Кафедра: Інформаційні Технології
Лабораторна робота
На тему:
"Використання команд перетворення виразів Maple для математичних обчислень"
Москва, 2008 р
Цілі роботи:
· Знати команди, найбільш часто використовуються при виконанні аналітичних обчислень;
· Вміти застосовувати зазначені команди для вирішення математичних завдань.
1. Команди перетворення виразів
Процес роботи в Maple полягає в тому, що користувач створює змінні, присвоює їм символьні вирази і виробляє над ними деякі дії відповідно до алгоритму рішення поставленої задачі, використовую стандартні функції або написані власні процедури.
Синтаксис виклику стандартної команди наступний:
команда (пар_1, пар_2, ..., пар_n);
Тут команда - це ім'я викликається функції, а пар_1, пар_2, ... означають необхідні для виконання команди параметри, які можуть бути змінними або навіть виразами, причому їх тип повинен відповідати типу параметрів використовуваної функції. Відзначимо, якщо команда завершується крапкою з комою, то результати її виконання відображаються в області виведення, якщо команда завершується двокрапкою, то вона виконується, але ніякого висновку результатів не відбувається.
Система позначень функцій в Maple інтуїтивно проста. Зазвичай ім'я функції відповідає дії, яке вона виконує (слід врахувати, що всі імена задані англійською мовою). Наприклад, ясно, що функція з ім'ям simplify () здійснює деякі спрощення над виразом, заданим в якості її параметра.
Для деяких команд існують активна і пасивна форми. Активна форма команди (у разі її виклику) негайно виконується, а її ім'я починається з малої літери. Пасивна форма команди не виконується негайно, а просто в області виведення відображається математична запис того, що вона може зробити. Її ім'я починається з великої літери. Надалі, якщо в операторі присвоювання для деякої змінної у правій частині задана пасивна форма команди, то командою value () її можна обчислити. Основне призначення пасивних форм команд - це використання їх як засобу документування Ваших дій у звичайній математичної нотації. Прикладами команд з двома формами є команда диференціювання (diff і Diff), інтегрування (int і Int) і ін
Приклад 1. Пасивна і активна форми команд.
> K: = Int (cos (x) ^ 3, x);
> K = int (cos (x) ^ 3, x);
> Value (k);
Якщо команди і функції є частиною ядра системи Maple, то вони завжди доступні користувачеві. А для виклику інших команд і функцій необхідно підключити бібліотеку або пакет, в яких вони розташовані. Для цього служать команди readlib () і with (). Перша підключає бібліотеку, друга - пакет. Параметром цих команд є ім'я бібліотеки або пакета, функції яких користувач бажає використати.
Команди і функції Maple, найбільш часто використовувані при аналітичних перетвореннях, розташовуються в його системному ядрі - частини програмного забезпечення системи аналітичних обчислень, постійно знаходиться в пам'яті комп'ютера. До них відносяться команди, що виконують різноманітні перетворення виразів, які отримують рішення рівнянь і систем рівнянь, диференційні функції й т.д. У даній роботі вводяться команди, найбільш часто використовуються при виконанні аналітичних обчислень.
2. Спрощення вирази: simplify ()
Команда simplify () призначена для спрощення різноманітних виразів, складених з чисел, змінних і елементарних функцій. Зауважимо, що Maple може його спростити, а може і не спростити, так як він використовує свої внутрішні алгоритми спрощення, результат виконання яких може не зовсім відповідати поглядам користувача на те, як він хотів би спростити вираз і в якому вигляді його отримати.
Ця команда має кілька форм виклику. Її найпростіший синтаксис має наступний вигляд: simplify (вираз).
У дужках вказується вираз, що підлягає спрощенню. Команда simplify () шукає в вираженні виклики функцій, квадратні корені, радикали і ступеня і ініціалізує відповідні процедури спрощення. Реально команда simplify () реалізована у вигляді набору процедур спрощення, що зберігаються в основний бібліотеці Maple. Перерахуємо деякі з них, решту можна знайти в довідці по цій команді (наприклад, встановивши курсор в робочому листі на її ім'я і натиснувши клавішу <F1>): `simplify / exp` - для спрощення виразів з експоненціальними функціями, `simрlifу / ln` - для спрощення виразів з логарифмами, `simplifу / sqrt` - для спрощення виразів, що містять квадратні корені, `simplifу / trig` - для спрощення вираженні з тригонометричними функціями, `simplifу / radical` - для спрощення виразів з радикалами (дробові ступеня), `simplifу / power` - для спрощення виразів із степенями, експонентами і логарифмами і т.д. За замовчуванням Maple намагається використовувати максимальний набір функцій спрощення, що підходить до конкретного виразу.
У команді можна задати конкретні процедури спрощення, і тоді тільки вони будуть використовуватися для спрощення заданого виразу, а не весь можливий, встановлений за замовчуванням набір. Це забезпечується наступним синтаксисом команди: simрlifу (вираз, nl, n2, ...);
Тут nl, n2 і т.д. є іменами процедур спрощення: Ei, GAMМА, RootOf, @, hypergeom, ln, polar, power, radical, sqrt, trig. Повну інформацію про формули спрощення при використанні перерахованих значень параметрів можна отримати за допомогою команди? simplify [ім'я], де [ім'я] - одне зі значень параметрів функції спрощення.
Спрощення виразів можна проводити з різними видами чисел, наприклад, позитивними або належать деякому відрізку дійсних чисел. Це досягається за допомогою параметра assume = властивість. Форма виклику команди при цьому має вигляд: simplify (вираз, аssumе = властивість); де параметр властивість може приймати одне з наступних значень: complex - комплексна область, real - дійсна область, positive - позитивні дійсні числа, integer - цілі числа, RealRange ( a, b) - інтервал (а, b) дійсних чисел.
Приклади використання команди спрощення виразів simplify () представлені нижче:
Приклад 2. Спрощення виразів.
> C: = ln (exp (x)) + x * ln (exp (x));
> Simplify (c);
> Simplify (c, assume = real);
> D: = 1/sqrt (8 )*((( 1 + sqrt (8)) / 10) ^ 5 + ((1-sqrt (8)) / 10) ^ 5);
> Simplify (d);
Як видно з прикладу 2, використання команди без параметрів не спростила вираження ln (exp (x)) + x · ln (exp (x)), тоді як другий оператор з припущенням про дійсну області зміни змінної х спростив заданий вираз. Maple за замовчуванням працює з комплексними числами (тобто при спрощення передбачається, що змінні змінюються в області комплексних чисел). При такому припущенні спростити вираз з дійсно неможливо.
Приклад 3. Спрощення з припущенням.
