Логічний висновок на основі нечіткої метаімплікаціі

О.А. Меліхова

У роботі докладно розглянуто суть логічного висновку на основі нечіткої метаімплікаціі, за допомогою прикладів показана Максиміна згортка нечітких відносин, використовувана в моделях прийняття рішень і при розпізнаванні нечітких образів.

При виконанні нечітких висновків використовуються нечіткі відповідності R, задані між однією проблемною областю (безліч X) та іншої областю (безліч Y) у вигляді нечіткого підмножини прямого твори , Що визначається за формулою [7,13]:

, (1.1)

де - Область відправлення, - Область прибуття, - Функція належності непевному відповідності R, а знак означає сукупність (об'єднання) множин.

Якщо існує правило типу "якщо A, то B", що використовує нечіткі множини A і B , То один із способів побудови нечіткого відповідності R полягає в наступному:

або

, (1.2)

де - Функції приналежності елементів x, y відповідно множинам A і B.

Приклад 1. Нехай X і Y-області натуральних чисел від 1 до 4. Визначимо наступним чином нечіткі множини: A = "маленькі", B = "великі".

X = Y = {1,2,3,4}, тобто для прикладу взято окремий випадок відповідності-відношення на множині {1,2,3,4}:

Для прикладу "якщо x маленьке, то y велике" (або , Де знак означає операцію нечіткої метаімплікаціі) можна побудувати нечітке відношення R наступним чином:

		y1	y2	y3	y4
	x1	0	0,1	0,6	1
R =	x2	0	0,1	0,6	0,6
	x3	0	0,1	0,1	0,1
	x4	0	0	0	0

Як елементи матриці R записані значення , Обчислені за формулою (1.2).

Для згортки нечітких відносин частіше вибирається згортка max-min (Максиміна композиція). Нехай R - чітка відповідність множини X і множини Y, а S - чітка відповідність множини Y і безлічі V. Тоді чітка відповідність між X і V визначається як згортка (композиція) , Де

або

. (1.3)

Приклад 2. Нехай і задані нечіткі множини A = "Не маленькі", H = "Дуже великі", де

Тоді для правила "якщо y не маленьке, то v дуже велике" (або ), Відповідно до формули (1.2) чітка відповідність S визначається як

		v1	v2	v3	v4
	y1	0	0	0	0
S =	y2	0	0	0,4	0,4
	y3	0	0	0,5	0,9
	y4	0	0	0,5	1

Якщо тепер за формулою (1.3) обчислити згортку max-min з нечітким відношенням R, отриманими в прикладі 1.1, то з двох відносин:

якщо x маленьке, то y велике,

якщо y не маленьке, то v дуже велике

можна побудувати нечітке відношення з X в V.

Модель прийняття рішень на основі композиційного правила виводу описує зв'язок всіх можливих станів складної системи з керуючими рішеннями. Формально модель задається у вигляді трійки (X, R, Y), де - Базові множини, на яких задані, відповідно, входи і виходи системи, R - чітка відповідність "вхід-вихід". Відповідність R будується на основі словесної якісної інформації фахівця (експерта), шляхом безпосередньої формалізації його нечітких стратегій. Експерт описує особливості прийняття рішень при функціонуванні складної системи у вигляді ряду висловлювань на кшталт "якщо , То , Інакше, якщо , То , Інакше, ..., якщо , То ". Тут , ,..., - Нечіткі підмножини, визначені на базовому множині X, а , ,..., - Нечіткі підмножини з базового безлічі Y. Всі ці нечіткі підмножини задаються функціями належності і .

Спосіб побудови нечіткого відносини пов'язує висловлювання експерта за правилом "якщо , То "І визначається функцією приналежності , Одержуваної за формулою (1.2). Зв'язка "інакше" між правилами розуміється як або-зв'язка, оскільки загальне нечітке відношення складається з: правило 1, або правило 2, або, ..., або правило N. Тому загальне ставлення R формально визначається наступним чином:

, Де i = 1 ,..., N. (1.4)

Якщо припустити, що ми маємо нечітке подія , Тобто вхідні ситуацію, представлену нечітким підмножиною, і відомо загальне ставлення R, тоді результуюче дію виводиться по композиційному правилом виводу: . Значення функції належності для обчислюється за допомогою максимінної операції, яка визначається рівнянням

. (1.5)

Розглянутий логічний висновок на основі нечіткої узагальненої метаімплікаціі добре зарекомендував себе при використанні в експертних системах, а також при прийнятті рішень в реальному масштабі часу в задачах управління та контролю.

Список літератури

Заде Л.А. Основи нового підходу до аналізу складних систем і процесів прийняття рішень. / М.: Математика сьогодні, 1974, с.5-49.

Дюбуа Д., Прад А. Теорія можливостей. Додатки до подання знань в інформатиці. Пер. з франц. М.: Радіо і зв'язок, 1990, 288с.

		y1	y2	y3	y4		v1	v2	v3	v4
	x1	0	0,1	0,6	1	y1	0	0	0	0
=	x2	0	0,1	0,6	0,6	y2	0	0	0,4	0,4	=
	x3	0	0,1	0,1	0,1	y3	0	0	0,5	0,9
	x4	0	0	0	0	y4	0	0	0,5	1
		v1	v2	v3	v4
	x1	0	0	0,5	1
=	x2	0	0	0,5	0,6
	x3	0	0	0,1	0,1
	x4	0	0	0	0