Як приклад виникнення самоорганізації візьмемо перехід ламінарного руху рідини у турбулентний. Розглянемо воду при термодинамічній рівновазі, при малих і при великих відхиленнях від рівноваги. Проблеми переходу до турбулентності важливі для практики, для гідро-і аеромеханіки, і ці проблеми неодноразово вирішувалися в рамках фізики, механіки і математики багатьма вченими, але точного опису немає до цих пір. У теорії зазвичай мають справу з безрозмірним параметром - числом Рейнольдса Re, введеним в 1883 р. Безрозмірний параметр Re Ос-Борн Рейнольдс (1842 -1912) пов'язав з режимом течії. Гідродинамічні теорії з використанням числа Re розвивали російські вчені Микола Єгорович Жуковський (1847-1921), Сергій Олексійович Чаплигін (1869-1942) та інші. За визначенням він дорівнює швидкості потоку, помноженої на характерний лінійний розмір, що фігурує в задачі, який ділиться на в'язкість середовища, віднесену до щільності. Одна з найбільш струнких теорій переходу до турбулентності була побудована в 1944р Ландау. Термін "турбулентність" ввів ще Кельвін, роблячи його від латинського "turbulentus" (безладний). Поки немає простої математичної моделі турбулентних рухів, які виявилися пов'язаними з нелінійністю
При рівновазі, якщо система замкнута і швидкість потоку = 0, її ентропія максимальна. При порушенні рівноваги шляхом створення, наприклад градієнта тиску, рідина почне рухатися в бік менших тисків, причому рух її буде відбуватися як би шарами, паралельними до напрямку течії (ламінарний течія). Потоки і термодинамічні сили пов'язані лінійними співвідношеннями, виробництво ентропії в стаціонарному стані (течії) мінімально. При малих значеннях числа Re існує єдина стаціонарна картина перебігу, відповідна ламінарного течією (рис. 1, а). Невеликі відхилення у швидкостях руху від стаціонарних значенні, що виникають із-за флуктуацій, експоненціально затухають з часом, з'являється пара вихорів (рис 1,6).
При збільшенні швидкості потоку вище критичної деякі з малих збурень перестають затухати, система втрачає стійкість і переходить в новий режим, вихори починають осцілліровать (рис. 1, в), рух рідини стає турбулентним (рис. 1, г). Лінійна залежність потоків і сил порушується, перестає виконуватися і теорема Пригожина про мінімальний приріст ентропії, хоча картина носить ще стаціонарний характер. У цьому випадку говорять про першу біфуркації, або біфуркації Хопфа. При збільшенні числа Рейнольдса новий періодичний режим знову втрачає стійкість, виникають незгасаючі коливання з частотою, яка визначається величиною Re. Зі зростанням нерівноважності повинно зростати число кореляцій і параметрів, що характеризують систему. При переході до турбулентного режиму між окремими областями течії виникають нові кореляції, нові макроскопічні зв'язку. Потім з'являються нові частоти, при цьому інтервал частот скорочується, і, за теорією Ландау, з'являються нові рухи мають все більш дрібні масштаби. Нерегулярне поведінку, типове для турбулентного руху, є результат нескінченного каскаду біфуркацій (рис 1, д).
Так істотно ускладнюється структура течії і водночас збільшується його внутрішня впорядкованість. Це вже не той безлад, який був в рівноважному стані. Істотно змінюється характер броунівського руху частинок, турбулентність позначається на поглинанні і розсіюванні електромагнітних та звукових хвиль. Наприклад, фотографії розподілу світлової хвилі, що пройшла через турбулентну рідина, фіксують плями типу інтерференційної картини, відповідної фокусів і каустику, які виникають у світловому пучку.
Проблема виникнення турбулентності та аналізу виникаючих нестійкостей важлива не тільки у зв'язку з інженерними додатками. Велика частина середовища, яке заповнює Всесвіт, знаходиться в турбулентному русі, тому з непостійностями стикаються у фізиці атмосфери та астрофізики, в океанології та фізики планет. У 1963 р. метеоролог Е. Лоренц описав новий механізм втрати стійкості, спостережуваний їм у дослідах з моделювання процесів виникнення турбулентності в процесі конвекції. Він виявив у фазовому просторі трьох вимірів (де координатами були швидкість і амплітуди двох температурних мод) область, яка як би притягувала до себе траєкторії з навколишніх областей. Потрапляючи в область, названу Лоренцом "дивним аттракторів" (лат. attractio "тяжіння"), близькі траєкторії розходилися і утворювали складну і заплутану структуру. Перехід системи на такий режим означає, що в ній спостерігаються складні неперіодичні коливання, які дуже чутливі навіть до малого зміни початкових умов. Оскільки дві близькі траєкторії розбігаються в фазовому просторі, то пророцтво руху за початковими даними не може бути хорошим. З цим пов'язані труднощі передбачення погоди за відсутності точних початкових даних. До Лоренца ще на початку 60-х років радянські математики Д. В. Аносов та Я. Г. Синай встановили існування областей, що володіють такими властивостями, і досліджували стійкість явищ у них.