> F: = (sqrt (x ^ 2));
> Simplify (f);
> Simplify (f, assume = real);
> Simplify (f, assume = positive);
Команда simplify () дозволяє задати правила спрощення у вигляді рівностей. Ці правила задаються другим параметром, який повинен мати наступний вигляд:
{Равенствоl, равенство2, ...}
Якщо будь-то вираз при спрощенні повинна дорівнювати нулю, то таке правило можна задати, просто внісши вираз без знака рівності в список правил:
> K: = a + b ^ 2 + c ^ 3 + d +5;
> Simplify (k, {c ^ 3 + d, a + b ^ 2 = 1});
У цьому прикладі передбачається, що вираз c ^ 3 + d дорівнює 0.
Використання власних правил для спрощення тригонометричних виразів дозволяє отримати саме той його вид, який необхідний для подальшої роботи, так як третьою параметром можна визначити, в якій послідовності повинні відображатися невідомі в спрощеному вираженні. Цей параметр задається в двох формах: у вигляді безлічі й у вигляді списку. (Безліч - послідовність виразів через кому, укладена у фігурні дужки, а список - це теж об'єкт Maple, який для даного окремого випадку можна охарактеризувати як послідовність виразів через кому, укладену в квадратні дужки.) Так от, якщо параметр заданий у вигляді безлічі, то алгоритм спрощення сортує в виразі невідомі по зменшенням їх ступеня в доданків вираження, враховуючи ступені всіх невідомих, а потім починає спрощення відповідно до заданих правил. У випадку зі списком - спочатку вираз сортується за ступенями перший невідомої в списку, потім спрощується відповідно до заданих правил, потім отриманий вираз сортується за ступенями другий невідомою списку і спрощується і т.д.
Приклад 4. Спрощення у відповідності з правилами користувача.
> Equ: = {sin (x) ^ 2 + cos (x) ^ 2 = 1};
e: = sin (x) ^ 3-11 * sin (x) ^ 2 * cos (x) +3 * cos (x) ^ 3-sin (x) * cos (x) +2;
> Simplify (e, equ, [sin (x), cos (x)]);
> Simplify (e, equ, [cos (x), sin (x)]);
> Simplify (e, equ, {sin (x), cos (x)});
> Simplify (e, equ, {cos (x), sin (x)});
3. Розкриття дужок у виразі: expand ()
Команда expand () представляє твір у вигляді суми, тобто розкриває дужки в алгебраїчному вираженні. Вона виконується для будь-якого полінома. Для приватного двох поліномів (раціональна алгебраїчна дріб) ця команда розкриває дужки в чисельнику і ділить кожен член отриманого виразу на знаменник, з яким вона не робить ніяких перетворень.
Ця команда має такий синтаксис: ехраnd (вир, вирl, вир2, ..., вирn); де вир є виразом, у якому необхідно розкрити дужки, а необов'язкові параметри вирl, вир2, вирn вказують системі, що в даних висловлюваннях у заданому преобразуемом вираженні вир розкривати дужки не треба.
Приклад 5. Представлення творів у вигляді суми.
> Expand ((x +3) * (x +4) ^ 2);
> Expand ((x +3) ^ 3 / (x +4) ^ 2);
> Expand (cos (xy));
> Expand ((x +3) * (x +4) ^ 2, x +3);
> Expand (x ^ ((a + b) * (k + f)));
4. Розкладання полінома на множники: factor ()
Команда factor () розкладає на множники поліном від декількох змінних. Під поліномом в Maple розуміється вираз, що містить невідомі величини. Кожен член в цьому виразі представлений у вигляді добутку цілих невід'ємних ступенів невідомих величин з числовим або алгебраїчним коефіцієнтом, тобто коефіцієнт може бути цілим, дробовим, з плаваючою точкою, комплексним числом і навіть представляти собою вираження алгебри з іншими змінними:
> Factor (x ^ 3 * y-2 * x ^ 2 * a * y + x * y * a ^ 2-x ^ 3 * b ^ 2 +2 * x ^ 2 * b ^ 2 * ax * b ^ 2 * a ^ 2 + x ^ 2 * y ^ 2-2 * x * y ^ 2 * a + y ^ 2 * a ^ 2-y * b ^ 2 * x ^ 2 +2 * y * b ^ 2 * x * ay * b ^ 2 * a ^ 2);
Слід пам'ятати правило: команда розкладає поліном на множники над числовим полем, якому належать коефіцієнти полінома. Якщо всі коефіцієнти цілі, то і в одержуваних сомножителя будуть тільки цілі коефіцієнти і не обов'язково будуть отримані лінійні множники. Другий необов'язковий параметр цієї команди вказує, над яким числовим полем слід здійснювати розкладання полінома. Він може мати значення real, complex, а також один радикал або список / безліч радикалів. Приклад 6 демонструє результати розкладання одного і того ж полінома над різними полями.
Приклад 6. Розкладання полінома над різними полями.
> Factor (x ^ 3 +2); # над полем цілих чисел (цілі коефіцієнти)
> Factor (x ^ 3 +2.0); # над полем дійсних чисел
(Речовий коефіцієнт)
> Factor (x ^ 3 +2, real); # над полем дійсних чисел
(Параметр real)
> Factor (x ^ 3 +2, complex); # над полем комплексних чисел
(Параметр complex)
> Factor (x ^ 3 +2,2 ^ (1 / 3)); # над полем цілих і радикала 2 ^ (1 / 3)
(Параметр визначає поле з радикалом)
Якщо застосувати команду factor () до алгебраїчної раціонального дробу (відношення двох поліномів), то спочатку буде здійснено приведення дробу до нормальної форми (скорочення загальних множників чисельника і знаменника), а після цього і чисельник, і знаменник розкладаються на множники (з урахуванням поля коефіцієнтів ):
> D: = (x ^ 11-y ^ 11) / (x ^ 6-y ^ 6);
> Factor (d);
5. Скорочення алгебраїчної дробу: normal ()
Команда normal () призводить вираз, що містить алгебраїчні дроби, до спільного знаменника і спрощує отриману алгебраїчну дріб, скоротивши і чисельник, і знаменник на найбільший загальний дільник. Команда має дві форми виклику: normal (f); normal (f, expanded); де f - алгебраїчна дріб, а параметр expanded вказує на те, що після скорочення дробу у чисельнику та знаменнику розкриваються дужки.
Приклад 7. Скорочення алгебраїчних дробів.
> F: = 1 / x +1 / (x +1) ^ 2 +1 / (x +1);
> Normal (f);
Якщо параметр f заданий у вигляді списку, безлічі, послідовності, ряду, рівняння, відносини або функції, то команда normal () послідовно застосовується до компонентів f. Наприклад, для рівняння це означає, що процедура скорочення застосовується і до правої, і до лівої частини рівняння. У разі ряду, це означає, що спрощуються коефіцієнти ряду, а у разі висловлення з декількома функціями, аргументи яких представлені алгебраїчними дробами, процедура скорочення застосовується до аргументу кожної функції:
> S: = sin (x / (x +1) - x) ^ 2 + cos (-x / (x +1) + x);
> Normal (s);
> Normal (1 / x + y = x / y + (3 * y) / x);
6. Приведення кількох членів вислови до одного: combine ()
Призначення команди combine () - навести кілька членів у виразі, представленому сумою, твором або ступенями невідомих, до одного члена, використовуючи різноманітні правила. Ці правила, по суті, протилежні правилами, застосовуваним командою expand (). Наприклад, розглянемо відоме тригонометрическое співвідношення: sin (а + b) = Sin (a) cos (b) + cos (а) sin (b).
