Предмет: Теорія Автоматичного Управління
Тема: Гармонічна лінеаризація
Метод гармонічного балансу
Призначення: Метод гармонійного балансу (гармонійної лінеаризації) - це один з найбільш поширених інженерних методів, що дозволяє визначити наявність граничних циклів і визначити їх параметри та стійкість.
Умови застосування:
1. Нелінійну систему можна представити, що складається з двох частин: лінійної частини - і нелінійного елемента (ріс.1a).
2. Нелінійний елемент є безінерційні і має центрально-симетричну характеристику (рис.1б).
3. Лінійна частина володіє хорошими фільтруючими властивостями в області низьких частот (ріс.1в).
a) б) в)
Рис.1
Розглянемо разомкнутую систему (рис.2). На вхід нелінійного елемента надходить гармонійний сигнал. На виході нелінійного елемента сигнал вже не гармонійний, отже, його можна розкласти в ряд по гармонійним складовим.
Рис.2
У цьому розкладанні будуть тільки непарні гармоніки, так як характеристика нелінійного елемента непарна. Ці складові надходять на вхід лінійної частини, яка має гарні фільтруючими властивостями, тобто пропускає тільки першу гармоніку, всі інші будуть сильно пригнічені. Таким чином, на виході лінійної частини отриманий той же гармонійний сигнал, що й на вході нелінійного елементу. Будемо вважати, що лінійна частина є ідеальним фільтром, при цьому всю систему, в певному сенсі, можна розглядати як лінійну, і застосовувати методи теорії лінійних систем, наприклад, критерій Найквіста. Визначення стійкості граничних циклів методом гармонійного балансу. Нехай задана система, що складається з лінійної частини з АФХ - К (j w) і деякого безінерційного ланки з коефіцієнтом підсилення - до (рис.3). При цьому
. (1)
Якщо АФХ розімкнутої лінійної системи проходить через критичну точку (- 1, j0), то замкнута система знаходиться на межі стійкості (ріс.3б). При цьому відповідно до (1)
а) б)
Рис.3
Якщо система складається з лінійної частини та нелінійного ланки, то умови виникнення коливань виглядають наступним чином (рис.4а)
(2)
Це умови називається умовою гармонійного балансу, тобто виконуються умови: балансу амплітуд; балансу фаз.
(3)
Т. е. у точках перетину К (j w) і виконуються умови балансу, при цьому в системі виникають автоколивання (граничні цикли). На відміну від лінійних систем, вони можуть бути стійкими і не стійкими. Кількість точок перетину визначає кількість граничних циклів, а значення амплітуди A 0 i і частоти w 0 i в точках перетину визначає параметри автоколивань (рис.4б).
а)
Рис.4
Приклад 1. Для заданої системи (мал. 5) визначити наявність автоколивань та визначити їх стійкість.
б) в)
Рис.5
Оскільки характеристики перетинаються, то в цій системі можливі автоколивання, тобто виконуються умови гармонійного балансу. Цю систему можна представити у вигляді деякої лінійної (Рис.6).
Це можливо, якщо амплітуда дорівнює При цьому АФХ буде проходити через точку - 1. Якщо зменшити амплітуду, тобто
, То до збільшиться. Характеристика охоплює точку "-1", система не стійка.
а)
б) в)
Рис.6
При збільшенні амплітуди ( ) До зменшується. АФХ не буде охоплювати крапку "-1", амплітуда коливань убуває, система стане стійкою. Отже, автоколивання, в точці "-1" будуть стійкими.
Приклад 2. Для заданої системи (рис.7) визначити наявність автоколивань та визначити їх стійкість.
Рис.7
Розглянемо лінійну модель системи (рис.8).
Рис.8
При збільшенні амплітуди вхідного сигналу коливання зростають, отже, цикл нестійкий.
Висновки:
1. Для визначення можливості існування граничних циклів знаходять точки перетину характеристик К (j w) і .
2. Граничний цикл буде стійким, якщо зображає точка на характеристиці при збільшенні
не охоплюється АФХ.
3. Граничний цикл буде нестійким, якщо зображає точка на характеристиці при збільшенні
охоплюється АФХ.
Приклад 3. Для заданої системи (рис.9) визначити наявність автоколивань і визначити їх параметри і стійкість при заданих параметрах системи: T = 0,1 c; k = 10 c -1; b = p / 4.
z x
Рис. 9
Рішення: Визначимо вираз для АФХ лінійної частини
Визначимо частоту граничного циклу з умови
Визначимо
.
Умови гармонійного балансу:
де - Амплітуда граничного циклу.
Періодичне рішення стійко.
Стійкість граничного циклу можна визначити з умови:
Приклад 4. Для заданої системи (рис.10) визначити наявність автоколивань та визначити їх стійкість.
Рис.10 (а, б, в)
У цій системі можуть існувати коливання трьох різних амплітуд і частот. У точці 3 найменша амплітуда і найбільша частота.
Приклад Для заданої системи (рис.11) визначити наявність авто-коливань і визначити їх стійкість і параметри, якщо задані значення Т = 0,05 с; К = 2 c -1; а = 0,33; b = 50.
Рис. 11
Рішення: Визначимо вираз для АФХ лінійної частини
АФХ досліджуваної системи має вигляд (рис.12)
Рис.12
Визначимо значення речовій частотної характеристики при критичній частоті
Еквівалентний комплексний коефіцієнт передачі не
лінійного елемента - має тільки дійсну частину, так як нелінійними-ність однозначна.
Умова гармонійного балансу:
Періодичні рішення:
Перше рішення не стійке, тому в системі виникають встановилися автоколивання: .
Приклад.
Для заданої системи (рис.11) визначити наявність автоколивань та визначити їх стійкість.
Рішення наведено на рис 13. У цій системі можуть існувати коливання чотирьох різних амплітуд і частот.
Рис.13
Якщо перший цикл стійкий, система називається системою з м'яким порушенням. Якщо перший цикл не стійкий, система називається системою з жорстким порушенням. Завжди має місце чергування циклів.
Література
Грумондз В.Т. Динаміка нелінійних систем: Деякі завдання стійкості і коливань - 2-е вид. Вуз. книга, 2009. - 182 c.
Мірошник І.В. Теорія автоматичного керування: Нелінійні і оптимальні системи. Видавництво: ПИТЕР, 2006. - 272 c.
Збірник завдань з теорії автоматичного регулювання та управління / Під редакцією В.А. Бесекерскій. - M.: Наука, 1978.