вимірюють за шкалою на диску. Взяв ши відношення синусів кутів падінн; до синусів відповідних кутів заломлен ня, можна переконатися, що це відно шення залишається сталим при змії кута падіння.

Легко бачити, що заломлений пр мінь лежить у тій самій площин що й падаючий промінь і перпендику­ляр, проведений в точку падіння про­меня.

Заломленням світла пояснюється ряд цікавих явищ, докрема, уявне зменшення глибин водойм (мал. 339), коли дивитися на дно через товщу води.

Цікавим проявом заломлення світла є виникнення міражів у пустинях і на морі. Над гарячим піском знаходиться нагріте повітря, а вище — холодне. Завдяки цьому промінь світла, що йде в атмосфері поблизу земної поверхні, проходить ніби через безліч тонких паралель­них один одному і земній поверхні шарів, показник залом­лення яких зростає зі збільшенням висоти шару. На межі розділення кожної пари таких шарів відбувається залом­лення світла, внаслідок чого промінь викривляється (мал. 140) і спостерігачеві здається, ніби він виходить з точки А\, а не з точки А.





Над поверхнею води можна спостерігати зворотний процес. Поблизу води може бути шар холодного повітря, а над ним — шар теплого. Внаслідок цього може створи­тися враження, ніби корабель, що знаходиться далеко в морі, плаває в небі (мал. 141).

1 1. У чому по лягає явище заломлення світла? 2. Побудуйте фронт заломленої хаяаі для випадку* коли швидкість світла в другому сере­довищі більша. 3. Який існує ав'явок між показником заломлення і швидкостям* овіяла в цих середовищах?

Вправа 6

1. 
   Кут — Д*^ІЯШ променя * = 50*. а кут заломлення p* = ЗО⁹. Визна­
   чити яокажвж заломлення другом середовища відносно першого.
   
2. 
   Лнвм ід і ■ кут заломлення променя, якщо він падав під ку­
   том а =46* до межі розділення двок середовищ з відносним показни­
   ком заломлення л=1,63.
   
3. 
   Промінь світла переходить з води в повітря і утворює кут задом»
   лення (і = 90°. Під яким кутом надає цей промінь на межу розділення
   

води й повітря?

4. Промінь світла падав иід кутом а =60° на илоскопаралельну
пластинку і виходить з неї паралельно початковому напряму, зміс­
тившись на і=20мм. Визначити товщину пластинки, якщо показник
заломленая окла п= 1,5.

f 68. Принцип Ферма

В оптично однорідній речовині, тобто речовині, всі точ­ки якої характеризуються одним і тим самим значенням показника заломлення, світло поширюється прямолінійно, тобто найкоротшим шляхом між двома заданими точками. Під час переходу з одних речовин в інші світло заломлю­ється і відбивається на їх межах; у цьому випадку його шлях став ламаним. А як поширюється світло в речовині з показником заломлення, що безперервно змінюється?

Чи існує якась загальна закономірність, яка описує поши­рення світла у всіх цих випадках? Відповідь на це запи­тання дав французький математик П'ер Ферма, який в се­редині XVII століття сформулював чудовий принцип, з якого прямо випливають всі основні закони поширення світла.

Ферма припустив, що поширення світла з однієї точки в другу відбувається по шляху, проходження якого ви­магає менше часу, ніж будь-які інші шляхи між тими самими точками. В цьому й полягає суть принципу Ферма, який також називають принципом найменшого часу.

З принципу Ферма випливає, що в однорідному середо­вищі (в такому середовищі швидкість світла всюди одна­кова) світло має поширюватися прямолінійно: пряма — найкоротша відстань між двома точками, отже, і час поширення — найменший.

Покажемо тепер, що закон відбивання світла — теж прямий наслідок принципу Ферма.

Нехай з точки А на плоске дзеркало падає промінь світ­ла і нас цікавить, яким шляхом світло, відбившись від дзеркала, приходить з точки А в точку В (мал. 142). На малюнку показані деякі з можливих шляхів А А'В, АСВ, АВ'В. Таких «маршрутів» для світла можна зобразити нескінченну множину. Вони різні за довжиною, тому на їх проходження потрібен різний час. Він залежить від того, в яку точку дзеркала впаде промінь і, відбившись, піде в напрямі точки В.