Команда expand () використовує його зліва направо, тоді як команда combine () діє навпаки:
> Expand (sin (a + b));
> Combine (sin (a) * cos (b) + cos (a) * sin (b));
Однак розглянемо ще один приклад:
> G: = sin (a + b) ^ 2;
> S: = expand (g);
> F: = combine (s);
Як видно з прикладу, команда combine () перетворила вираз s не до вихідного висловом g, яке ми розкрили функцією expand (). Це відбувається тому, що Марlе здійснює приведення членів виразу за своїм внутрішнім алгоритмам, які завершуються, як тільки вийшло (або не вийшло) подання відповідно до ідеологією команди combine (). У нашому прикладі - представлення через тригонометричну функцію з аргументом, що є лінійною комбінацією аргументів тригонометричних функцій преутвореного вираження. Якщо ми хочемо отримати вихідний вид вираження g, то слід скористатися командою підстановки subs (), параметри якої визначають, що на що слід замінити у виразі:
> Subs (cos (2 * a +2 * b) =- 2 * sin (a + b) ^ 2 +1, f);
Команда combine () «знайома» з практично всіма правилами перетворення елементарних математичних функцій. Якщо другим її параметром задати одну з таких імен:
abs exp piecewise Psi Signum
arctan icombine polylog radical trig
conjugate ln power range
які відповідають використовуваним в Maple функцій, то при перетворенні виразу будуть використовуватися тільки правила перетворення відповідних функцій. Для функцій, правила перетворення яких залежать від значення їх аргументів (arctan) або які мають обмеження на значення аргументів (ln, radical), можна задати третій параметр symbolic, який буде наказувати функції combine () не звертати уваги на інтервали зміни аргументів подібних функцій, а здійснювати формальні символічні перетворення відповідно до формулами перетворення цих функцій.
7. Приведення подібних членів: collect ()
Команда collect () працює з поліномами, в яких як невідомих можуть виступати функції з аргументами, які є невідомими величинами Maple. Команда має три форми виклику:
collect (вираз, х);
соllесt (вираз, х, form, func);
соllесt (вираз, x, func);
де параметр х представляє ім'я невідомої величини, щодо ступенів якої здійснюється приведення коефіцієнтів. Параметр х може бути також списком або безліччю невідомих у випадку полінома декількох змінних або ім'ям функції з аргументом-невідомої у виразі, представленому першим параметром вираз.
Лабораторна робота
На тему:
"Використання команд перетворення виразів Maple для математичних обчислень"
Москва, 2008 р
Цілі роботи:
· Знати команди, найбільш часто використовуються при виконанні аналітичних обчислень;
· Вміти застосовувати зазначені команди для вирішення математичних завдань.
1. Команди перетворення виразів
Процес роботи в Maple полягає в тому, що користувач створює змінні, присвоює їм символьні вирази і виробляє над ними деякі дії відповідно до алгоритму рішення поставленої задачі, використовую стандартні функції або написані власні процедури.
Синтаксис виклику стандартної команди наступний:
команда (пар_1, пар_2, ..., пар_n);
Тут команда - це ім'я викликається функції, а пар_1, пар_2, ... означають необхідні для виконання команди параметри, які можуть бути змінними або навіть виразами, причому їх тип повинен відповідати типу параметрів використовуваної функції. Відзначимо, якщо команда завершується крапкою з комою, то результати її виконання відображаються в області виведення, якщо команда завершується двокрапкою, то вона виконується, але ніякого висновку результатів не відбувається.
Система позначень функцій в Maple інтуїтивно проста. Зазвичай ім'я функції відповідає дії, яке вона виконує (слід врахувати, що всі імена задані англійською мовою). Наприклад, ясно, що функція з ім'ям simplify () здійснює деякі спрощення над виразом, заданим в якості її параметра.
Для деяких команд існують активна і пасивна форми. Активна форма команди (у разі її виклику) негайно виконується, а її ім'я починається з малої літери. Пасивна форма команди не виконується негайно, а просто в області виведення відображається математична запис того, що вона може зробити. Її ім'я починається з великої літери. Надалі, якщо в операторі присвоювання для деякої змінної у правій частині задана пасивна форма команди, то командою value () її можна обчислити. Основне призначення пасивних форм команд - це використання їх як засобу документування Ваших дій у звичайній математичної нотації. Прикладами команд з двома формами є команда диференціювання (diff і Diff), інтегрування (int і Int) і ін
Приклад 1. Пасивна і активна форми команд.
> K: = Int (cos (x) ^ 3, x);
> K = int (cos (x) ^ 3, x);
> Value (k);
Якщо команди і функції є частиною ядра системи Maple, то вони завжди доступні користувачеві. А для виклику інших команд і функцій необхідно підключити бібліотеку або пакет, в яких вони розташовані. Для цього служать команди readlib () і with (). Перша підключає бібліотеку, друга - пакет. Параметром цих команд є ім'я бібліотеки або пакета, функції яких користувач бажає використати.
Команди і функції Maple, найбільш часто використовувані при аналітичних перетвореннях, розташовуються в його системному ядрі - частини програмного забезпечення системи аналітичних обчислень, постійно знаходиться в пам'яті комп'ютера. До них відносяться команди, що виконують різноманітні перетворення виразів, які отримують рішення рівнянь і систем рівнянь, диференційні функції й т.д. У даній роботі вводяться команди, найбільш часто використовуються при виконанні аналітичних обчислень.
2. Спрощення вирази: simplify ()
Команда simplify () призначена для спрощення різноманітних виразів, складених з чисел, змінних і елементарних функцій. Зауважимо, що Maple може його спростити, а може і не спростити, так як він використовує свої внутрішні алгоритми спрощення, результат виконання яких може не зовсім відповідати поглядам користувача на те, як він хотів би спростити вираз і в якому вигляді його отримати.
Ця команда має кілька форм виклику. Її найпростіший синтаксис має наступний вигляд: simplify (вираз).
У дужках вказується вираз, що підлягає спрощенню. Команда simplify () шукає в вираженні виклики функцій, квадратні корені, радикали і ступеня і ініціалізує відповідні процедури спрощення. Реально команда simplify () реалізована у вигляді набору процедур спрощення, що зберігаються в основний бібліотеці Maple. Перерахуємо деякі з них, решту можна знайти в довідці по цій команді (наприклад, встановивши курсор в робочому листі на її ім'я і натиснувши клавішу <F1>): `simplify / exp` - для спрощення виразів з експоненціальними функціями, `simрlifу / ln` - для спрощення виразів з логарифмами, `simplifу / sqrt` - для спрощення виразів, що містять квадратні корені, `simplifу / trig` - для спрощення вираженні з тригонометричними функціями, `simplifу / radical` - для спрощення виразів з радикалами (дробові ступеня), `simplifу / power` - для спрощення виразів із степенями, експонентами і логарифмами і т.д. За замовчуванням Maple намагається використовувати максимальний набір функцій спрощення, що підходить до конкретного виразу.
