Міністерство Освіти, Молоді та Спорту
Республіки Молдова
Державний університет Молдови
Курсова Робота
Тема: Електрон у шарі.
Роботу виконав студент 3-го курсу: Радченко Андрій |
Кишинів 1997
Мікрочастинка (електрон) в шарі.
Власне кажучи, одномірна задача, яка зараз буде розглянута, у багатьох навчальних посібниках досить докладно розібрана шляхом введення деяких спрощень.
Вона полягає в наступному:
Мікрочастинка (електрон) рухається вздовж осі x, і її рух повністю визначається наступним гамильтонианом:
ì-ћ2 / (2m) × ¶ 2 / ¶ x2 + U0, x <-a
Ù ï
H = í-ћ2 / (2m0) × ¶ 2 / ¶ x2,-a <x
ï
î-ћ2 / (2m) × ¶ 2 / ¶ x2 + U0, x> a
Де m - ефективна маса електрона в областях I, III;
m0 - ефективна маса електрона в області II.
Запишемо рівняння Шредінгера для кожної області:
ì ¶ 2YI / ¶ x2 + 2m/ћ2 × (E - U0) YI = 0, x £-a
ï
í ¶ 2YII / ¶ x2 + 2m0/ћ2 × E × YI = 0,-a £ x £ a
ï
î ¶ 2YIII / ¶ x2 + 2m/ћ2 × (E - U0) × YI = 0, x ³ a
Область I:
Загальний вигляд розв'язку рівняння Шредінгера для перших області записується відразу:
YI (x) = A × exp (n × x) + B × exp (-n × x).
Використовуючи властивість обмеженості хвильової функції, ми прийдемо до того що B = 0. Значить,
YI (x) = A × exp (n × x).
Хвильова функція для другої області теж елементарно визначається:
YII (x) = C × exp (i × k × x) + D × exp (- i × k × x).
Функція стану для третьої області виглядає так:
YIII (x) = F × exp (-n × x).
Де
k = (2m0 × E/ћ2) 1 / 2
n = (2m × (U0-E) / ћ2) 1 / 2.
Стратегія наших подальших дій буде полягати в наступному:
Напишемо систему з 4 рівнянь, задоволення яких еквівалентно задоволенню функціями граничним умовам.
У цій системі з 4 рівнянь будуть фігурувати невідомі коефіцієнти A, C, D і F. Ми складемо лінійну однорідну систему відносно них.
Ясно, що існування нетривіальних рішень допускається тільки у випадку коли детермінант системи дорівнює нулю. Як з'ясується трохи пізніше, з цього вельми корисного факту ми витягнемо рівняння, коренями якого будуть можливі рівні енергії.
Приступимо до здійснення першого пункту, тобто запишемо умови зшивання хвильових функцій:
YI (x =- a) = YII (x =- a)
YII (x = a) = YIII (x = a)
YI ¢ (x =- a) / m = YII ¢ (x =- a) / m0
YII ¢ (x = a) / m0 = YIII ¢ (x = a) / m
А в наших визначеннях цих функцій це виглядає так:
A × exp (-n × a) = C × exp (- i × k × a) + D × exp (i × k × a)
m-1 × A × n × exp (-n × a) = i × k × / m0 × (C × exp (- i × k × a) - D × exp (i × k × a))
C × exp (i × k × a) + D × exp (- i × k × a) = F × exp (-n × a)
i × k × / m0 × (C × exp (i × k × a) - D × exp (- i × k × a)) = - n / m × F × exp (-n × a).
Тепер складемо визначник:
| Exp (-n × a)-exp (- i × k × a)-exp (i × k × a) 0 |
| M-1 × n × exp (-n × a) -1/m0 × i × k × exp (- i × k × a) 1/m0 × i × k × exp (i × k × a) 0 |
| 0 exp (i × k × a) exp (- i × k × a)-exp (-n × a) |
| 0 1/m0 × i × k × exp (i × k × a) -1/m0 × i × k × exp (- i × k × a) 1 / m × n × exp (-n × a) |
Якщо тепер розкрити цей визначник за звичайними правилами і прирівняти його до нуля, то ми отримаємо наступне рівняння для рівнів енергії:
((N / m) 2 - (k/m0) 2) × Sin (2 × k × a) + 2 × k × n / (m × m0) × Cos (2 × k × a) = 0.
