Практична робота №2
Ряд розподілу. Функція та щільність розподілу ймовірностей
Тема: Ряд розподілу. Функція та щільність розподілу ймовірностей.
Мета. Ввести поняття емпіричної функції розподілу, розглянути її властивості. Встановити зв'язок з теоретичною функцією розподілу. Навчити студентів за даним розподілом вибірки будувати емпіричну функцію розподілу. Ввести поняття моди, медіани та квартилів вибіркової сукупності.
Завдання №2. За даними спостережень неперервної ознаки X генеральної сукупності необхідно: а) побудувати емпіричну функцію розподілу ; б) знайти моду та медіану вибіркової сукупності.
Розвязання
Знаходимо об’єм даної вибірки
Об'єм вибірки - це кількість спостережень у даній вибірці. У цьому ряді є 20 чисел, тому об'єм вибірки становить 20.
Найменша варіанта дорівнює 3,2 , а найбільша 11,2 : х1=3,2, хб=11,2
F*(x)=0 при х≤3,2 і F*(x)=1 при х>11.2
Для побудови емпіричної функції розподілу, необхідно спочатку відсортувати дані у порядку зростання, тоді візьмемо кожне значення даних та порахуємо, скільки значень менше або рівних йому
Спочатку відсортуємо дані:
3.2, 4, 4.5, 4.9, 5, 5.3, 5.3, 5.5, 7, 7.1, 7.2, 7.4, 7.5, 7.9, 8.1, 8.1, 9, 9.5, 11, 11.2
Після сортування, знайдемо кількість значень менших або рівних кожному елементу та розділимо ці значення на загальну кількість елементів:
Для 3.2: 1/20 = 0.05
Для 4: 2/20 = 0.1
Для 4.5: 3/20 = 0.15
Для 4.9: 4/20 = 0.2
Для 5: 5/20 = 0.25
Для 5.3: 7/20 = 0.35
Для 5.5: 8/20 = 0.4
Для 7: 9/20 = 0.45
Для 7.1: 10/20 = 0.5
Для 7.2: 11/20 = 0.55
Для 7.4: 12/20 = 0.6
Для 7.5: 13/20 = 0.65
Для 7.9: 14/20 = 0.7
Для 8.1: 16/20 = 0.8
Для 9: 17/20 = 0.85
Для 9.5: 18/20 = 0.9
Для 11: 19/20 = 0.95
Для 11.2: 20/20 = 1.0
Отже, емпірична функція розподілу для даного ряду буде мати вигляд:
F(x) = { 0, якщо x < 3.2
{ 1/20, якщо 3.2 <= x < 4
{ 2/20, якщо 4 <= x < 4.5
{ 3/20, якщо 4.5 <= x < 4.9
{ 4/20, якщо 4.9 <= x < 5
{ 5/20, якщо 5 <= x < 5.3
{ 7/20, якщо 5.3 <= x < 5.5
{ 8/20, якщо 5.5 <= x < 7
{ 9/20, якщо 7 <= x < 7.1
{ 10/20, якщо 7.1 <= x < 7.2
{ 11/20, якщо 7.2 <= x < 7.4
{ 12/20, якщо 7.4 <= x < 7.5
{ 13/20, якщо 7.5 <= x < 7.9
{ 15/20, якщо 7.9 <= x < 8.1
{ 17/20, якщо 8.1 <= x < 9
{ 9/10, якщо 9 <= x < 9.5
{ 1, якщо x >= 11.2.
Для знаходження моди вибірки потрібно знайти значення, яке зустрічається найчастіше. У даному ряді два значення, які зустрічаються найчастіше, а саме 5.3 та 8.1. Тому модою вибірки є 5.3 та 8.1.
Для знаходження медіани вибірки потрібно відсортувати значення в порядку зростання та знайти значення, яке розділяє вибірку на дві рівні частини. Якщо вибірка має непарну кількість значень, то медіаною є середнє значення. Якщо вибірка має парну кількість значень, то медіаною є середнє значення двох центральних значень. У даному ряді кількість значень є парною, тому медіаною є середнє значення двох центральних значень, тобто (7,1 + 7,2)/2 = 7,15
Отже, мода вибіркової сукупності дорівнює 5.3 та 8.1., а медіана - 7.15.