У команді можна задати конкретні процедури спрощення, і тоді тільки вони будуть використовуватися для спрощення заданого виразу, а не весь можливий, встановлений за замовчуванням набір. Це забезпечується наступним синтаксисом команди: simрlifу (вираз, nl, n2, ...);
Тут nl, n2 і т.д. є іменами процедур спрощення: Ei, GAMМА, RootOf, @, hypergeom, ln, polar, power, radical, sqrt, trig. Повну інформацію про формули спрощення при використанні перерахованих значень параметрів можна отримати за допомогою команди? simplify [ім'я], де [ім'я] - одне зі значень параметрів функції спрощення.
Спрощення виразів можна проводити з різними видами чисел, наприклад, позитивними або належать деякому відрізку дійсних чисел. Це досягається за допомогою параметра assume = властивість. Форма виклику команди при цьому має вигляд: simplify (вираз, аssumе = властивість); де параметр властивість може приймати одне з наступних значень: complex - комплексна область, real - дійсна область, positive - позитивні дійсні числа, integer - цілі числа, RealRange ( a, b) - інтервал (а, b) дійсних чисел.
Приклади використання команди спрощення виразів simplify () представлені нижче:
Приклад 2. Спрощення виразів.
> C: = ln (exp (x)) + x * ln (exp (x));
> Simplify (c);
> Simplify (c, assume = real);
> D: = 1/sqrt (8 )*((( 1 + sqrt (8)) / 10) ^ 5 + ((1-sqrt (8)) / 10) ^ 5);
> Simplify (d);
Як видно з прикладу 2, використання команди без параметрів не спростила вираження ln (exp (x)) + x · ln (exp (x)), тоді як другий оператор з припущенням про дійсну області зміни змінної х спростив заданий вираз. Maple за замовчуванням працює з комплексними числами (тобто при спрощення передбачається, що змінні змінюються в області комплексних чисел). При такому припущенні спростити вираз з дійсно неможливо.
Приклад 3. Спрощення з припущенням.
> F: = (sqrt (x ^ 2));
> Simplify (f);
> Simplify (f, assume = real);
> Simplify (f, assume = positive);
Команда simplify () дозволяє задати правила спрощення у вигляді рівностей. Ці правила задаються другим параметром, який повинен мати наступний вигляд:
{Равенствоl, равенство2, ...}
Якщо будь-то вираз при спрощенні повинна дорівнювати нулю, то таке правило можна задати, просто внісши вираз без знака рівності в список правил:
> K: = a + b ^ 2 + c ^ 3 + d +5;
> Simplify (k, {c ^ 3 + d, a + b ^ 2 = 1});
У цьому прикладі передбачається, що вираз c ^ 3 + d дорівнює 0.
Використання власних правил для спрощення тригонометричних виразів дозволяє отримати саме той його вид, який необхідний для подальшої роботи, так як третьою параметром можна визначити, в якій послідовності повинні відображатися невідомі в спрощеному вираженні. Цей параметр задається в двох формах: у вигляді безлічі й у вигляді списку. (Безліч - послідовність виразів через кому, укладена у фігурні дужки, а список - це теж об'єкт Maple, який для даного окремого випадку можна охарактеризувати як послідовність виразів через кому, укладену в квадратні дужки.) Так от, якщо параметр заданий у вигляді безлічі, то алгоритм спрощення сортує в виразі невідомі по зменшенням їх ступеня в доданків вираження, враховуючи ступені всіх невідомих, а потім починає спрощення відповідно до заданих правил. У випадку зі списком - спочатку вираз сортується за ступенями перший невідомої в списку, потім спрощується відповідно до заданих правил, потім отриманий вираз сортується за ступенями другий невідомою списку і спрощується і т.д.
Приклад 4. Спрощення у відповідності з правилами користувача.
> Equ: = {sin (x) ^ 2 + cos (x) ^ 2 = 1};
e: = sin (x) ^ 3-11 * sin (x) ^ 2 * cos (x) +3 * cos (x) ^ 3-sin (x) * cos (x) +2;
> Simplify (e, equ, [sin (x), cos (x)]);
> Simplify (e, equ, [cos (x), sin (x)]);
> Simplify (e, equ, {sin (x), cos (x)});
> Simplify (e, equ, {cos (x), sin (x)});
3. Розкриття дужок у виразі: expand ()
Команда expand () представляє твір у вигляді суми, тобто розкриває дужки в алгебраїчному вираженні. Вона виконується для будь-якого полінома. Для приватного двох поліномів (раціональна алгебраїчна дріб) ця команда розкриває дужки в чисельнику і ділить кожен член отриманого виразу на знаменник, з яким вона не робить ніяких перетворень.
Ця команда має такий синтаксис: ехраnd (вир, вирl, вир2, ..., вирn); де вир є виразом, у якому необхідно розкрити дужки, а необов'язкові параметри вирl, вир2, вирn вказують системі, що в даних висловлюваннях у заданому преобразуемом вираженні вир розкривати дужки не треба.
Приклад 5. Представлення творів у вигляді суми.
> Expand ((x +3) * (x +4) ^ 2);
> Expand ((x +3) ^ 3 / (x +4) ^ 2);
> Expand (cos (xy));
> Expand ((x +3) * (x +4) ^ 2, x +3);
> Expand (x ^ ((a + b) * (k + f)));
4. Розкладання полінома на множники: factor ()
Команда factor () розкладає на множники поліном від декількох змінних. Під поліномом в Maple розуміється вираз, що містить невідомі величини. Кожен член в цьому виразі представлений у вигляді добутку цілих невід'ємних ступенів невідомих величин з числовим або алгебраїчним коефіцієнтом, тобто коефіцієнт може бути цілим, дробовим, з плаваючою точкою, комплексним числом і навіть представляти собою вираження алгебри з іншими змінними:
> Factor (x ^ 3 * y-2 * x ^ 2 * a * y + x * y * a ^ 2-x ^ 3 * b ^ 2 +2 * x ^ 2 * b ^ 2 * ax * b ^ 2 * a ^ 2 + x ^ 2 * y ^ 2-2 * x * y ^ 2 * a + y ^ 2 * a ^ 2-y * b ^ 2 * x ^ 2 +2 * y * b ^ 2 * x * ay * b ^ 2 * a ^ 2);
Слід пам'ятати правило: команда розкладає поліном на множники над числовим полем, якому належать коефіцієнти полінома. Якщо всі коефіцієнти цілі, то і в одержуваних сомножителя будуть тільки цілі коефіцієнти і не обов'язково будуть отримані лінійні множники. Другий необов'язковий параметр цієї команди вказує, над яким числовим полем слід здійснювати розкладання полінома. Він може мати значення real, complex, а також один радикал або список / безліч радикалів. Приклад 6 демонструє результати розкладання одного і того ж полінома над різними полями.