Це рівняння вирішується чисельним методом, а саме, методом Ньютона.
Знайдемо невідомі коефіцієнти A, C, D, F для більш повного опису хвильової функції. Для цього скористаємося деякими співвідношеннями, які безпосередньо випливають з умов зшивання і умови нормування.
C = F × exp (-n × a) × {exp (i × k × a) + exp (-3 × i × k × a) × (i × k/m0 - n / m) / (n / m + i × k/m0)}
D = C × exp (-2 × i × k × a) × (i × k/m0 - n / m) / (n / m + i × k/m0)
A = exp (n × a) × (C × exp (- i × k × a) + D × exp (i × k × a)).
Оскільки A, C і D лінійно залежать від F, то доцільно ввести позначення:
A = RA × F
C = RC × F
D = RD × F.
RA, RC, RD - відомі постійні.
Таким чином, якщо ми якимось чином дізнаємося константу F, то ми визначимо інші константи A, C, D. А зробимо ми це з допомогою умови нормування.
Дійсно:
YI (x) = F × RA × exp (n × x)
YII (x) = F × (RC × exp (i × k × x) + RD × exp (- i × k × x)).
YIII (x) = F × exp (-n × x).
I1 + I2 + I3 = 1
Де
I1 = | F | 2 × | RA | 2 × òQexp (2 × n × x) × dx = | F | 2 × | RA | 2 × (2 × n) -1 × exp (2 × n × x) =
= | F | 2 × | RA | 2 × (2 × n) -1 × exp (-2 × n × a)
I2 = | F | 2 × {òL | RC | 2 × dx + òL | RD | 2 × dx + RC × RD * × òLexp (2 × i × k × x) × dx +
+ RC * × RD × òLexp (-2 × i × k × x) × dx} = | F | 2 × {2 × a × (| RC | 2 + | RD | 2) +
((Exp (2 × i × k × a) - exp (-2 × i × k × a)) × RC × RD * / (2 × i × k) +
+ I × ((exp (-2 × i × k × a) - exp (2 × i × k × a)) × RC * × RD / (2 × k)}
I3 = | F | 2 × òWexp (-2 × n × x) × dx = | F | 2 × (2 × n) -1 × exp (-2 × n × a)
| F | 2 = {| RA | 2 × (2 × n) -1 × exp (-2 × n × a) + 2 × a × (| RC | 2 + | RD | 2) +
((Exp (2 × i × k × a) - exp (-2 × i × k × a)) × RC × RD * / (2 × i × k) +
+ I × ((exp (-2 × i × k × a) - exp (2 × i × k × a)) × RC * × RD / (2 × k) + (2 × n) -1 × exp ( -2 × n × a)} -1.
Тепер, коли ми знаємо F, неважко визначити коефіцієнти A, C, D, а значить і хвильову функцію, що характеризує стан електрона.
Електрон в шарах
Завдання, яке зараз буде описана, характеризується тим, що потенціал має просторової періодичністю. Схематично це зображується так.
Тобто, це ні що інше як одномірне рух електрона в періодичному полі. Графічно це можна зобразити серією потенційних бар'єрів або, як кажуть, серією потенційних сходинок.
Аналітично умова періодичності потенціалу записується дуже просто:
U (x) = U (x +2 a) (1)
Співвідношення (1) записано у припущенні, що ширина кожної потенційної ями дорівнює ширині всякого потенційного бар'єру.
Ясно, що хвильові функції, відповідні областям I, III, задовольняють одного й того ж рівняння Шредінгера:
¶ 2Y / ¶ x2 + 2m/ћ2 × (E - U0) Y = 0
отже ці функції відрізняються тільки постійним множником, який називається фазовим множником.
