Застосування узагальненої теореми Птолемея
Тема “ Застосування узагальненої теореми Птолемея” актуальна тим, що за новими стандартами з математики вивчення курсу геометрії 9-10 класів передбачає вивчення вписаних і описаних чотирикутників, а саме необхідної і достатньої умови вписаного в коло і описаного навколо кола чотирикутника, а також теореми Птолемея. Тут ми пропонуємо матеріал про узагальнену форму теореми Птолемея, необхідної для поглибленого вивчення геометрії, підготовки до різних турнірів, конкурсів та олімпіад з математики.
Узагальнена теорема Птолемея(нерівність Птолемея) стверджує, що для довільного опуклого чотирикутника 
виконується нерівність 
. Причому рівність досягається лише тоді, коли всі точки лежать на одному колі (рис.1).Доведемо цю нерівність за допомогою інверсії.
Доведення:
К
Рис.2
Нехай на площині дано три точки
, які не лежать на одній прямій. Тоді через ці точки проходить єдине коло 
(рис.2). Нехай, далі, 
– інверсія з центром в точці 
і радіусом 
. Для нас величина не має значення; для визначеності будемо вважати, що більше діаметра кола . Образом кола відносно інверсії буде пряма 
, яка лежить повністю поза колом , тому що більше діаметра кола . Через 
і 
позначені образи точок 
і 
. Точки і , очевидно, лежать на прямій . Візьмемо тепер на площині довільну точку 
(яка не співпадає з жодною з точок ), і нехай 
– її образ. Якщо точка лежить на колі , то точка належить прямій ; якщо ж не лежить на , то не належить прямій . Очевидно, що обернене твердження також справедливе. Тому для того, щоб чотири точки 
лежали на колі , необхідно і достатньо, щоб точки 
лежали на прямій .Якщо три точки
лежать на одній прямій, то для відрізків C1A1, A1B1, C1B1 виконується одне і тільки одне з трьох співвідношень:
,
, (
) 
. Якщо ж точки
не лежать на одній прямій, то для тих же відрізків справедлива нерівність
. (
)Напишемо тепер співвідношення (
) та ( ) так, щоб в них не були задіяні точки C1, A1, B1. Для цього скористаємося лемою 1.Лема 1. Нехай на площині задана інверсія
з центром в точці 
та радіусом r. Нехай 
і 
– дві довільні точки площини, відмінні від точки та нескінченно віддаленої точки О∞. Тоді 
, де 
та 
.Користуючись цією лемою, маємо
, 
, 
.Отже, якщо точки лежать на колі
, то їх образи 
лежать на прямій і виконується рівність
.(візьмемо для визначеності, що
лежить між та ); якщо ж точки не лежать на колі К, то виконується відношення
.Звідси маємо, що
, якщо точки лежать на одному колі, і 
, якщо точки не лежать на одному колі.Отже узагальнена теорема Птолемея доведена. Розглянемо приклади її застосування.
Задача 1. Бісектриса кута
трикутника 
перетинає описане навколо цього трикутника коло в точці . Доведіть, що 
.Розв’язання
С
получимо вершини і з точкою . За властивістю бісектриси кута маємо, що відрізок 
ділить дугу 
на дві рівні частини, тобто 
. Звідси робимо висновок, що ця рівність виконується і для хорд: 
.Застосуємо для отриманого чотирикутника теорему Птолемея: 
. Перетворимо цю нерівність до такого виду 
і поділимо її на рівність 
. Отримаємо 
, що і треба було довести.Задача 2. На дузі
описаного навколо квадрата 
взято точку . Доведіть, що 
.Р
озв’язанняЩоб довести дану рівність скористаємось теоремою Птолемея для чотирикутника
: 
. Повернемось до квадрата . Позначимо довжину кожної сторони 
та знайдемо довжину
. 
. Підставимо отримані величини в теорему Птолемея 
та поділимо обидві частини рівності на . Отримаємо шукану рівність 
.Висновки:
Розглянуто один з варіантів доведення нерівності Птолемея;
Наведено декілька прикладів на застосування нерівності Птолемея;
Запропонований матеріал не вичерпує область застосування нерівності Птолемея. Існує безліч інших задач з планіметрії на застосування цієї нерівності.
Література
Бакельман И. Я. Инверсия\ И. Я. Бакельман. – М.: «Наука», 1966. – 52-54с.
Прасолов В. В. Задачи по планиметрии: учебное пособие\В. В. Прасолов. – М.: «Московские учебники»,2006. – 155-156с.
Дикий Михайло,
II курс, фізико-математичний факультет,
Спеціальність «Середня освіта(математика)»
Науковий керівник – Поліщук З. П.,
старший викладач