Приклад 6. Розкладання полінома над різними полями.
> Factor (x ^ 3 +2); # над полем цілих чисел (цілі коефіцієнти)
> Factor (x ^ 3 +2.0); # над полем дійсних чисел
(Речовий коефіцієнт)
> Factor (x ^ 3 +2, real); # над полем дійсних чисел
(Параметр real)
> Factor (x ^ 3 +2, complex); # над полем комплексних чисел
(Параметр complex)
> Factor (x ^ 3 +2,2 ^ (1 / 3)); # над полем цілих і радикала 2 ^ (1 / 3)
(Параметр визначає поле з радикалом)
Якщо застосувати команду factor () до алгебраїчної раціонального дробу (відношення двох поліномів), то спочатку буде здійснено приведення дробу до нормальної форми (скорочення загальних множників чисельника і знаменника), а після цього і чисельник, і знаменник розкладаються на множники (з урахуванням поля коефіцієнтів ):
> D: = (x ^ 11-y ^ 11) / (x ^ 6-y ^ 6);
> Factor (d);
5. Скорочення алгебраїчної дробу: normal ()
Команда normal () призводить вираз, що містить алгебраїчні дроби, до спільного знаменника і спрощує отриману алгебраїчну дріб, скоротивши і чисельник, і знаменник на найбільший загальний дільник. Команда має дві форми виклику: normal (f); normal (f, expanded); де f - алгебраїчна дріб, а параметр expanded вказує на те, що після скорочення дробу у чисельнику та знаменнику розкриваються дужки.
Приклад 7. Скорочення алгебраїчних дробів.
> F: = 1 / x +1 / (x +1) ^ 2 +1 / (x +1);
> Normal (f);
Якщо параметр f заданий у вигляді списку, безлічі, послідовності, ряду, рівняння, відносини або функції, то команда normal () послідовно застосовується до компонентів f. Наприклад, для рівняння це означає, що процедура скорочення застосовується і до правої, і до лівої частини рівняння. У разі ряду, це означає, що спрощуються коефіцієнти ряду, а у разі висловлення з декількома функціями, аргументи яких представлені алгебраїчними дробами, процедура скорочення застосовується до аргументу кожної функції:
> S: = sin (x / (x +1) - x) ^ 2 + cos (-x / (x +1) + x);
> Normal (s);
> Normal (1 / x + y = x / y + (3 * y) / x);
6. Приведення кількох членів вислови до одного: combine ()
Призначення команди combine () - навести кілька членів у виразі, представленому сумою, твором або ступенями невідомих, до одного члена, використовуючи різноманітні правила. Ці правила, по суті, протилежні правилами, застосовуваним командою expand (). Наприклад, розглянемо відоме тригонометрическое співвідношення: sin (а + b) = Sin (a) cos (b) + cos (а) sin (b).
Команда expand () використовує його зліва направо, тоді як команда combine () діє навпаки:
> Expand (sin (a + b));
> Combine (sin (a) * cos (b) + cos (a) * sin (b));
Однак розглянемо ще один приклад:
> G: = sin (a + b) ^ 2;
> S: = expand (g);
> F: = combine (s);
Як видно з прикладу, команда combine () перетворила вираз s не до вихідного висловом g, яке ми розкрили функцією expand (). Це відбувається тому, що Марlе здійснює приведення членів виразу за своїм внутрішнім алгоритмам, які завершуються, як тільки вийшло (або не вийшло) подання відповідно до ідеологією команди combine (). У нашому прикладі - представлення через тригонометричну функцію з аргументом, що є лінійною комбінацією аргументів тригонометричних функцій преутвореного вираження. Якщо ми хочемо отримати вихідний вид вираження g, то слід скористатися командою підстановки subs (), параметри якої визначають, що на що слід замінити у виразі:
> Subs (cos (2 * a +2 * b) =- 2 * sin (a + b) ^ 2 +1, f);
Команда combine () «знайома» з практично всіма правилами перетворення елементарних математичних функцій. Якщо другим її параметром задати одну з таких імен:
abs exp piecewise Psi Signum
arctan icombine polylog radical trig
conjugate ln power range
які відповідають використовуваним в Maple функцій, то при перетворенні виразу будуть використовуватися тільки правила перетворення відповідних функцій. Для функцій, правила перетворення яких залежать від значення їх аргументів (arctan) або які мають обмеження на значення аргументів (ln, radical), можна задати третій параметр symbolic, який буде наказувати функції combine () не звертати уваги на інтервали зміни аргументів подібних функцій, а здійснювати формальні символічні перетворення відповідно до формулами перетворення цих функцій.
7. Приведення подібних членів: collect ()
Команда collect () працює з поліномами, в яких як невідомих можуть виступати функції з аргументами, які є невідомими величинами Maple. Команда має три форми виклику:
collect (вираз, х);
соllесt (вираз, х, form, func);
соllесt (вираз, x, func);
де параметр х представляє ім'я невідомої величини, щодо ступенів якої здійснюється приведення коефіцієнтів. Параметр х може бути також списком або безліччю невідомих у випадку полінома декількох змінних або ім'ям функції з аргументом-невідомої у виразі, представленому першим параметром вираз.
Команда collect () розрізняє не тільки цілі, але і позитивні і негативні дробові ступеня невідомою, тобто при всіх ступенях будуть окремо наведені подібні члени.
Приклад 8. Приведення коефіцієнтів у виразі.
k: = x ^ 3 * sin (x) ^ 2 + x ^ 3 * cos (x) + x ^ 3 * exp (x) + x * cos (x) +2 * x * exp (x) +7 * x * sin (x) +4 * x ^ 3;
> Collect (k, x);
> Collect (k, x ^ 3);
> Collect (k, exp (x));
> Collect (k, sin (x));
> Collect (k, cos (x));
У прикладі 8 для одного і того ж вирази здійснюється приведення коефіцієнтів щодо різних його невідомих компонентів.
Параметр form застосовується для поліномів від декількох змінних і визначає алгоритм приведення подібних членів. Зауважимо, що невідомі, при ступенях яких наводяться подібні члени, повинні бути задані у вигляді списку або множини. Параметр form два значення: recursive і distributed. У першому випадку приводяться подібні члени при ступенях перший невідомої в списку, а потім в отриманих коефіцієнти наводяться подібні члени щодо ступенів другий невідомої в списку і т.д. Якщо при цьому значенні параметра form невідомі полінома, щодо яких наводяться подібні члени, задані у вигляді безлічі, то порядок приведення визначається системою Maple і може змінюватися від сеансу до сеансу. Значення distributed вказує на приведення коефіцієнтів при членах, що містять всілякі твори ступенів невідомих у списку або множині, причому сумарна ступінь всіх змінних зростає від найменшої до найбільшої.
