Аналіз і вибір рішень на основі нечіткої монотонної експертної інформації

Л.С. Берштейн, А.В. Боженюк

Перед розробниками експертних систем (ЕС) в області штучного інтелекту стоять, як правило, наступні три завдання: вибір представлення експертної інформації про предметну область у системі; вибір і (або) обгрунтування підходу до прийняття рішення (ПР) на основі цієї інформації; розробка алгоритмів , що реалізують обраний підхід до ПР.

У випадку, коли при вирішенні першого завдання використовується нечітке уявлення інформації (в термінах нечітких і лінгвістичних змінних), виникають завдання оцінки цієї інформації на предмет її несуперечності (або оцінки ступеня її несуперечності), а також завдання співвідношення цієї інформації і бажаної точності отримання результату. Це вказує на необхідність попереднього аналізу нечіткої експертної інформації. Даний аналіз дозволив би:.

1.Оценіть відповідність наявної нечіткої інформації вимогам, яким на думку користувача ЕС, повинні задовольняти одержувані рішення;

2. Знайти "вузькі місця" такої інформації з метою її коригування (наприклад, шляхом додавання додаткових питань експерту про вибір рішення в таких "місцях").

Для проведення такого аналізу введемо поняття відношення впорядкування на значеннях лінгвістичної змінної та монотонності нечіткої експертної інформації.

Визначення 1. Нехай - Лінгвістична змінна [1], визначена на множині Х і має базові значення , . Тут - Нечіткі змінні з унімодальному функціями належності , . Введемо на множині базових значень Т ставлення впорядкування наступним чином:

Іншими словами , Якщо значення , Для якого функція приналежності приймає своє найбільше значення 1, не більше значення, на якому функція також приймає значення 1.

Визначення 2. Позначимо через - Узагальнену лінгвістичну змінну, приймаючу значення . Нехай , А .

Будемо вважати, що:

Нехай процес ПР характеризується вибором деякого значення параметра V, на яке впливають значення параметрів X, Y ,..., Z. Ввівши лінгвістичні змінні , , ,..., з безліччю базових значень відповідно , , ,..., І експертну інформацію про вибір рішення представимо у вигляді системи нечітких висловлювань :

Аналіз і вибір рішень на основі нечіткої монотонної експертної інформації

Тут , ,..., і .

Фактично нечітка система висловлювань представляє собою деяку функцію , Визначену на множині базових значень узагальненої лінгвістичної змінної.

Зафіксуємо довільні значення , ,..., .

Визначення 3. Систему нечітких висловлювань назвемо монотонної за параметром X, якщо справедливий вираз:

Аналіз і вибір рішень на основі нечіткої монотонної експертної інформації або

Визначення 4. Систему нечітких висловлювань монотонну за всіма параметрами X, Y ,..., Z, назвемо просто монотонної нечіткою системою.

Властивість 1. Для того, щоб система нечітких висловлювань була монотонною, необхідно і достатньо, щоб виконувалася умова:

або

У роботі [2] була запропонована загальна схема вибору значень параметрів при нечіткої експертної інформації. Відповідно до неї, при заданих вхідних параметрах X, Y ,..., Z, вибирається таке підмножина значень вихідного параметра V, для елементів якого ступінь істинності правила modus ponens для нечіткої схеми виводу

Аналіз і вибір рішень на основі нечіткої монотонної експертної інформації (1)

приймає своє найбільше значення. Тут - Система нечітких експертних висловлювань. - Висловлювання типу . Величини x, y ,..., z - конкретні значення вхідних параметрів X, Y ,..., Z. - Висловлювання типу , Величина v - значення з підмножини .

Ступінь істинності правила modus ponens для схеми виводу (1) визначиться виразом:

. (2)

де n - число висловлювань в системі .

Властивість 2. Для заданих значень x, y ,..., z вхідних параметрів функція є безперервною на множині значень параметра V.

Властивість 3. Якщо система має властивість монотонності, то функція унімодальному, чи досягає свого максимуму на деякому інтервалі безлічі значень параметра V.

Позначимо через . Тоді вираз (2) можна переписати у вигляді:

де m - безліч базових значень лінгвістичної змінної .

Властивість 4. Якщо система має властивість монотонності, то справедливі нерівності

, При ,

, При .

Дана властивість дозволяє запропонувати наступні алгоритми знаходження значень параметра V, для яких величина ступеня істинності досягає свого найбільшого значення.

Відсортуємо спочатку значення в порядку їх збільшення. Будемо вважати, що , Де відповідає деякому .

Розглянемо спочатку алгоритм для більш простого випадку. Нехай - Носії нечітких множин, відповідні нечітким змін-ним . Нехай виконується умова:

. (3)

Іншими словами, для будь-якого значення параметра V число функцій принад-лежності, одночасно не рівних 0, не перевищує двох. Приклад такого випадку показаний на рис.1.

При виконанні умови (3), алгоритм визначення множини значень параметра V, буде мати вигляд:

. Визначаємо підмножина , Для елементів якого справедливий вираз: .

Якщо підмножина, то і . Перехід на.

. Якщо , То визначаємо єдине значення , При якому виконується умова: . У цьому випадку .

. Кінець.

Зауважимо, що п. завжди виконаємо, тому що відповідно до властивості 4, функції приналежності і відповідають "сусіднім" нечітким змінним і у яких .

Розглянемо тепер алгоритм для більш складного випадку, коли умова (3) може не виконуватися. У цьому випадку, алгоритм визначення множини значень параметра V, набуде вигляду: