Метод розрахунку скейлінгових констант Фейгенбаума для одновимірних дискретних відображень по крапках надстійке [ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати. скачати Антон Никифоров Нагадаю для початку деякі факти з теорії універсальності Мітчелла Фейгенбаума. Будемо називати безперервне відображення відрізка в себе унімодальному, якщо всередині відрізка є точка екстремуму і по обидві сторони від неї відображення є строго монотонним (з однією з сторін зростаючим, з іншого убутним). Домовимося далі розглядати тільки унімодальне відображення виду (1) Якщо послідовність {} при даному r складається з n точок, таку послідовність будемо називати n-циклом, що = f (), = f (), ..., = f () або . Зауважимо, що похідна порядку n функції (n раз обчисленої функції f (x)) у точці x за правилом диференціювання складної функції рівна. Точки циклу, що задовольняють співвідношенню (2) називаються нерухомими. Величина (так званий мультиплікатор) визначає стійкість n-циклу, її прийнято називати стійкістю (stability, [2], p.121). n-цикл називається стійким, якщо TD width = 10% style = 'width: 10.0%' P style = 'margin-top: 6.0pt' FONT style = 'font-size: 14.0PT' FONT style = 'font-size: 12.0pt '(3) / FONT / FONT / P / TD / TR / TABLE P style =' margin-top: 6.0pt 'Дане співвідношення зустрічається також і в наступному записі: / P TABLE border = 0 style =' width: 100.0 % 'TR TD width = 90% style =' width: 90.0% 'P style =' margin-top: 6.0pt 'FONT style =' font-size: 14.0PT 'FONT style =' font-size: 12.0pt 'IMG width = 145 height = 25 src = "http://images.km.ru/education/referats/img/43636 ~ 016.gif", n>> 1 ([1], стор 49),

(3.1)

Казку про те, як Фейгенбаум сидів у тіні дерев і обчислював їх на своєму калькуляторі HP-65 із золотистими кнопочками ви, напевно, чули. Це був перший програмований калькулятор і коштував ні багато ні мало аж 400 (четиреста!) доларів. Наївно думати, що своє дивовижне відкриття Фейгенбаум зробив, користуючись виключно калькулятором: все-таки в той час він працював у Лос-Аламосі, а у військових завжди були і будуть найпотужніші комп'ютери у світі, проте відкриття дійсно було чудовим - які б унімодальне відображення ми не розглядали, скейлінг для них (тобто "чарівні" числа і) буде тим же самим.

Алгоритм

Цікаво, що точки також можна використовувати для розрахунку, цим факт ми і будемо використовувати надалі. Звернемо увагу, що в точках мультиплікатор завжди дорівнює нулю, що автоматично означає стійкість цих циклів:

Для довільних ж-циклів справедливий вираз:

Рівняння (5.3) легко вирішується щодо параметра, наприклад, за допомогою методу послідовних ітерацій Ньютона:

Тут i - номер ітерації. Таким чином, весь процес обчислення, скажімо, константи зводиться до знаходження таких значень параметра R, при яких біфуркаційні діаграми перетинає лінію. Для цього необхідно вирішити рівняння (6), проітеріровав його раз.

На вхід подається:

Починаємо ітерованих функцію f cо наступного значення:

Ітеріруем похідну функції починаючи з

Початкові наближення двох значень параметра R:,

Розумне початкове наближення для постійної:

На виході отримуємо:

А весь процес може бути описаний такими виразами:

, N = 2,3,4, ...

, I = 0,1,2, ...

Розглянемо на прикладах як виглядають безпосередні обчислювальні формули.

ПРИКЛАД 1:

При цьому значенні функція f буде залежати тільки від константи r, позначимо цю функцію як. Тоді попереднє рівняння можна буде переписати:

ПРИКЛАД 2:

ПРИКЛАД 3:

Програму розрахунку константи ви можете знайти тут. Її легко модіціфіровать для розрахунку постійною, що надається проробити читачеві. Результат розрахунку залежно від кроку i наводиться нижче.

Список літератури

[1] Г. Шустер, "Детермінований хаос. Вступ", М: Світ, 1988

[2] K. Briggs "Feigenbaum Scaling in Discrete Dynamical Systems", PhD thesis, 1997

[3] Є. Б. Вул, Я. Г. Синай, К. М. Ханін, "Універсальність Фейгенбаума і термодинамічний формалізм", УМН, Т.39, вип.3 (237), 1984

[4] М. Фейгенбаум, "Універсальність в поведінці нелінійних систем", УФН, т.141, вип.2, жовтень 1983

[5] М. М. Каліткін, "Чисельні методи", М: Наука, 1978

[6] Метод Ньютона