Білоруський державний університет інформатики і радіоелектроніки
Кафедра РТС
РЕФЕРАТ
На тему:
"Метод статистичної та гармонійної лінеаризації. Розрахунок автоколивань за критерієм Найквіста"
МІНСЬК, 2008

Метод статистичної лінеаризації

Метод заснований на заміні нелінійного перетворення процесів статистично еквівалентними їм лінійним перетвореннями. Нелінійний елемент замінюється лінійним еквівалентом (рис.1). У результаті заміни система лінеарізуется, що дозволяє використовувати методи дослідження лінійних систем.
Заміна нелінійного перетворення лінійним є наближеною і справедливою лише в деяких відносинах. Тому не існує однозначної еквівалентності при використанні різних критеріїв.
Зокрема, якщо нелінійність визначається безінерційної залежністю виду
, (1)
використовується два критерії еквівалентності.

Рис.1.
Перший критерій передбачає рівність на виході нелінійного елемента і його лінійного еквівалента математичних сподівань і дисперсій процесів.
Другий критерій - мінімум середнього квадрата різниці процесів на виході нелінійного елемента і його лінійного еквівалента.
Процес на вході і виході нелінійного елемента представимо у вигляді:
, (2)
, (3)
де ─ математичне сподівання процесу на виході НЕ;
─ центрована випадкова складова.
Процес на виході лінійного еквівалента представляється в наступному вигляді:
, (4)
де ─ коефіцієнт передачі лінійного еквівалента по математичному очікуванню; ─ коефіцієнт передачі по центрованої випадкової складової.
Скористаємося першим критерієм еквівалентності:
. (5)
З цих рівнянь знаходимо
;
,
де ─ щільність ймовірності процесу на вході нелінійного елементу.
- Коефіцієнт передачі лінійного еквівалента по центрованої випадкової складової (по першому критерію).
За другим критерієм еквівалентності:
;
;
;
;
Для визначення і , При яких виконується умова еквівалентності, знайдемо часткові похідні і прирівняємо їх нулю:
;
; ; .
При розрахунку цих коефіцієнтів вважають, що розподіл на вході нормальне:
;
Визначивши величини
; .
для типових нелінійностей, замінюють останні коефіцієнтами передачі лінійного еквівалента і аналізують систему лінійними методами.
Для основних типів нелінійностей і нормальному розподілі вхідного процесу коефіцієнти розраховані та представлені у вигляді табличних значень. Зокрема, для характеристики релейного типу (рис.2)

Рис.2. Характеристика релейного типу:
;
коефіцієнти рівні:
; ; ;

Метод гармонійної лінеаризації

Основи методу.
Метод використовується для дослідження нелінійних систем, описуваних диференціальними рівняннями різного порядку. Ефективний для розрахунку параметрів власних коливань у системі, використовується також для аналізу точності при гармонійному задаючому впливі.
Розглянемо метод стосовно розрахунку параметрів власних коливань у нелінійній системі.
Розділимо систему на лінійну частину і нелінійне ланка (рис.3).

Рис.3. Модель нелінійної системи.
Рівняння лінійної частини:
, (6)
При виникненні автоколивань процес на виході лінійної частини не є строго гармонійним, але ми будемо вважати, що лінійне ланка є фільтром нижніх частот і придушує всі гармоніки, за винятком першої. Це припущення називається гіпотезою фільтра. Якщо вона не підтверджується, то помилки при застосуванні гармонійної лінеаризації можуть бути значними.
.
Нехай
; . (7)
Уявімо у вигляді ряду Фур'є:
; (8)
Вважаємо, що
.
Це справедливо, якщо симетрична відносно початку координат і відсутній зовнішній вплив. Вважаючи, що вищі гармоніки придушуються, будемо шукати тільки і
З рівняння (7) знаходимо:
; . (9)
Підставивши (8. 20) в (8. 19) і обмеживши ряд доданками першої гармоніки, отримаємо:
(10)
де
(11)
Таким чином, нелінійне рівняння для замінили наближеним лінійним рівнянням (11) для першої гармоніки.
і називають гармонійними коефіцієнтами передачі нелінійного ланки. Коефіцієнти і в даному випадку залежать від амплітуди, при більш складної нелінійної залежності залежать ще й від частоти.
Розраховані значення коефіцієнтів гармонійної лінеаризації для типових нелінійностей можна знайти в підручниках та довідкової літератури.
Передавальна функція розімкнутої системи може бути представлена ​​в наступному вигляді:
; ;
де ─ еквівалентна передатна функція нелінійно - го ланки.
Частотна передатна функція розімкнутої системи
.
Характеристичне рівняння
.
Модуль частотної передавальної функції нелінійного ланки
.
Фазочастотная характеристика
; ( )
Модуль визначає відношення амплітуд, а фазовий зсув на виході відносно вхідного сигналу.
Якщо симетрична відносно початку координат, однозначна і не має гістерезису, то і тоді
.
Часто при аналізі використовується величина зворотна . Вона називається гармонійним імпедансом нелінійного ланки:
.
Розрахунок автоколивань за критерієм Найквіста
Відповідно до критерію Найквіста будується годограф частотної передавальної функції розімкнутої системи

Умовою виникнення в системі коливань є проходження амплітудно-фазової характеристики через точку (-1, j0) комплексної площини. Для визначення умов проходження годографа через цю точку прирівняємо
.
Щоб вирішити це рівняння можна, задаючи значення амплітуди, будувати амплітудно-фазову характеристику (ріс.8.18) Значення амплітуди а = А, при якій АФХ пройде через точку (-1, j0) буде відповідати амплітуді власних коливань. Значення частоти визначають за частотою в точці (-1, j0).

Рис.4. Амплітудно-фазова характеристика нелінійної системи.
Тоді шукане коливання
.
При нелінійної залежності виду передавальну функцію розімкнутої системи можна представити у вигляді
. (12)

Це рівняння вирішується графічним методом (рис. 5).
Будуємо амплітудно-фазову характеристику лінійного ланки і криву імпедансу нелінійного ланки. Визначаємо точку перетину. Частоту визначимо за АФХ лінійного ланки в точці перетину. Амплітуду А визначимо по кривій імпедансу нелінійного ланки.
Щоб визначити чи є коливання стійкими автоколиваннями, потрібно задати прирощення амплітуди ; При цьому крапка на імпеданс зміщується вліво вниз. Це буде відповідати зменшення , Отже, крива годографа ПФ розімкнутої системи не буде охоплювати точку з координатами . Тому амплітуда коливань почне зменшуватися, і система повернеться в початковий стан. Те саме буде і при негативному прирості.
Критерій стійкості періодичного режиму зводиться до того, щоб частина кривої відповідна меншим амплітудам, охоплювалася амплітудно-фазовою характеристикою лінійної частини.
При відсутності в системі періодичних режимів (рішення рівняння (8.23)) можна припустити, що система буде стійка.
Умова стійкості рівноважного стану (відсутності автоколивань): при стійкої або нейтральною в розімкнутому стані лінійної частини її АФХ не охоплює годограф .

ЛІТЕРАТУРА

1. Коновалов. Г.Ф. Радіоавтоматики: Підручник для вузів. - М.: Вищ. шк., 2000.
2. Радіоавтоматики: Учеб. посібник для вузів. / Под ред. А. Бесекерскій. - М.: Вищ. шк., 2005.
3. Первак С.В. Радіоавтоматики: Підручник для вузів. - М.: Радіо і зв'язок, 2002.
4. Цифрові системи фазової синхронізації Під ред. І. Жодзішского - М.: Радіо, 2000.