«Систематизація та узагальнення відомостей про функції. Границя функції.Основні методи обчислення границь. Неперервність функцій в точці»
1. Систематизація та узагальнення відомостей про функції.
Якщо кожному елементу х з множини Х по визначеному закону чи правила ставиться у відповідність один і тільки один елемент у з множини У, то говорять що на множині Х задана функція y=f(х).
Змінна х називається незалежною змінною або аргументом, у – залежною, або значенням функції.
Способи задання функції:
Табличний спосіб.
Графічний спосіб.
Аналітичний спосіб задання функції (за допомогою формули). У загальному вигляді: .
Наприклад:
- степенева функція
- лінійна функція
- показникова функція
- логарифмічна функція
Властивості функцій:
Множина всіх значень Х називається областю визначення функції D(f), а множина значень У, називають множиною значень функції E(f).
Функція, називається парною, якщо для будь-якого значення аргументу х з області визначення функції виконується рівність:
Функція, називається непарною, якщо для будь-якого значення х з області визначення функції виконується рівність:
Функція називається монотонно зростаючою на всій області визначення (чи на інтервалах), якщо для будь-якого значення х з області визначення функції (чи з інтервалу) виконується нерівність
Якщо за тих же умов виконується нерівність:
тоді функція називається монотонно спадною.
2. Границя функції. Основні поняття та означення
Побудуємо графік функції
.Якщо х наближається до 1, то значення у наближається до 2.
Говорять, що границя функції
при х, що наближається до 1, дорівнює 2 і записується: 
.Розглянемо другий приклад. Побудуємо графік функції
і розглянемо поведінку цієї функції при х, близьких до 1.Функція
визначена при 
х і графік являє собою пряму 
з виколотою точкою х = 1 (рис. 2), бо функція 
не визначена в точці х = 1. 
Якщо х наближається до 1 (зліва чи справа), то у наближається до 2 (відповідно знизу чи зверху).
Отже,
= 2.Таким чином:
Якщо при значеннях х, що прямують до деякого числа а, значення функції f(x) прямують до єдиного значення b, то говорять, що при х, що наближається до а, функція f(x) має границю, яка дорівнює b, і це записується так:
або f(x) → b при х → а.Число b називається границею функції у = f(x) при
, якщо для будь-якого ε > 0 існує таке число δ = δ(ε) > 0, що для всіх х, які задовольняють нерівність 0 < |х – a| < δ, виконується нерівність |f(x) – b| < ε.Записують це так:
.3. Основні теореми про границі
1. Якщо функція f(x) має границю при х → а, то ця границя єдина.
2. Границя сталої функції дорівнює цій сталій
, де С — стала.3. Сталий множник можна виносити за знак границі
Нехай при х → а функція f(x) має границю, яка дорівнює а, а функція g(x) має границю, яка дорівнює b, тоді справедливі такі рівності:
Границя суми (різниці) двох функцій дорівнює сумі (різниці) їхніх границь, при умові, що границі доданків існують.
Границя добутку двох функцій дорівнює добутку границь цих функцій
6. Границя частки двох функцій дорівнює частці границь цих функцій, якщо границі чисельника і знаменника існують і границя знаменника не дорівнює нулю
, 
7.
.8. Якщо
, то 
.9. Якщо
і 
, 
то 
. Це так звана теорема «про двох міліціонерів».10. Перша визначна границя
. 11. Друга визначна границя
, е = 
Сформульовані теореми використовуються при знаходженні границь функцій.
4. Нескінченно малі та нескінченно великі функції. Поняття еквівалентних функцій. Основні еквівалентності
Це питання виноситься на самостійне вивчення. Підготуйте дома конспект, звернувши увагу на такі питання:
Яка функція називається нескінченно малою? Нескінченно великою?
Сума і добуток нескінченно малих функцій
Коли нескінченно малі (нескінченно великі) функції називають еквівалентними?
Властивості нескінченно малих та нескінченно великих функцій.
5. Основні правила обчислення границі функції
За допомогою розглянутих властивостей (теорем) можна знаходити деякі границі.
Приклад 1. Знайдіть
.Розв'язання
.Відповідь: 3.
Приклад 2. Знайдіть
.Розв'язання
Відповідь: 2.
Цей самий результат можна дістати, підставляючи у вираз граничне значення х. Тому сформулюємо перше правило обчислення границь:
підставити у вираз граничне значення х. Якщо отримане скінченне число, границя знайдена.
Зауваження. Не завжди можна під знак границі підставляти граничне значення аргументу. Такі функції, для яких це можна робити, називаються неперервними і будуть розглянуті далі.
Розкриття невизначеностей
Приклад 3. Знайти границю
.Розв’язання:
Підставляючи х = 2 у вираз, дістанемо
. Таку ситуацію називають невизначеністю, оскільки після знаходження границь чисельника і знаменника обидві дорівнюють нулю, а границя усього виразу може бути як конкретним числом, так і нескінченністю, або взагалі може не існувати. Знайти подібну границю означає розкрити невизначеність. Є інші види невизначеностей: 
тощо.Друге правило обчислення границь:
У виразі під знаком границі на основі елементарних перетворень, формул скороченого множення, виносячи при можливості спільний множник за дужки, можна виконувати будь-які спрощення, що не суперечать правилам алгебри.
Повернемось до прикладу.
Розкладемо знаменник на множники, а в чисельнику винесемо за дужки -1.
.Відповідь:
.Зауваження. У фігурних дужках після умови вказують вид невизначеності.
Приклад 4. Знайдіть
.Розв'язання
В цьому прикладі безпосередньо скористатися теоремами про границі не можна, бо границя знаменника дорівнює нулю. Оскільки в означенні границі |х – а| > 0, тобто |х — а| 
0, то маємо
.Відповідь: 6.
Третє правило обчислення границь:
Якщо дріб безпосередньо розкласти на множники і скоротити не можна, то в цьому випадку, розкриваючи невизначеність типу
, слід чисельник і знаменник дробу помножити на вираз, спряжений до знаменника (або ж чисельника), а потім скоротити дріб.Такі випадки трапляються тоді, коли ми маємо справу із коренями.
Приклад 5. Знайдіть
.Розв’язання. Домножимо чисельник і знаменник дробу на вираз спряжений до знаменника, а саме на суму
.
Відповідь:
.Приклад 6. Знайти границю
.Розв’язання. Домножимо чисельник і знаменник дробу на вираз спряжений до чисельника, а саме на суму
.
Відповідь:
.Правило четверте: застосування першої визначної границі
Приклад 7. Знайти
.Розв'язання
Відповідь: 7.
Приклад 8. Знайти границю
.Розв’язання.
Використаємо відому тригонометричну формулу
і першу еквівалентність
.Відповідь: 8.
Розкриття невизначеностей
Розглянемо границю функції
.Шосте правило обчислення границь
Приклад 9. Знайти границю
.Розв’язання.
Використаємо наведену узагальнену формулу, врахувавши, що:
Відповідь:
.Сьоме правило:
У випадку розкриття невизначеності
використовують другу визначну границю.Приклад 10. Знайти границю
.Розв’язання.
. Відповідь:
.