Приклад 9. Алгоритми приведення для поліномів декількох змінних.
> P: = x * ya ^ 2 * x * y + y * x ^ 2-a * y * x ^ 2 + x + a * x; # поліном двох змінних
> Collect (p, [x, y], recursive);
> Collect (p, [y, x], recursive);
> Collect (p, {x, y}, recursive);
> Collect (p, {x, y}, distributed);
> Collect (p, [x, y], distributed);
Параметр func визначає ім'я команди, що застосовується до отриманих у результаті коефіцієнтам при відповідних ступенях невідомих. Зазвичай використовують команди simplify () і factor ().
Приклад 10. Завдання функції, застосовуваної до отриманих коефіцієнтів.
> D: = a ^ 4 * y-y + a ^ 4 + a ^ 2;
> Collect (d, y);
> Collect (d, y, factor); # розкладання на множники коефіцієнтів при y
8. Раціоналізація дробів: rationalize ()
Раціоналізація дробу - це позбавлення від ірраціональності в знаменнику цього дробу. Команда rationalize () виробляє таке перетворення над числовими і алгебраїчними дробами. Причому в разі алгебраїчної дробу приймається до уваги тільки знаменник у вигляді полінома. Ця команда може раціоналізувати алгебраїчну дріб, знаменник якого містить трансцендентні функції типу sin (), ехр (), ln () і т.п. Однак якщо їх аргумент є дробом з ірраціональності в знаменнику, то ці конструкції не беруть участь в процесі раціоналізації.
Приклад 11. Раціоналізація дробових виразів.
> A: = 7 * (3 ^ (1 / 3) +4 ^ (1 / 5)) / (3-2 ^ (1 / 3));
> Rationalize (a);
> B: = y / (y + sqrt (2-sqrt (5)));
> Rationalize (b);
> C: = 1 / (3-root (cos (1 / (2 + sqrt (mu))), 5));
> Rationalize (c);
9. Обмеження на невідомі: assume ()
Часто в математичних висновках доводиться робити ті чи інші припущення щодо деяких величин, що фігурують у наших дослідженнях, тобто якось обмежувати ці величини. Одні обмеження логічно випливають з області визначення незалежних змінних, що входять у вирази, інші ми накладаємо самі. У системі Марlе є команди для введення та перевірки обмежень, накладених на деякі невідомі або навіть цілі вирази. Введені обмеження використовуються командами і функціями Maple, наприклад simplify (), sqrt (), для отримання більш простої відповіді, якщо введені обмеження дозволяють це.
Призначення команди assume () - Накладати обмеження на невідомі величини Maple. Команда має наступний синтаксис:
assume (x, властивість);
Тут х - будь невизначена змінна або вираз з такими змінними, а параметр властивість може приймати значення, рівні назвами властивостей (відповідає символьному іменам, зарезервованим Maple для завдання різних обмежень на змінну або вираз, певні першим параметром), імені типу даних і числовому діапазону. Деякі з найбільш уживаних властивостей перераховані в табл. 1.
Таблиця 1. Властивості числових змінних і виразів
Деякі параметри (х, властивість) можна замінити математичним відношенням, якщо, звичайно, це можливо. Наприклад, (x, negative) відповідає відношенню х <0, а (х, nonnegative) відповідає х> = 0 і т.д.
При накладанні на змінну будь-яких обмежень у результатах виконання дій над висловлюваннями, в які входить ця змінна, відразу ж за її ім'ям за умовчанням відображається символ тильда (~). Цю функціональність за замовчуванням можна змінити на наступні:
¨ або взагалі не інформувати користувача, що на змінну накладені обмеження, і вона буде продовжувати відображатися як і всі змінні без обмежень (команда Options Þ Assumed Variables Þ No Annotation);
¨ або в області виведення, коли Ви бачите результати, в яких присутня змінна з накладеними обмеженнями, словесно повідомляється, на які змінні накладені обмеження (команда Options Þ Assumed Variables Þ Phrase).
Приклад 12. Способи відображення змінних з обмеженнями.
> Assume (a> 0);
> Ln (a ^ 2); # Відображення за замовчуванням
> Ln (a ^ 2); # Режим не інформувати користувача
> Ln (a ^ 2); # Словесне повідомлення
Повернутися в режим відображення змінних з накладеними обмеженнями за замовчуванням можна командою Options Þ Assumed Variables Þ Trailing Tildes.
В якості своїх параметрів команда assume () може отримувати кілька пар (х, властивість) або кілька математичних відносин. У цьому випадку всі задані обмеження діють одночасно. Тому накладення обмежень у вигляді
> Аssumе (х> 3, х <5);
відповідає тому, що змінна х може змінюватися тільки в інтервалі (3,5).
Нове обмеження, що накладається новою командою assume () на змінну, скасовує всі попередні обмеження. Тому послідовне завдання обмежень двома командами:
> Assume (x> 3);
> Assume (x <5);
відповідає припущенню, що значення змінної х не перевершує числа 5, а не тому, що значення цієї змінної має лежати в інтервалі (3,5).
Якщо необхідно ще додати обмеження на змінну, то можна використовувати команду additionally (), параметри якої повністю відповідають параметрам команди assume (). Тоді обмеження, певні командою additionally (), додаються до обмежень, введених командою assume () і попередніми командами additionally ():
> Assume (x> 3); # У наступних обчисленнях передбачається х> 3
(Якісь обчислення)
> Аdditiоnаllу (х <= 5); # Тепер передбачається, що 3 <х <= 5
Щоб зняти всі раніше накладені на змінну обмеження слід цієї змінної просто привласнити її ж символьне ім'я (ім'я змінної, укладену в одинарні лапки). Для зняття всіх обмежень змінної х попередніх прикладів, слід просто виконати наступну операцію привласнення:
> X: = 'x';
Якщо ж змінна з накладеними обмеженнями використовувалася у виразах, то просте присвоювання імені змінної самої змінної не знімає обмеження на змінну в цих висловах. Подібна ситуація ілюструється у прикладі 13.
Приклад 13. Зняття обмежень зі змінною.
> Assume (b> 0);
> D: = surd (b ^ 4,4);
> B: = 'b': b;
> D;
Як бачимо, зняття усіх накладених на змінну b обмежень не знімає, однак, цих обмежень зі змінною b у виразі d. Щоб зняти обмеження з цієї змінної, слід до команди зняття обмежень зі змінною скористатися командою підстановки subs () і першим параметром вказати заміну змінної b на її символьне ім'я 'b'.
Приклад 14. Зняття обмежень зі змінною у виразі.
> Assume (b> 0);
> D: = sqrt (b ^ 4);
> D;
> D: = subs (b = 'b', d);
> B: = 'b';
> D;
Функція is () визначає, чи задовольняє деяка змінна робочого аркуша певним властивості. Ця функція повертає значення true, якщо всі можливі значення змінної відповідають заданому властивості. Якщо хоча б одне з можливих значень не відповідає заданому властивості, то функція is () повертає false. Функція is () може повернути значення FAIL, що говорить про неможливість визначити, чи відповідає задана мінлива заданому властивості. Це буває або в результаті недостатності інформації щодо обмежень на змінну, або неможливості обчислити логічні обмеження на змінну.
