Проектуючи складні технічні системи слід проводити аналіз їх надійності з урахуванням взаємозв’язків елементів системи. Основними складовими надійності роботи технічної системи є безвідмовність та ремонтопридатність [1]. У розрахунках надійності складних систем найчастіше використовуються кількісні характеристики: імовірність та середній час безвідмовної роботи, коефіцієнт готовності тощо. При цьому послуговуються методами теорії імовірності і математичної статистики, теорії графів, матриць, множин, алгеброю логіки та подій [2, 3]. Надійність системи залежить від її структури та складу, від способів поєднання елементів в системі, їх кількісних характеристик. З огляду на наукове осмислення проблематики надійності складних технічних систем [1, 3—5], структурні схеми надійності реальних технічних об’єктів набувають екстенсивного змісту. Спрощення структурних схем надійності складних систем проводиться методами декомпозиції та мінімальних шляхів і перерізів [4, 5]. Подальший аналіз схем здійснюється методом послідовно-паралельного перетворення з’єднань елементів. Визначені вище підходи зводяться до виявлення станів працездатності та відмови схеми. Проте складна архітектоніка реальних схем обумовлює дихотомічний їх поділ (метод декомпозиції) або дендритичного розгортання структур (метод мінімальних шляхів та мінімальних перерізів), що в обох випадках значно ускладнює розрахунок. Звісна річ, такі підходи не є оптимальними для складних кільцевих чи радіальних мереж, оскільки утворюють надто складні структури. В [5] запропоновано якісно новий підхід до вирішення даної проблеми, який дозволяє спростити архітектоніку схем надійності, скориставшись методом еквівалентних перетворень. Щоправда дані перетворення можуть бути зроблені лише відносно двох визначених чи узагальнених вузлів – джерела живлення та навантаження.
Продовжуючи дослідження в цьому напрямку, об’єктивно спрямоване на матричний аналіз в теорії надійності, слід зазначити, що матричні моделі конститують відповідні парадигми – визначені параметри надійності складних систем, на рівні узагальненого екстенсіоналу. В статті пропонується підхід, що акцептує узагальнені перетворення надійнісних структур шляхом аналізу графа системи та з використанням методів матричного аналізу.
Моделювання схемної надійності Нехай резервована система задана блок-схемою, яка показана на рис. 1
Основним показником надійності тут вибрано імовірність безвідмовної роботи елементів схеми pn, n = 1,...,6. Відмови кожного блока схеми є незалежними подіями, вони виключають можливість проходження сигналу між відповідними вузлами схеми. В схемі прийнято позначення вузлів: Д – об’єднаний вузол джерел живлення; Н1, Н2, Н3 – вузли навантажень схеми. Матриця безпосередніх зв’язків елементів системи має вигляд трикутника (симетрична відносно головної діагоналі): Умова безвідмовної роботи системи може бути подана у вигляді логічної функції [3], яка визначається шляхом аналізу графа системи або матричним способом
Cпрощення схеми здійснюється:
Аналогічно визначаються зв’язки відносно вузлів Д і Н1 та Д і Н2. Отже, цим способом почергово можуть бути визначені імовірності проходження сигналів в схемі від джерела живлення до навантажень системи.
Логічний аналіз безвідмовності роботи системи
Подальший аналіз спрямований на зведення отриманої логічної функції до канонічного многочлена за правилами алгебри логіки. Як випливає із подальшого викладення, надійна робота елементів системи простежується у виділених зонах pn, n = 1 ,..., 6, визначених за методом графічного відображення булевої функції. Відсутність відмови елементів визначає працездатність схеми, така подія набуває значення одиниці («1»). Відмова елементів схеми розглядається як подія, що порушує працездатність елементів або системи в цілому. Даній події приписується значення нуля («0»). Проведемо аналіз та мінімізацію логічної функції безвідмовної роботи схеми відносно джерела живлення і навантаження Н3 за діаграмою Вейча, яка являє собою спеціально організовану таблицю відповідностей [3]:
Логічний аналіз безвідмовності роботи системи Подальший аналіз спрямований на зведення отриманої логічної функції до канонічного многочлена за правилами алгебри логіки. Як випливає із подальшого викладення, надійна робота елементів системи простежується у виділених зонах pn, n = 1 ,..., 6, визначених за методом графічного відображення булевої функції. Відсутність відмови елементів визначає працездатність схеми, така подія набуває значення одиниці («1»). Відмова елементів схеми розглядається як подія, що порушує працездатність елементів або системи в цілому. Даній події приписується значення нуля («0»). Проведемо аналіз та мінімізацію логічної функції безвідмовної роботи схеми відносно джерела живлення і навантаження Н3 за діаграмою Вейча, яка являє собою спеціально організовану таблицю відповідностей [3]:
Аналогічно проводиться мінімізація логічних виразів, які репрезентують імовірність безвідмовності живлення решти вузлів навантажень.
