Теорема Вієта

Алгебра,

8 клас

Цілі:

• формування предметних компетентностей: домогтися засвоєння теореми Вієта; сформувати вміння застосовувати теорему Вієта до розв’язування задач;
• формування ключових компетентностей: формувати вміння відбирати й застосовувати потрібні знання та способи діяльності для досягнення мети; сприяти самовихованню творчого ставлення до справи.

СЛІД ЗНАТИ!

Квадратні рівняння мають

не більш ніж два

(один, два або жодного)

корені.

Означення.

Квадратне рівняння, старший коефіцієнт якого дорівнює 1, називають зведеним.

Франсуа Вієт - французький математик, «батько алгебри». У його працях алгебра набула вигляду загальної науки про алгебраїчні рівняння, яка грунтується на символічних позначеннях.

Людина великого розуму і розмірковування, один з найбільших вчених математиків століття. маркіз Летуаль

“Батько алгебри”

Основоположник аналітичної геометрії

• Першим став позначати буквами не тільки невідомі, а й дані величини, тобто коєфіцієнти
• Досяг визначних успіхів в загальній теорії алгебраїчних рівнянь

Це цікаво

• Вчений міг розв’язувати задачу дві – три доби, при цьому відмовляючись від сну та іжі.
• Якось на прийомі в короля Франції, посол Нідерландів сказав, що у Франції немає математиків які б змогли розвязати рівняння 45-го степеня. Вієт відразу назвав один з коренів, на наступний день ще 22. Цим він і обмежився. Так як останні 22 корені - від'ємні, а Вієт не визнавав ні від'ємних, ні уявних коренів.

Французько – іспанська війна

• Іспанці вигадали шифр, що містив 600 знаків і постійно змінювався. Завдяки цьому здійснювалось листування між іспанською армією та супротивниками французького короля.
• Вієт знайшов ключ до шифру, це вплинуло на хід війни
• Іспанська інквізиція оголосила Вієта чаклуном і заочно засудила до спалення на вогнищі.

Теорема Вієта

Приклад.

• сума і добуток коренів рівняння відповідно дорівнюють 15 і 54;
• сума і добуток коренів рівняння відповідно дорівнюють 7 і – 44;
• коренями рівняння є числа ;
• коренями рівняння є числа

• Знайдіть коефіцієнт р і другий корінь квадратного рівняння , якщо один із коренів

• Знайдіть коефіцієнт р і другий корінь квадратного рівняння , якщо один із коренів

Теорема, обернена до теореми Вієта

Якщо то

- корені

квадратного рівняння

ПРИКЛАД 1 Розв’яжіть за формулами коренів квадратного рівняння:

ПРИКЛАД 2 Застосовуючи теорему, обернену до теореми Вієта, розв’яжіть рівняння:

ПРИКЛАД 3 Застосовуючи теорему, обернену до теореми Вієта, розв’яжіть рівняння:

ПРИКЛАД 4 Застосовуючи теорему, обернену до теореми Вієта, розв’яжіть рівняння:

ПРИКЛАД 5 Застосовуючи теорему, обернену до теореми Вієта, розв’яжіть рівняння:

ПРИКЛАД 6 Складіть квадратне рівняння із цілими коефіцієнтами, корені якого дорівнюють -7 і -8:

За знаком добутку коренів квадратного рівняння можна визначити знаки цих коренів:

• якщо , то корені мають один знак;
• якщо , то корені мають різні знаки.

Якщо рівняння

Якщо рівняння

має корені х1 , х 2 ,

а рівняння

має корені y1 ,y2 ,

то

Наприклад:

Відповідь :