Зміст
1) Основне поняття нерівності
2) Основні властивості числових нерівностей. Нерівності містять змінну.
3) Графічне рішення нерівностей другого ступеня
4) Системи нерівностей. Нерівності і системи нерівностей з двома змінними.
5) Рішення раціональних нерівностей методом інтервалів
6) Рішення нерівностей, що містять змінну під знаком модуля
1. Основне поняття нерівності
Нерівність [inequality] - співвідношення між числами (або будь-якими математичними виразами, що можуть приймати чисельне значення), яке вказує, яке з них більше або менше іншого. Над цими висловами можна за певними правилами проводити наступні дії: додавання, віднімання, множення і ділення (причому при множенні або розподілі Н. на від'ємне число сенс його змінюється на протилежний). Одне з основних понять лінійного програмування - лінійні нерівності виду
a 1 x 1 + a 2 x 2 + ... + A n x n * b,
де a 1 ,..., a n, b - постійні і знак * - один із знаків нерівності, напр. ≥, <, ≤.
У матричній алгебрі знак ≥ означає що всі елементи матриці, розташованої ліворуч, не менше (а хоча б частину з них більше) відповідних елементів матриці, розташованої праворуч. На відміну від цього знак ≤ означає, що всі елементи лівої матриці не менше відповідних елементів правої матриці; зокрема, всі відповідні елементи можуть бути попарно рівні. (Іноді застосовуються й інші позначення.)
Класифікація нерівностей
Нерівності, що містять невідомі величини, поділяються на: [1]
· Алгебраїчні
· Трансцендентні
Алгебраїчні нерівності поділяються на нерівності першої, другої, і т. д. ступеня.
Приклад:
Нерівність
Нерівність
2. Основні властивості числових нерівностей. Нерівності містять змінну
1) Якщо a> b, b
3) Якщо a> b a + c> b + c;
4) Якщо a + b> c a> cb;
5) Якщо обидві частини вірного нерівності помножити на одне й те саме додатне число, то вийде вірне нерівність;
6) Якщо обидві частини вірного нерівності помножити на одне і те ж число і змінити знак на протилежний, то вийде вірне нерівність;
7) Безліч всіх х, при яких мають зміст виразу f (x) і g (x), називається областю визначення нерівності f (x)> g (x);
8) Два нерівності, що містять одну і ту ж змінну, називаються рівносильними, якщо вони мають спільне безліч рішень (безліч рішень цих нерівностей збігаються);
9) Якщо до обох частин нерівності додати (або відняти) будь-яку функцію J (x). область визначення якої містить область визначення нерівностей, то вийде нове нерівностей, рівносильну даним;
10) Якщо обидві частини нерівності f (x)> g (x) помножити (або розділити) на будь-яку функцію J (x), визначену для всіх значень змінної х з області визначення даного нерівності, зберігає постійний знак і відмінну від нуля, то при J (x)> 0 вийде нерівність, рівносильну даному, а при J (x) <0 рівносильним даним є нерівність протилежного знака.
Нерівності з однією змінною. Нехай дано нерівність f (x)> g (x). Будь-яке значення змінної, при якому таку нерівність з однією змінною звертається в правильне числове нерівність, називається рішенням нерівності з однією змінною. Вирішити нерівність зі змінною - означає знайти всі його рішення або довести, що їх немає.
Два нерівності з однією змінною називаються рівносильними, якщо вирішення цих нерівностей збігаються.
3. Графічне рішення нерівностей другого ступеня
1) Графіком квадратичної функції y = ах 2 + bх + с є парабола з гілками, спрямованими вгору, якщо а> 0, і вниз, якщо а <0 (іноді говорять, що парабола спрямована опуклістю вниз, якщо а> 0 і опуклістю вгору , якщо а <0). При цьому можливі три випадки:
2) Парабола перетинає вісь 0х (тобто рівняння ах 2 + bх + с = 0 має два різні кореня). Тобто, якщо а <0 то рішенням нерівності є безліч [x1; x2].
y = ах 2 + bх + з a> 0 D> 0 y = ах 2 + bх + з a <0 D> 0,
Парабола має вершину на осі 0х (тобто рівняння ах 2 + х + с = 0 має один корінь, так званий дворазовий корінь) Тобто, якщо d = 0, то при a> 0 рішенням нерівності служить вся числова пряма, а при a <0 єдина точка х1, яка є єдиним коренем квадратного тричлена ах 2 + х + з
y = ах 2 + bх + з a> 0 D = 0 y = ах 2 + bх + з a <0 D = 0,
3) Якщо d <0 то графік квадратного тричлена f (x) = ах 2 + bх + з не перетинає вісь Ох і лежить вище цієї осі при a> 0 і нижче її при a <0 У першому випадку безліч рішень нерівності є вся числова пряма, а в другому воно є порожнім.
4)
y = ах 2 + bх + з a> 0 D <0 y = ах 2 + bх + з a <0 D <0,
4) Вирішити нерівність графічним способом
1) 3х 2-4х
3х 2-4х
1. Нехай f (x) = 3х 2-4х - 7 тоді знайдемо такі х при яких f (x)
2. Знайдемо нулі функції.
