компоненти зміщення можуть бути представлені у вигляді:
; (11)
, (12)
де ;
.
Підставляючи вираз для зсуву в першому шарі в граничну умову (8), отримаємо: А 01 = 0. З урахуванням цього результату з умови (9) легко отримати рівняння
. (13)
Виконавши третє крайове умова (10), одержимо рівняння
. (14)
Розглядаючи (13) і (14) як систему двох лінійних рівнянь відносно двох невідомих А 02 і B 01, можна зробити висновок, що нетривіальне рішення цієї системи буде можливо тільки у випадку рівності нулю її головного визначника
. (15)
Це рівняння доцільно представити у вигляді:
, (16)
де ;
.
Якщо це рівняння записати у іншому вигляді і врахувати багатозначність функції arctg, то основне характеристичне рівняння (16) розв'язуваної задачі можна представити у вигляді:
, (17)
де k - ціле число, що визначає порядок (номер) гармоніки хвилі Лява. Значення k = 0 відповідає першій, основній гармоніці хвиль Лява. Отримане характеристичне рівняння є трансцендентним. Воно визначає незліченна безліч залежностей (V L (ω)) k шуканої швидкості хвиль Лява від параметрів розрізу і частоти.
Знайдена швидкість хвилі Лява носить назву фазової швидкості та її величина, крім іншого, залежить від частоти коливань і номери гармоніки k - номери кореня рівняння (17). Це означає, що в досліджуваному розрізі може спостерігатися ціла серія гармонік хвиль Лява. У реальних умовах в залежності від параметрів розрізу і частоти, звичайно можуть спостерігатися дві або більше гармонік (рис.1).
З рівняння (17) випливає, що при необмеженому збільшенні частоти (ω → ∞) фазова швидкість будь-гармоніки хвиль Лява асимптотично наближається до швидкості поширення поперечних хвиль у шарі. Навпаки, при необмеженому зменшенні частоти (ω → 0) фазові швидкості всіх гармонік наближаються до значення швидкості поширення поперечних хвиль у півпросторі (рис).
Перепишемо рівняння (17) в наступному вигляді
, (18)
Скористаємося тим, що
(18а)
тоді підставляючи (18а) у (18), отримаємо
. (19)
Розглянемо граничні випадки:
Коли V L = V 1 і ω → ∞, то , Очевидно λ → 0.
Коли V L = V 2 і ω → ∞, то λ → ∞.
Рис.1. Запис гармонік поверхневих хвиль Лява: 1 - перша гармоніка; 2 - друга гармоніка
Знайшовши коріння характеристичного рівняння (17) - чисельну залежність фазової швидкості від частоти для конкретної гармоніки k - компоненти векторів зсуву в шарі і півпросторі можна розрахувати за формулами:
; (18)
. (19)
Отримані формули описують всі кінематичні та динамічні особливості поширення гармонік хвиль Лява у розглянутій моделі середовища.
Розрахункова частина
Тепер розглянемо залежність швидкості хвилі Лява від частоти (рис.2). Тут ми взяли наступні константи, що характеризують систему, що складається з двох шарів, плотностями ρ 1 = 2,2 г / см 3, ρ 2 = 2,4 г / см 3, вважаємо, що швидкість хвилі в першому шарі V 1 = 800 м / с, а в другому - V 2 = 1400 м / с. Потужність перекриває шару h = 10 м. На графіку зображено залежності при різних k = 0, 1,2. Очевидно, що графік 1 відповідає випадку k = 0. Зауважимо, що всі криві прагнуть до значення V L = V 1, тоді частота f прагне до нескінченності. Верхньої асимптотой служить значення швидкості в півпросторі. Варто зазначити, що графік 1 для основної моди фазової швидкості хвилі Лява, а решта - це вищих гармонік.
Рис.2. Залежність частоти хвилі від її швидкості.
Розглянемо тепер залежність довжини хвилі λ від швидкості хвилі V L. Використовуючи формулу
Отримаємо для тих же значень щільності, швидкості і потужності h відповідний графік (рис.3).
Тут видно, що при k = 0 ми отримуємо графік 1, відповідно при k = 2 отримаємо графік 3. Сенс полягає в тому, що при рівності швидкості хвилі Лява швидкості в першому шарі, довжина хвилі при цьому прагне до 0. І, навпаки, якщо швидкість хвилі Лява наближається до швидкості в другому шарі, то довжина хвилі прагне до нескінченності.
Рис.3. Залежність довжини хвилі від її швидкості.
Тим самим, ми показали, що швидкість хвилі цілком і повністю залежить від параметрів розрізу і частоти.
Список літератури
Бондарєв В.І., 2000, Основи сейсморозвідки. Єкатеринбург: Изд-во УГГГА.
Сейсморозвідка: Довідник геофізика, 1990 / Під ред.В.П. Номоконова. М.: Недра.
Гурвич І.І., Боганік Г.Н., 1980, Сейсморозвідка. М.: Недра.