Цей фазовий множник ми будемо позначати наступним чином:
r = exp (i 2ak)
Тоді Y (x +2 ma) = Y (x) × rm, де m = 0, ± 1, ± 2, ... (2)
Виявляється, що достатньою для визначення дискретного енергетичного спектру (розглядається лише випадок коли E x>-a
його рішення виглядає просто:
YI (x) = A × exp (n × x) + B × exp (-n × x).
Де n = (2m2 (U0-E) / ћ2) 1 / 2
Розглянемо область II:
Рівняння Шредінгера для неї записується у вигляді:
¶ 2YII / ¶ x2 + 2m1/ћ2 × E YII = 0, a ³ x ³ 0
його рішення виглядає просто:
YII (x) = C × exp (i × p × x) + D × exp (- i × p × x).
Де p = (2m1E/ћ2) 1 / 2
Розглянемо область III:
¶ 2YIII / ¶ x2 + 2m2/ћ2 × (E - U0) YIII = 0, 2a> x> a
його рішення виглядає просто:
YIII (x) = r (A × exp (n × x) + B × exp (-n × x)).
Запишемо граничні умови:
YI (x = 0) = YII (x = 0)
YII (x = a) = YIII (x = a)
YI ¢ (x = 0) / m = YII ¢ (x = 0) / m0
YII ¢ (x = a) / m0 = YIII ¢ (x = a) / m
Підставляючи хвильові функції в цю систему рівнянь, ми отримаємо деякі зв'язки між коефіцієнтами A, B, C, D:
A + B = C + D
C exp (i pa) + D exp (- i pa) = exp (i 2 ak) (A exp (na) + B exp (-na))
(AB) n/m2 = (CD) i p / m1
(C exp (i pa)-D exp (- i pa)) i p / m1 = exp (i 2 ak) n/m2 (A exp (na)-B exp (-na))
Дотримуючись наведених вище міркувань, ми складемо визначник:
| 1 1 -1 -1 |
| Exp (i × k × 2a + n × a) exp (i × k × 2a-n × a)-exp (i × p × a)-exp (- i × p × a) |
| N/m2 -n/m2 - i × p/m1 i × p/m1 |
| N/m2exp (i × k × 2a + n × a) -n/m2 × exp (i × k × 2a-n × a) - i × p/m1 × exp (i × p × a) i × p / m1 × exp (- i × p × a) |
і прирівняємо його до нуля.
Результатом розкриття визначника буде дуже громіздке рівняння містить як невідомого енергію електрона.
Розраховані рівні енергії для різних ефективних мас наведені нижче.
a = 10; U = 10; m1 = 4; m2 = 1
0.1135703312666857 | 0.6186359585387896 | 0.2019199605676639 |
0.3155348518478819 | 0.05047267055441365 | 1.263391478912778 |
0.4544326758658974 | 2.137353840637548 | 0.808172718170137 |
2.479933076698526 | 0.4544326758658974 | 6.168062551132728 |
5.611693924351967 | 1.820461802850339 | 1.529165865668653 |
1.023077302091622 |
a = 10 U = 10 m1 = 2 m2 = 1
0.1032788024178655 | 0.2324238959628721 | 0.41331603936642 |
0.6460490460448886 | 0.930750939555283 | 1.26759057783714 |
1.656787195799296 | 2.098624192369327 | |
2.593469359607937 | 3.141805331837109 | |
3.744277072860902 | 5.887485640841992 |
a = 10 U = 10 m1 = 1 m2 = 1
0.05408120469105441 | 0.2163802958297131 | 0.4870681554965061 |
0.86644533469418 | 1.354969224117534 | 1.953300729714778 |
2.662383817919513 | 4.418966218448088 | 7.961581805911094 |
a = 10 U = 10 m1 = 0.5 m2 = 1
0.118992095909544 | 4.249561710930034 | 1.068004282376146 |
0.4754473139332004 | 5.78216724725356 | 2.955345679469631 |
1.895012565781256 |
a = 10 U = 10 m1 =. 25 m2 = 1
0.2898665804439349 | 4.30026851446248 |
2.479039415645616 | 1.132264393019809 |