3х 2-4х-7 = 0,
D = 100,
Х =- 1 Х = 7 \ 3.
f (x)
Відповідь f (x)
2) х 2>-4x-5;
x 2 +4 x +5> 0;
Нехай f (x) = х 2 +4 х +5 тоді Знайдемо такі х при яких f (x)> 0,
X 2 +4 x +5 = 0,
D =- 4 Немає нулів.
Відповідь
4. Системи нерівностей. Нерівності і системи нерівностей з двома змінними
1) Безліч рішень системи нерівностей є перетин множин рішень входять до неї нерівностей.
2) Безліч рішень нерівності f (х; у)> 0 можна графічно зобразити на координатній площині. Зазвичай лінія, задана рівнянням f (х; у) = 0, розбиває площину на 2 частини, одна з яких є рішенням нерівності. Щоб визначити, яка з частин, треба підставити координати довільної точки М (х0; у0), не лежить на лінії f (х; у) = 0, у нерівність. Якщо f (х0; у0)> 0, то рішенням нерівності є частина площини, що містить точку М0. якщо f (х0; у0) <0, то інша частина площини.
3) Безліч рішень системи нерівностей є перетин множин рішень входять до неї нерівностей. Нехай, наприклад, задана система нерівностей:
Для першого нерівності безліч рішень є коло радіусом 2 і з центром в початку координат, а для другого-полуплоскость, розташована над прямий 2х +3 у = 0. Безліччю рішень даної системи служить перетин зазначених множин, тобто півколо.
4) Приклад. Вирішити систему нерівностей:
Рішенням 1-го нерівності служить безліч
Перетинанням зазначених множин є проміжок (2, 3], який і є безліч рішень системи нерівностей.
5. Рішення раціональних нерівностей методом інтервалів
В основі методу інтервалів лежить таке властивість двочлена (х-а): точка х = α ділить числову вісь на дві частини - праворуч від точки α двочлен (х-α)> 0, а зліва від точки α (х-α) <0 .
Нехай потрібно вирішити нерівність (x-α 1) (x-α 2 )...( x-α n)> 0, де α 1, α 2 ... α n-1, α n - фіксовані числа, серед яких немає рівних, причому такі, що α 1 <α 2 <...< α n-1 <α n. Для вирішення нерівності (x-α 1) (x-α 2 )...( x-α n)> 0 методом інтервалів поступають таким чином: на числову вісь наносять числа α 1, α 2 ... α n-1, α n; в проміжку праворуч від найбільшого з них, тобто числа α n, ставлять знак «плюс», у наступному за ним справа наліво інтервалі ставлять знак «мінус», потім - знак «плюс», потім знак «мінус» і т.д. Тоді множина всіх рішень нерівності (x-α 1) (x-α 2 )...( x-α n)> 0 буде об'єднання всіх проміжків, в яких поставлено знак «плюс», а безліч рішень нерівності (x-α 1 ) (x-α 2 )...( x-α n) <0 буде об'єднання всіх проміжків, в яких поставлено знак «мінус».
1) Рішення раціональних нерівностей (тобто нерівностей виду
Тому для знаходження проміжків знакопостоянства функції y = f (x) на числовій прямій відзначають всі точки, в яких функція f (x) звертається в нуль або терпить розрив. Ці точки розбивають числову пряму на кілька проміжків, всередині кожного з яких функція f (x) неперервна і не звертається в нуль, тобто зберігає знак. Щоб визначити цей знак, достатньо знайти знак функції в будь-якої точці розглянутого проміжку числової прямої.
2) Для визначення інтервалів знакопостоянства раціональної функції, тобто Для вирішення раціонального нерівності, відзначаємо на числовій прямій коріння чисельника і коріння знаменника, які як і є корінням і точками розриву раціональної функції.
Рішення нерівностей методом інтервалів
3.
Рішення. Область допустимих значень визначається системою нерівностей:
Для функції f (x) =
звідки x = 29 і x = 13.
f (30) =
f (5) =
Відповідь: [4; 29).
х 2 + х-2
Нехай f (x) = х 2 + х-2 тоді знайдемо такі х при яких f (x) <0.
Знайдемо нулі х = 1, х =- 2.
х 3-4х <0
x (x 2 -4) <0
x (x-2) (x +2) <0
x = 0 x = 2 x =- 2
6. Рішення нерівностей, що містять змінну під знаком модуля
Рішення нерівності, що містить вираз
Можна скористатися геометричною інтерпретацією модуля дійсного числа, згідно з якою | a | означає відстань точки а координатної прямої від початку відліку О, а | ab | означає відстань між точками а і b на координатній прямій.
Можна використовувати метод зведення в квадрат обох частин нерівності, заснований на наступній теоремі. Якщо вираження f (x) і g (x) при будь-яких х приймають тільки невід'ємні значення, то нерівності f (x)> g (x) і (f (x)) 2> (g (x)) 2 рівносильні.
Можна використовувати властивості нерівностей, що містять змінну під знаком модуля:
Вирішити нерівність:
Об'єднуючи результати отримаємо
//ua-referat.com