З простих геометричних міркувань легко з'ясувати, куди саме повинен впасти промінь, щоб час його прохо­дження по «маршруту» точка А — дзеркало — точка В був найменшим. На малюнку 143 показано один з можливих шляхів — АСВ. Опустимо з точки В перпендикуляр на дзеркало ММ\ і продовжимо його по другий бік дзеркала до точки В', яка знаходиться від дзеркала на відстані \ОВ'\ = \ОВ\. Проведемо лінію СВ'. Утворені трикутни­ки СОВ і СОВ' рівні між собою, оскільки вони прямо­кутні, сторона ОС в них спільна і \ОВ\= \ОВ'\. Отже,

\СВ\— ІСВ'І, звідки випливає, що довжина шляху променя АСВ дорівнює сумі довжин від А до точки С падіння променя на дзеркало і від цієї точки до точки В. Зрозуміло, що ця сума буде найменшою, якщо точка С лежатиме на прямій, яка з'єднує

точки А і В'. Тоді й сума довжин ' АС\ і \СВ\, тобто довжи­на усього шляху світла буде найменшою. Найменшим буде і час проходження світлом цього шляху.

З малюнка 143 видно, що (трикут-

ник ВСВ' рівнобедрений, тому CO— бісектриса кута при вершині), а як вертикальні. Це означає,

що кути нахилу падаючого і відбитого променів до дзер­кала дорівнюють один одному. В цьому й полягає закон відбивання світла. Однак прийнято відраховувати кути не від площини дзеркала, а від перпендикуляра до нього в точці падіння. Але зрозуміло, що коли рівні кути і та іі, то рівні й кути а та р. Закон відбивання звичайно запи­сують:

Закон цей, як бачимо,— наслідок того, що світло ніби «вибирає» шлях, який проходить за найменший час. Не­важко бачити, з принципу Ферма випливає твердження, що промінь падаючий, промінь відбитий і перпендикуляр до дзеркала в точку падіння лежать в одній площині. Коли б це було не так, то шлях був би довшим і вимагав би більше часу.

З принципу Ферма можна дістати й закон заломлення світлових променів. Мова йде про перехід світла із середо­вища / до середовища // через межу розділення між ними (мал. 144). Середовища відрізняються швидкостями поширення в них світла.

Розглянемо випадок, коли першим середовищем є ва­куум, у якому швидкість світла с, а другим середовищем — прозора речовина (наприклад, скло, вода тощо), в якій швидкість світла vменша ніж с:

Між точками А в середовищі / і В в середовищі // та­кож можлива нескінченна множина шляхів, але, згідно



з принципом Ферма, світло «обирає» той з них, для про­ходження якого потрібен найменший час. Зрозуміло, наприклад, що шлях А А'В не є таким шляхом, тому що тут світло проходить коротку (найкоротшу) відстань у середо­вищі з великою швидкістю і велику відстань у середовищі з малою швидкістю. Можливо, вигіднішим є шлях АВ'В? Тут світло в середовищі з малою швидкістю проходить мінімальну частину шляху, а найбільша частина припадає на середовище з великою швидкістю. Але чи цей шлях є найбільш вигідним з точки зору економії часу? Можливо, вигідніше дещо збільшити шлях у середовищі // з тим, щоб скоротити шлях у середовищі /? Інакше кажучи, треба знайти, в якій точці світловому променю треба перетнути межу розділення двох середовищ, щоб час проходження від А до В був найменшим.