Оскільки протягом рідини описується рівняннями детерміністичних, перехід до турбулентності вважається виникненням динамічного хаосу. У 1975 р. американські вчені Т. Лі і Дж. Йорк опублікували статтю "Період три дає хаос", тим самим визначивши його як стан, що при третій біфуркації, пов'язаної з подвоєнням періоду нестійкою моди. Однак цей нестійкий, хаотичний режим має внутрішню впорядкованість, яку можна вловити при дослідженні деталей тонкою динаміки. Тому можна сказати, що хаотичний турбулентний режим має більш складну структуру, ніж упорядкований ламінарний. Принциповим в теоріях динамічного хаосу є визнання ролі початкових умов тієї обставини, що в ході еволюції система займає не всі крапки "фазового простору". У ньому є певні місця, "ланцюжка" їх концентрації, статистичні "аномалії", що впливають на всю мікроструктуру. Дослідження діалектики випадковостей і регулярностей полегшуються можливостями моделювання цих процесів на ЕОМ. Дослідження динамічного хаосу показують, що він здатний породити не тільки "сумовите рівновагу", виникає "вторинна динаміка", яку досліджують в синергетики.
Отже, в точці біфуркації поведінка системи "розгалужується", стає неоднозначним. При досягненні третій біфуркації настає стан динамічного хаосу, який приховує внутрішню впорядкованість. Проблема з'ясування умов виникнення порядку з хаосу стала на порядок денний в прийдешньому столітті. За словами Уїлера, це - завдання номер один сучасної науки.
а.
R = 10-2
б.
в.
R = 100
Рис.1. Обтікання циліндра рідиною при різних швидкостях.
§ 1 I Безлад і хаос у великих системах
Хаотичні ефекти, що порушували струнку картину класичної фізики з перших днів становлення теорії, в XVII ст сприймалися як прикрі непорозуміння Кеплер зазначав нерегулярності в русі Місяця навколо Землі / Ньютон, за словами свого видавця Роджера Котеса, належав до тих дослідникам, які сили природи і найпростіші закони їхні дії "виводять аналітично з будь-яких обраних явищ і потім синтетично отримують закони інших явищ" Але закон - однозначне і точне відповідність між розглянутими явищами, він повинен виключати невизначеність і хаотичність Відсутність однозначності в науці Нового часу розглядалася як свідчення слабкості і ненаукового підходу до явищам Поступово з науки виганяє всі, що не можна формалізувати, чого не можна надати однозначний характер Так прийшли до механічній картині світу і "лапласовскій детермінізмові"
Незворотність процесів порушила універсальний характер механічних законів / У міру накопичення фактів змінювалися уявлення, і тоді Клаузіус ввів "принцип елементарного безпорядку" Оскільки простежити за рухом кожної молекули газу неможливо, слід визнати обмеженість своїх можливостей і погодитися, що закономірності, які спостерігаються в поведінці маси газу як цілого, є результат хаотичного руху складових його молі кул Безлад при цьому розуміється як незалежність координат і швидкостей окремих часток один від одного при рівноважному стані Більш чітко цю ідею висловив Больцман і поклав її в основу своєї молекулярно-кінетичної теорії Максвелл вказав на принципову відмінність механіки окремої частки від механіки великої сукупності частинок, підкресливши що великі системи характеризуються параметрами (тиск, температура та ін), не застосовуються до від слушною частці Так він поклав початок новій науці - статистичної механіки Ідея елементарного безпорядку, чи хаосу усунула протиріччя між механікою і термодинамікою На основі статистичного підходу вдалося поєднати оборотність окремих механічних явищ (рухів окремих молекул) і незворотний характер руху їх сукупності (зростання ентропії в замкненій системі)
Надалі виявилося, що ідеї хаосу характерні не тільки для явищ теплових, а більш фундаментальні При вивченні теплового випромінювання виникли суперечності: електромагнітна теорія Фарадея - Максвелла описувала оборотні процеси, але процеси обміну світловий енергією між тілами, які перебувають при різних температурах, ведуть до вирівнювання температур , т е. повинні розглядатися як незворотні. Планк ввів гіпотезу "природного випромінювання", відповідну гіпотезі молекулярного безладу, зміст якої можна сформулювати так: окремі електромагнітні хвилі, з яких складається теплове випромінювання, ведуть себе незалежно і "є повністю некогерентними". Ця гіпотеза призвела до подання про квантовий характер випромінювання, яке обгрунтовувалося з допомогою теорії ймовірностей Хаотичність випромінювання виявилася пов'язаною з його дискретністю Квантовий підхід дозволив Планку і Ейнштейну пояснити ряд законів і явищ (закон Стефана - Больцмана, закон зсуву Віна, закони фотоефекту і ін) , які не знаходили пояснення в класичній електродинаміці.
