РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СТЕРЕОМЕТРИЧНИХ ЗАДАЧ У
СКМ GEOGEBRA
Система комп’ютерної математики (СКМ)GeoGebra є найпопулярнішою в свiтi програмою за допомогою якої можна розв’язувати рiзноманiтнi типи математичних задач від обчислення значення виразу, до побудови різноманітних геометричних фігур. Комп’ютерні інструменти програми GeoGebra 5.0 дозволяють оперувати тривимірними геометричними об’єктами: будувати 3D- об’єкти, здійснювати побудову динамічного сліду для 3D- об’єктів та 3D- перетворення для об’єктів, які задані аналітично. Використання всіх можливостей програми у процесі розв’язування задач підвищує рівень мотивації до навчання, відбувається розвиток просторової уяви, а також збільшується процент засвоєння навчального матеріалу.
Весь потенціал використання 3D- інструментарію розкривається саме під час навчання математики, тому нижче опишемо залучення середовища GeoGebra 5.0 до розв’язування стереометричних задач.
Задача 1. Три сфери радіусів r i R розміщені так, що кожна сфера дотикається до двох сфер радіуса r і до двох сфер радіуса R. Центри усіх сфер лежать в одній площині. Знайти відношення радіусів цих сфер r : R
Методичний коментар: задача вимагає від учнів розвиненої просторової уяви і бачення складної тривимірної конструкції, тому доцільним є застосування прийому «відхід на площину», який із залученням середовища GeoGebra 5.0 є результативним завдяки передбаченій розробниками одночасній демонстрації тривимірних об’єктів і їх плоского перерізу площиною.
Розв’язання. Для створення сфер однакового, але змінного радіуса, проведемо пряму, на якій побудуємо відрізки CD i DE — вони будуть визначати змінні радіуси сфер r i R. Встановимо додаткове полотно Вид/Полотно 3D, на якому побудуємо по три сфери за довільними центрами у площині ХОY і радіусами CD i DE. За допомогою інструмента Кривая пересечения зафіксуємо кола, які утворюються перетином побудованих сфер з площиною. На полотні 2D з’являться кола проекцій. Очевидно, що зміна ракурсу 3D-зображення не дозволить побудувати задану умовою конфігурацію, тому будемо працювати на полотні 2D.
Будемо змінювати положення кожного кола до тих пір, поки вони не розташуються так, як вимагає умова: стає зрозумілим, що центри кіл мають знаходитися у вершинах правильних трикутників (рис. 31). Зауважимо, що рухати кола зручно за допомогою переміщення їхніх центрів, а радіус змінювати рухом точок С і Е(рекомендуємо точку D залишати на місці, щоб одночасно не змінювалися радіуси усіх кіл).
Коли конфігурацію побудовано, обчислимо потрібне відношення. Для цього визначимо відстань між точками C і D та D і E або довжини сторін одержаних трикутників (GH і JK). Потім додамо полотно CAS (меню Вид/CAS), у якому обчислимо інструментом Вычислить (або Десятичная дробь) потрібне відношення: у нашому випадку обчислено два для порівняння (відношення сторін трикутників і відношення довжин відрізків, що визначають радіуси сфер). Виявляється, що відношення радіусів таких сфер дорівнює 0,1.
Рис. 1. Інтерактивне поєднання 2D і 3D зображень під час розв’язування задач [5,6].
Задача 2. Знайти довжину найкоротшого шляху по поверхні куба ABCDA1B1C1D1 з ребром 1 см, що з’єднує вершини А і С1.
Методичний коментар: найкоротший шлях визначається через відстань між двома точками, але обмеження задачі на визначення відстані саме по поверхні куба вимагає прокласти шлях, який з’єднує ці точки, що важко навіть для тих, хто має розвинену просторову уяву. Застосування розгортки значно спрощує розв’язання, але її побудова і нанесення потрібних точок також вимагають вмінь бачити проекції просторових тіл.
Розв’язання. Для вдалого і негроміздкого зображення побудов заздалегідь обмежимо позначення об’єктів (Настройки/ Обозначения/ Только для точек). Побудуємо дві сусідні вершини нижньої основи куба зі стороною 1, для чого через командний рядок задамо точки А(1;0;0) та В(1;1;0). За допомогою інструмента Кубпобудуємо куб ABCDA1B1C1D1, вказавши дві сусідні вершини.
Для точок А і С1змінимо їх колір (наприклад, на червоний) і збільшимо їх розмір, тим самим виділимо їх серед інших вершин.
За допомогою інструменту Розгортка побудуємо розгортку куба (рис. 32), яка автоматично з’явиться і на полотні 2D.
Рис. 2. Побудова розгортки многогранника (задача2)
Позначимо на розгортці точку, що відповідає вершині С1 і побудуємо відрізок АС1. Визначимо його довжину — у властивостях відрізка АС1 у пункті Показыватьобозначение оберемо Значение. Зауважимо, що після побудови розгортки знаходження точного розв’язку задачі зводиться до застосування теореми Піфагора і стає очевидним –
. Відповідь. Довжина відрізка АС1 дорівнює 2,24[6].
Є ще одна особливість програми GeoGebra 5.0, яка вирізняє її серед подібних програм, – це можливість побудови динамічного сліду для 3D -об’єктів.Завдяки інструментам Симетрія відносно площини, Симетрія відносно прямої, Симетрія відносно точки, Поврот об'єкта навколо прямої, Паралельне перенесення по вектору, Гомотетія щодо точки середовище GeoGebra 5.0 підтримує також одну з найскладніших тем «Геометричні перетворення простору». Ці інструменти можна використати через панель інструментів активного 3D- полотна.
Також у середовищі передбачено можливість 3D-перетворень для об’єктів, які задані аналітично, що дозволяє говорити про програму GeoGebra 5.0 як потужну й універсальну комп’ютерну підтримку курсу стереометрії.
Література:
GeoGebra. Материалы [Електронний ресурс]: URL: https://www.geogebra.org (дата звернення: 03.04.2019).
Вітюк О. В. Використання засобів новітніх інформаційних технологій навчання під час розв’язування стереометричних задач обчислювального характеру. Математика в шк., 2000. № 5. С.43–47.
Гулівата І. О. Роль використання педагогічних програмних засобів наочності при вивченні стереометрії. Вісн. Черкас. ун-ту. С. 20–23.
Довбня П.І. Побудова динамічних стереометричних моделей у середовищі GeoGebra 3D. Комп’ютер у школі та сім’ї. 2017. №7. С.16-27
Кульчицька Н. В. Вивчення стереометрії в старшій школі в умовах використання нової інформаційної технології : дис. ... канд. пед. наук : 13.00.02 / УДПУ ім. М. П. Драгоманова. Київ, 1993. 144 с.
О. Л. Безумова, Р. П. Овчинникова, О. П. Троицкая та ін.
Обучение геометрии с использованием возможностей GeoGebra: учебно-методическое пособие. Архангельск. Кира, 2011. 140 с.