Приклад 15. Чи задовольняє мінлива заданим обмеженням.
> Assume (a> 0);
> Is (a> 0);
> Is (a <1);
> Additionally (a <1);
> Is (a <1);
За допомогою функції coulditbe () можна перевірити, чи може задана мінлива відповідати заданому властивості. Вона повертає true, якщо хоча б одне з можливих значень змінної може мати заданий властивість, і fа1sе в іншому випадку. Сенс значення FAIL відповідає такому ж значенню для функції is ().
Приклад 16. Чи може мінлива задовольняти заданим обмеженням.
> Assume (a> 0);
> Is (a> 0);
> Coulditbe (a = 1);
> Additionally (a <1);
> Coulditbe (a = 1);
Команда about () відображає інформацію про накладені обмеження на невідому величину:
> About (a);
Originally a, renamed a ~:
is assumed to be: RealRange (Open (0), Open (1))
Як зазначалося раніше, багато функцій і команди Maple використовують інформацію про накладені на невідому величину обмеження при виконанні символьних обчислень. Наприклад, Марle не може обчислити наступний межа через невідомість знака символьної змінної а:
> Int (exp (a * x), x = 0 .. infinity);
Definite integration: Can't determine if the integral is convergent.
Need to know the sign of -> - a
Will now try indefinite integration and then take limits.
Варто припустити, що a> 0, і Maple тут же обчислить даний інтеграл, який він звів до обчислення краю, залежить від параметра:
> Assume (a> 0);
> Int (exp (a * x), x = 0 .. infinity);
Література
1. Говорухін В.М., Цибуліно В.Г. Введення в Maple. Математичний пакет для всіх. - М.: Світ, 1997. - 208 с.
2. Дьяконов В.П. Математична система Maple V. - М.: Видавництво «Солон», 1998.
3. Двайт Г.Б. Таблиці інтегралів та інші математичні формули. - М.: Наука. Головна редакція фізико-математичної літератури, 1983. - 176 с.
4. Матросов А.В. Maple 6. Рішення задач вищої математики і механіки. - СПб.: БХВ - Петербург, 2001. - 528 с.
5. Манзон Б.М. Maple V Power Edition - М.: Інформаційно-видавничий дім «Філін», 1998 р.
Приклад 8. Приведення коефіцієнтів у виразі.
k: = x ^ 3 * sin (x) ^ 2 + x ^ 3 * cos (x) + x ^ 3 * exp (x) + x * cos (x) +2 * x * exp (x) +7 * x * sin (x) +4 * x ^ 3;
> Collect (k, x);
> Collect (k, x ^ 3);
> Collect (k, exp (x));
> Collect (k, sin (x));
> Collect (k, cos (x));
У прикладі 8 для одного і того ж вирази здійснюється приведення коефіцієнтів щодо різних його невідомих компонентів.
Параметр form застосовується для поліномів від декількох змінних і визначає алгоритм приведення подібних членів. Зауважимо, що невідомі, при ступенях яких наводяться подібні члени, повинні бути задані у вигляді списку або множини. Параметр form два значення: recursive і distributed. У першому випадку приводяться подібні члени при ступенях перший невідомої в списку, а потім в отриманих коефіцієнти наводяться подібні члени щодо ступенів другий невідомої в списку і т.д. Якщо при цьому значенні параметра form невідомі полінома, щодо яких наводяться подібні члени, задані у вигляді безлічі, то порядок приведення визначається системою Maple і може змінюватися від сеансу до сеансу. Значення distributed вказує на приведення коефіцієнтів при членах, що містять всілякі твори ступенів невідомих у списку або множині, причому сумарна ступінь всіх змінних зростає від найменшої до найбільшої.
Приклад 9. Алгоритми приведення для поліномів декількох змінних.
> P: = x * ya ^ 2 * x * y + y * x ^ 2-a * y * x ^ 2 + x + a * x; # поліном двох змінних
> Collect (p, [x, y], recursive);
> Collect (p, [y, x], recursive);
> Collect (p, {x, y}, recursive);
> Collect (p, {x, y}, distributed);
> Collect (p, [x, y], distributed);
Параметр func визначає ім'я команди, що застосовується до отриманих у результаті коефіцієнтам при відповідних ступенях невідомих. Зазвичай використовують команди simplify () і factor ().
Приклад 10. Завдання функції, застосовуваної до отриманих коефіцієнтів.
> D: = a ^ 4 * y-y + a ^ 4 + a ^ 2;
> Collect (d, y);
> Collect (d, y, factor); # розкладання на множники коефіцієнтів при y
8. Раціоналізація дробів: rationalize ()
Раціоналізація дробу - це позбавлення від ірраціональності в знаменнику цього дробу. Команда rationalize () виробляє таке перетворення над числовими і алгебраїчними дробами. Причому в разі алгебраїчної дробу приймається до уваги тільки знаменник у вигляді полінома. Ця команда може раціоналізувати алгебраїчну дріб, знаменник якого містить трансцендентні функції типу sin (), ехр (), ln () і т.п. Однак якщо їх аргумент є дробом з ірраціональності в знаменнику, то ці конструкції не беруть участь в процесі раціоналізації.
Приклад 11. Раціоналізація дробових виразів.
> A: = 7 * (3 ^ (1 / 3) +4 ^ (1 / 5)) / (3-2 ^ (1 / 3));
> Rationalize (a);
> B: = y / (y + sqrt (2-sqrt (5)));
> Rationalize (b);
> C: = 1 / (3-root (cos (1 / (2 + sqrt (mu))), 5));
> Rationalize (c);
9. Обмеження на невідомі: assume ()
Часто в математичних висновках доводиться робити ті чи інші припущення щодо деяких величин, що фігурують у наших дослідженнях, тобто якось обмежувати ці величини. Одні обмеження логічно випливають з області визначення незалежних змінних, що входять у вирази, інші ми накладаємо самі. У системі Марlе є команди для введення та перевірки обмежень, накладених на деякі невідомі або навіть цілі вирази. Введені обмеження використовуються командами і функціями Maple, наприклад simplify (), sqrt (), для отримання більш простої відповіді, якщо введені обмеження дозволяють це.
Призначення команди assume () - Накладати обмеження на невідомі величини Maple. Команда має наступний синтаксис:
assume (x, властивість);
Тут х - будь невизначена змінна або вираз з такими змінними, а параметр властивість може приймати значення, рівні назвами властивостей (відповідає символьному іменам, зарезервованим Maple для завдання різних обмежень на змінну або вираз, певні першим параметром), імені типу даних і числовому діапазону. Деякі з найбільш уживаних властивостей перераховані в табл. 1.