Відступу Місяця від траєкторій, розрахованих за законами ньютонівської механіки, американський астроном Джордж Хілл в кінці минулого століття пояснив притяганням Сонця. Пуанкаре припустив, що поблизу кожного тіла є деякі малопомітні фактори і явища, які можуть викликати нерегулярності. Поведінка навіть простої системи істотно залежить від початкових умов, так що не все можна передбачити. Вирішуючи завдання трьох тіл, Пуанкаре виявив існування фазових траєкторій, які вели себе заплутано і складно, утворюючи "щось, на кшталт грати, тканини, мережі з нескінченно тісними петлями; ні одна з кривих ніколи не повинна перетнути саму себе, але вона повинна навивається на саме себе дуже складним чином, щоб перетнути багато, нескінченно багато разів пет чи мережі ". На початку століття на цю роботу особливої уваги не звернули
Приблизно в цей же час Планк почав вивчати іншу хаотичність класичної науки і знайшов вихід у введенні кванта, який повинен був примирити колишні і нові уявлення, але ні самому справі поламав класичну фізику. У будові атомів довгий час бачили аналогію Сонячної системи. Інтерес до неможливості однозначних прогнозів виник у зв'язку з появою принципово інших статистичних законів руху мікрооб'єктів, складових квантову механіку. У силу співвідношень невизначеності Гейзенберга необхідно відразу враховувати, що можуть реалізовуватися не точні значення координат і імпульсів, а не яка кінцева область станів Ар і Aq, всередині якої лежа1 початкові координати Яд і імпульси pp. При цьому усередині виділено ської області вони розподілені за імовірнісним законом У міру еволюції системи збільшується і область її станів ЛР і Aq. На невеликих тимчасових інтервалах невизначеність стану буде наростати повільно, і рух системи буде стійким. Для таких систем класична механіка плідна.
У 60-і роки було встановлено, що і в простих динамічних системах, які вважалися з часів Ньютона і Лапласа підкоряються визначеним і однозначним законам механіки, можливі випадкові явища, від яких не можна позбутися шляхом уточнення початкових умов і вичерпним описом впливів на систему. Такі рухи виникають в простих динамічних системах з невеликим числом ступенів свободи - нелінійних коливальних системах як механічних, так і електричних. Приклад такого нестійкого руху - кулька в двох ямах, розділених бар'єром (рис 177). При нерухомій підставці кулька має два положення рівноваги.