Позначимо відстань між А' і В' через d. Якщо шу­кана точка перетину С межі розділення середовищ знаходиться на відстані х від А', то від В' вона перебуває на відстані d—x(див. мал. 144). Шлях АС, пройдений світлом в середовищі /, дорівнює а час проходжен-

ня цього шляху

Шлях СВ. який світло проходить у середовищі //, дорівнює а час, потрібний для проходження

цього шляху,



Загальний час tвизначається рівністю:

(68.1)

Час tзалежить лише від х — координати точки падін­ня променя, оскільки величини у і, і/о, с, vі d— сталі, тобто однакові при всіх значеннях х. Потрібно знайти, при яко­му значенні х час tбуде найменшим. Для цього візьмемо похідну від tno х і прирівняємо одержаний вираз до нуля:

(68.2) З малюнка 144 видно, що

де а — кут між

падаючим променем і перпендикуляром до межі розділен­ня в точці падіння (кут падіння) і Р — кут між дим перпен­дикуляром і заломленим променем (кут заломлення). Умова (68.2) набуває такого вигляду:



У цьому і полягає закон заломлення для даного ви­падку: відношення синуса куга падіння до синуса кута заломлення дорівнює відношенню швидкостей поширення світла у вакуумі і в середовищі, яке з ним межує, і це від­ношення є показником заломлення речовини.

Оскільки будь-який шлях від точки А до точки В, яка лежить поза площиною, проведеною через точки А і В нерпендикулярно до межі розділення, світло проходить за більший час, ніж шлях АС В, який лежить в площині жадіння, то з принципу Ферма випливає: шлях, який вимагає мінімального часу, лежить у площині падіння, тобто падаючий і заломлений промені лежать в одній ■лощині — площині падіння.

Принцип Ферма справедливий, звичайно, не лише для тих найпростіших прикладів відбивання й заломлення евітла, які ми тут розглянули. За допомогою цього прин­ципу можна зрозуміти і точно розрахувати хід ироменів і в привмі, і в лінзі і в будь-якій найскладнішій системі призм, лінз, дзеркал.

§ 69. Плоске і сферичне дзеркало

Розглянемо зображення точки Sу плоскому дзеркалі (мал. 145). Для побудови зображення цієї точки достатньо визначити напрям двох променів, відбитих від дзеркала. Промінь SAпадає на дзеркало перпендикулярно. Кут падіння цього променя дорівнює нулю, отже, і кут від­бивання теж дорівнює нулю, тобто промінь відіб'ється в напрямі AS. Промінь, що падає в напрямі SB, тобто під кутом а, відіб'ється під тим самим кутом і піде в на­прямі ВС. Відбиті промені AS і ВС не перетинаються і, отже, дзеркало не утворює дійсного зображення точки S. Однак око, що перебуває в розбіжному пучку світла, відбитого від дзеркала, побачить за дзеркалом світну точку S', положення якої визначається точкою перетину продовжень променів AS і ВС. Отже, плоске дзеркало дав уявне зображення предмета. З рівності трикутників ASBі AS В випливає, що S'A = SA.



Якщо ми побудуємо ще якийсь промінь, наприклад, SDE, то його продовження теж пройде через точку S' незалежно від значення кута падіння.

Таким чином, всі промені від світної точки, падаючи на дзеркало, відбиваються від нього так, що здається, ніби вони виходять із світної точки, розташованої за дзеркалом. Лінія, яка з'єднує світну точку з її уявним зображенням, перпендикулярна до поверхні дзеркала і ділиться нею пополам. Отже, метод побудови зображення точки в плоскому дзеркалі дуже простий. Із світної точки треба опустити перпендикуляр на площину, в якій роз­ташоване дзеркало, продовжити його за площину і знайти точку на продовженні перпендикуляра, яка знаходиться на такій самій відстані від площини, як і точка, зобра­ження якої треба побудувати. Побудова не залежить від того, проходить основа перпендикуляра через дзеркало чи ні.

Користуючись описаним способом побудови, легко по­будувати зображення предмета. Нехай АВ — обличчя (мал. 146), зображення якого треба побудувати в дзеркалі MN. Промені можна не будувати. Ми знаємо, що зобра­женням кожної точки в дзеркалі буде дзеркально симет­рична точка. Так, наприклад, зображенням точки А буде точка Лі, точки В — точка В\ і т. д. Зображення обличчя АВ у плоскому дзеркалі А\В\ буде уявним, прямим, мати­ме такий самий розмір, що й саме обличчя, і розміщене дзеркально симетрично (тобто зображення лівої частини обличчя буде правою частиною зображення і навпаки).