Таблиця 1. Властивості числових змінних і виразів
Назва властивості | Опис |
| negative | Негативні дійсні числа з інтервалу (- ¥, 0) (Нуль не включається) |
| nonnegative | Невід'ємні дійсні числа з інтервалу (0, ¥) (Нуль включається) |
| positive | Позитивні дійсні числа з інтервалу (0, ¥) (Нуль не включається) |
| natural | Натуральні числа (цілі, великі або рівні 0) |
| posint | Цілі суворо великі 0 |
| odd | Непарні числа |
| even | Парні числа |
| complex | Комплексні числа |
NumeralNonZero | Комплексні числа, виключаючи 0 |
| real | Дійсні числа |
| rational | Раціональні числа (дробу й цілі) |
| irrational | Ірраціональні числа |
| integer | Цілі числа |
| fraction | Тільки дробові числа |
| prime | Прості числа |
При накладанні на змінну будь-яких обмежень у результатах виконання дій над висловлюваннями, в які входить ця змінна, відразу ж за її ім'ям за умовчанням відображається символ тильда (~). Цю функціональність за замовчуванням можна змінити на наступні:
¨ або взагалі не інформувати користувача, що на змінну накладені обмеження, і вона буде продовжувати відображатися як і всі змінні без обмежень (команда Options Þ Assumed Variables Þ No Annotation);
¨ або в області виведення, коли Ви бачите результати, в яких присутня змінна з накладеними обмеженнями, словесно повідомляється, на які змінні накладені обмеження (команда Options Þ Assumed Variables Þ Phrase).
Приклад 12. Способи відображення змінних з обмеженнями.
> Assume (a> 0);
> Ln (a ^ 2); # Відображення за замовчуванням
> Ln (a ^ 2); # Режим не інформувати користувача
> Ln (a ^ 2); # Словесне повідомлення
Повернутися в режим відображення змінних з накладеними обмеженнями за замовчуванням можна командою Options Þ Assumed Variables Þ Trailing Tildes.
В якості своїх параметрів команда assume () може отримувати кілька пар (х, властивість) або кілька математичних відносин. У цьому випадку всі задані обмеження діють одночасно. Тому накладення обмежень у вигляді
> Аssumе (х> 3, х <5);
відповідає тому, що змінна х може змінюватися тільки в інтервалі (3,5).
Нове обмеження, що накладається новою командою assume () на змінну, скасовує всі попередні обмеження. Тому послідовне завдання обмежень двома командами:
> Assume (x> 3);
> Assume (x <5);
відповідає припущенню, що значення змінної х не перевершує числа 5, а не тому, що значення цієї змінної має лежати в інтервалі (3,5).
Якщо необхідно ще додати обмеження на змінну, то можна використовувати команду additionally (), параметри якої повністю відповідають параметрам команди assume (). Тоді обмеження, певні командою additionally (), додаються до обмежень, введених командою assume () і попередніми командами additionally ():
> Assume (x> 3); # У наступних обчисленнях передбачається х> 3
(Якісь обчислення)
> Аdditiоnаllу (х <= 5); # Тепер передбачається, що 3 <х <= 5
Щоб зняти всі раніше накладені на змінну обмеження слід цієї змінної просто привласнити її ж символьне ім'я (ім'я змінної, укладену в одинарні лапки). Для зняття всіх обмежень змінної х попередніх прикладів, слід просто виконати наступну операцію привласнення:
> X: = 'x';
Якщо ж змінна з накладеними обмеженнями використовувалася у виразах, то просте присвоювання імені змінної самої змінної не знімає обмеження на змінну в цих висловах. Подібна ситуація ілюструється у прикладі 13.
Приклад 13. Зняття обмежень зі змінною.
> Assume (b> 0);
> D: = surd (b ^ 4,4);
> B: = 'b': b;
> D;
Як бачимо, зняття усіх накладених на змінну b обмежень не знімає, однак, цих обмежень зі змінною b у виразі d. Щоб зняти обмеження з цієї змінної, слід до команди зняття обмежень зі змінною скористатися командою підстановки subs () і першим параметром вказати заміну змінної b на її символьне ім'я 'b'.
Приклад 14. Зняття обмежень зі змінною у виразі.
> Assume (b> 0);
> D: = sqrt (b ^ 4);
> D;
> D: = subs (b = 'b', d);
> B: = 'b';
> D;
Функція is () визначає, чи задовольняє деяка змінна робочого аркуша певним властивості. Ця функція повертає значення true, якщо всі можливі значення змінної відповідають заданому властивості. Якщо хоча б одне з можливих значень не відповідає заданому властивості, то функція is () повертає false. Функція is () може повернути значення FAIL, що говорить про неможливість визначити, чи відповідає задана мінлива заданому властивості. Це буває або в результаті недостатності інформації щодо обмежень на змінну, або неможливості обчислити логічні обмеження на змінну.
Приклад 15. Чи задовольняє мінлива заданим обмеженням.
> Assume (a> 0);
> Is (a> 0);
> Is (a <1);
> Additionally (a <1);
> Is (a <1);
За допомогою функції coulditbe () можна перевірити, чи може задана мінлива відповідати заданому властивості. Вона повертає true, якщо хоча б одне з можливих значень змінної може мати заданий властивість, і fа1sе в іншому випадку. Сенс значення FAIL відповідає такому ж значенню для функції is ().
Приклад 16. Чи може мінлива задовольняти заданим обмеженням.
> Assume (a> 0);
> Is (a> 0);
> Coulditbe (a = 1);
> Additionally (a <1);
> Coulditbe (a = 1);
Команда about () відображає інформацію про накладені обмеження на невідому величину:
> About (a);
Originally a, renamed a ~:
is assumed to be: RealRange (Open (0), Open (1))
Як зазначалося раніше, багато функцій і команди Maple використовують інформацію про накладені на невідому величину обмеження при виконанні символьних обчислень. Наприклад, Марle не може обчислити наступний межа через невідомість знака символьної змінної а:
> Int (exp (a * x), x = 0 .. infinity);
Definite integration: Can't determine if the integral is convergent.
Need to know the sign of -> - a
Will now try indefinite integration and then take limits.
Варто припустити, що a> 0, і Maple тут же обчислить даний інтеграл, який він звів до обчислення краю, залежить від параметра:
> Assume (a> 0);
> Int (exp (a * x), x = 0 .. infinity);
Література
1. Говорухін В.М., Цибуліно В.Г. Введення в Maple. Математичний пакет для всіх. - М.: Світ, 1997. - 208 с.
2. Дьяконов В.П. Математична система Maple V. - М.: Видавництво «Солон», 1998.
3. Двайт Г.Б. Таблиці інтегралів та інші математичні формули. - М.: Наука. Головна редакція фізико-математичної літератури, 1983. - 176 с.
4. Матросов А.В. Maple 6. Рішення задач вищої математики і механіки. - СПб.: БХВ - Петербург, 2001. - 528 с.
5. Манзон Б.М. Maple V Power Edition - М.: Інформаційно-видавничий дім «Філін», 1998 р.