Рис. 177. Приклад хаотичного руху:
а - кулька в потенційних ямах; б - кульку на площині зі стінками (більярд Синая)
При коливаннях підставки він може почати перестрибувати з однієї ями в іншу після вчинення коливань в одній з ям. Періодичні коливання з певною частотою викликають коливання з широким спектром частот
Крім того, на систему можуть діяти і деякі випадкові сили, які навіть при самій малій величині за тривалий час дії призведуть до непередбачуваних результатів. Такі системи чутливі не тільки до початкових значень параметрів, а й до змін положень і швидкостей в різних точках траєкторії Виходить парадокс: система підкоряється однозначним динамічним законами, і робить непередбачувані руху. Рішення динамічної задачі реалізуються, якщо вони стійкі. Наприклад, не можна бачити як завгодно довго стоїть на вістрі олівець або монету, що стоїть на ребрі. Але тоді завдання з динамічних переходить у статистичну, т е. слід задати початкові умови статистичним розподілом і стежити за його еволюцією. Ці випадкові явища отримали назву хаосів
Еволюцію динамічних систем у часі виявилося зручним аналізувати за допомогою фазового простору - абстрактного простору з числом вимірів, що дорівнює кількості змінних,
Рис 178 Фазова траєкторія маятника а - без загасання, б-з загасанням
характеризують стан системи Прикладом може служити простір, що має в якості своїх координат координати і швидкості всіх частинок системи Для лінійного гармонійного осцилятора (одна ступінь свободи) розмірність фазового простору дорівнює двом (координата та швидкість
частки, що коливається) Таке фазовий простір є площину, еволюція системи відповідає безперервному зміни координати і швидкості, і крапка, що зображає стан системи, рухається по фазовій траєкторії (рис 178) Фазові траєкторії такого маятника (лінійного гармонійного осцилятора), який коливається без загасання, являють собою еліпси
(Mv2 ^) + (mo) ^ / 2) x2 = const
У випадку затухання фазові траєкторії за будь-яких початкових значеннях закінчуються в одній точці, яка відповідає спокою в положенні рівноваги і крапка, або аттрактор, як би притягує до себе з часом всі фазові траєкторії (англ to attract "притягати") і є узагальненням поняття рівноваги, стан, який притягує системи Маятник через тертя спочатку уповільнює коливання, а потім зупиняється На діаграмі його стан (фазовій діаграмі) по одній осі відкладають кут відхилення маятника від вертикалі, а по іншій - швидкість зміни цього кута Виходить фазовий портрет у вигляді точки, що рухається навколо початку відліку Початок відліку і буде аттракторів, оскільки як би притягує точку, що представляє рух маятника по фазовій діаграмі У такому простому аттрактору немає нічого дивного
У більш складних рухах, наприклад, маятника годин з вантажем на ланцюжку, вантаж грає роль механізму, що підкачує енергію до маятника, і маятник не уповільнює коливань Якщо запустити годинники енергійним поштовхом маятника, він сповільниться до темпу, який обумовлений вагою вантажу, після чого характер його руху залишиться незмінним Якщо поштовх буде слабким, маятник, вповільнюючись, незабаром зупиниться Ситуації з сильним початковим поштовхом на фазовій діаграмі відповідає спіраль, що обвиває все більш щільно навколо кругової орбіти, атрактор буде в даному випадку колом, тобто об'єктом не більше дивним, ніж точка Різним маятника відповідають атрактори, які називають граничними циклами Всі фазові траєкторії, що відповідають різним початковим умовам, виходять на періодичну траєкторію, яка відповідає усталеному руху якщо початкові відхилення були малими, вони зростуть, а, якщо амплітуди були великими, то зменшаться. Биття серця теж зображується граничним циклом - сталим режимом.
Якщо рух складається з накладання двох коливань різних частот, то фазова траєкторія навивається на тор у фазовому просторі трьох вимірів. Цей рух стійко, а дві фазові траєкторії, що починаються поруч, будуть навивається на тор, не йдучи один від одного. Ситуація відповідає сталому сталому руху, до якого сама прагне.
У разі хаотичного руху фазові траєкторії з близькими початковими параметрами швидко розходяться, а потім хаотично перемішуються, так як вони можуть вилучатися тільки до якоїсь межі через обмеженість області змін координат і імпульсів. Тому фазові траєкторії створюють складки всередині фазового простору і виявляються досить близько один до одного. Так виникає область фазового простору, заповнена хаотичними траєкторіями, звана дивним аттракторів. На рис 179 зображений такий аттрактор, отриманий Е Лоренцом на ЕОМ. Видно, що система (зображувана точкою) здійснює швидкі нерегулярні коливання в одній області фазового простору, а потім випадково перескакує в іншу область, через деякий час - назад. Так динамічний хаос звертається з фазовим простором При цьому утворення складок можливо тільки при розмірностях великих трьох (тільки в 3-му вимірі починають складатися плоскі траєкторії) Від цих хаотичність не можна позбутися. Вони внутрішньо притаманні системам з дивними аттракторами. Хаотичні руху у фазовому просторі породжують випадковість, яка пов'язана з появою складних траєкторій в результаті розтягування та складання в фазовому просторі.
Найважливішим властивістю дивних атракторів є фрактальність. Фрактали - це об'єкти, що проявляють у міру збільшення все більше число деталей. Їх почали активно досліджувати з появою потужних ЕОМ. Відомо, що прямі та кола - об'єкти елементарної геометрії - природі не властиві. Структура речовини найчастіше приймає хитромудро розгалужені форми, що нагадують обшарпані краю тканини Прикладів подібних структур багато це і колоїди, і відкладення металу при електролізі, і клітинні популяції.