Плоскі дзеркала знаходять широке застосування в тех­ніці й побуті. Особливо цікавим є їх застосування у так званих кутникових відбивниках, або катафотах, основною частиною яких є три взаємно перпендикулярні плоскі дзеркала. Цікавою властивістю цього приладу є те, що падаючий на нього промінь довільної орієнтації точно відбивається назад.

Кутникові відбивники використовуються замість дзер­кал у лазерних резонаторах і в далекомірах. Спеціальні кутникові відбивники були доставлені на Місяць і ви­користані для точного вимірювання відстані до нього за допомогою лазерного променя.

Закон відбивання світла можна застосувати і для ви­значення напряму променя, відбитого від кривої поверхні. У цьому випадку напрям відбитого променя буде залежати від орієнтації дуже малого елемента відбиваючої поверх­ні, розташованого поблизу точки падіння променя, і не залежатиме від положення і форми решти частин дзер­кальної поверхні. Цей елемент поверхні можна замінити площиною, дотичною до відбиваючої поверхні у точці падіння* променя. Тоді відбивання відбуватиметься так само, як і від плоского дзеркала, яке збігається з цією допоміжною поверхнею.

З усіх неплоских дзеркал розглянемо лише сферичні, відбивна поверхня яких є зовнішньою або внутрішньою частиною сфери (мал. 147). Середина С дзеркала нази­вається полюсом. Будь-який промінь, падаючи на дзеркало через центр сфери (кут падіння дорівнює нулю), відбив­шись, піде в зворотному напрямі. Існує лише одна точка О, J яка задовольняє цій умові. Вона називається оптичним центром дзеркала. Всі прямі, що проходять через оптич­ний центр,— оптичні осі дзеркала. Одна з оптичних осей проходить через полюс С дзеркала, це головна оптична вісь. Решта оптичних осей — побічні.





Нехай на дзеркало в точку N падає промінь, паралель­ний головній оптичній осі. NO— радіус і, отже, перпен­дикуляр до сфери. Побудувавши кут відбивання, який дорівнює куту падіння, дістанемо відбитий промінь NF. Кути падіння а і NOFрівні, як односторонні кути, що "ї?^^ ^П?^{И па}Р^алельних прямих і січній. Отже, трикутник 1st О — рівнобедрений, тому \NF\

Позначаймо відстань від дзеркала до предмета

відстань від дзеркала до зображення

відстань

Звідси

Перетворимо це рівняння:

ній осі. Тоді

2. Предмет знаходиться на скінченній відстані за цент­
ром сфери:

3. Предмет ровміщений у центрі дзеркала:

ла:

5. Предмет перебуває у фокусі:

1. 
   Людина зростом 1,75 м стоїть на відстані 6 м від стовпа. На якій
   відстані від себе людина має покласти горизонтально на землю плоске
   дзеркало, щоб побачити в ньому вершину стовпа висотою 7 м?
   
2. 
   Під яким кутом до поверхні стола треба розмістити шіоеке
   дзеркало, щоб дістати зображення предмета, який лежить на столі,
   у вертикальній площині?
   
3. 
   Хлопець на зріст 150 см стоїть перед увігнутим дзеркалом на
   відстані 6 м від нього. Його зображення лежить на відстані €0 см веред
   дзеркалом. Яка висота зображення? Яка фокусна відстань дзеркала?
   Зробити малюнок предмета і його зображення.
   
4. 
   На якій відстані від обличчя треба тримати увігнуте сферичне
   дзеркало з фокусною відстанню F= ЬО см, щоб дістати збільшене у 5 ра­
   зів зображення обличчя?
   
5. 
   Опукле автомобільне дзеркало заднього огляду мав фвкусну
   відстань />'=45см. АпМоіобіль перебуває на відстані 9 м від цього
   дзеркала. На якій відстані від дзеркала дістанемо зображення авто­
   мобіля? Буде воно перед дзеркалом чи за ним?
   
6. 
   На якій відстані від обличчя треба тримати кишенькове опукле
   дзеркало, ширина якого rf—5 см, щоб бачити все своє обличчя, якщо
   фокусна відстань дзеркала F= 7,5 см, а довжина обличчя /=20см?