Матричний аналіз імовірнісних величин
Проведення матричного аналізу імовірнісних величин детермінує побудову узагальненої моделі схемної надійності. Розіб'ємо матрицю взаємозв'язків на блоки, які є логічно обумовленими
Спрощення складних структурних схем за методом перетворення «трикутник–зірка»
За альтернативним методом [5] можна провести спрощення структурної схеми надійності, поданої на рисунку, використовуючи еквівалентні перетворення трикутника з центром у вузлі Д у зірки.
У разі зворотного перетворення «зірки» у «трикутника» внаслідок вилучення вузла Д схеми (див. рис. 1) можна отримати співвідношення імовірнісних параметрів вузлів [5]. Метод матричного аналізу акумулює латентні перетворення схеми внаслідок поетапного спрощення за рахунок вилучення рядків та колонок матриці, що відповідають вилученим вузлам схеми. Для визначення імовірності безвідмовної роботи стосовно кожного з вузлів навантажень проводиться подальше згортання схеми за методом паралельного перетворення згідно з правилом множення ймовірностей відмов незалежних подій, оскільки дана система втрачає працездатність лише при відмові усіх її резервованих елементів, а відмови елементів розглядаються як незалежні події. Отже, за методом еквівалентних перетворень [5] можна провести розрахунок параметрів надійності складних структурних схем. Дана заміна рівнозначних з точки зору надійності з'єднань може бути подана як імпліцитні матричні перетворення.
Висновок
В статті запропоновано матричний підхід до розв'язання задач надійності складних структурних схем. Шляхом графо-математичного аналізу матриці взаємозв'язків схеми встановлено логічний вираз безвідмовності живлення вузлів навантажень системи розподіленого резервування. Принциповою перевагою розробленої моделі є можливість уніфікації показників надійності відносно кожного з вузлів навантажень системи. Матриця взаємозв’язків схеми відображається у формі диз’юнкції елементів матриці навантажень і доповняльної матриці та кон’юнкції елементів матриці зв'язків еквівалентного джерела живлення та навантаження.
Перспективи подальшого розвитку даної проблеми
Матричний аналіз надійності електроенергетичних схем дозволяє розглянути узагальнену характеристику еквівалентного джерела живлення як базового елемента повної матриці взаємозв’язків. Послуговуючись даним артефактом, математична модель надійності структурної схеми може бути подана у вигляді принципу вкладених матриць, що розкриває взаємозв’язки між окремими блоками повної матриці надійності схеми.
МЕТОД МІНІМАЛЬНИХ ШЛЯХІВ І МІНІМАЛЬНИХ ПЕРЕТИНІВ
Метод мінімальних шляхів і мінімальних перетинів (метод Езар - Прошана) дозволяє отримати наближену верхню і нижню оцінку надійності систем складної структури [1, 4].
Шляхом називається будь-яка сукупність елементів, при працездатності якої система працездатна.
Перетином (розрізом) називається будь-яка сукупність елементів, відмова яких викликає непрацездатність системи.
Мінімальний шлях - сукупність елементів, працездатність якої забезпечує працездатність системи, а відмова будь-якого з них призводить до непрацездатності системи. Інакше кажучи, мінімальний шлях - це безліч елементів системи, працездатність яких необхідна і достатня для працездатності системи.
Для мінімального шляху.
• якщо всі елементи, що належать мінімального шляху, працездатні, то система працездатна;
• мінімальним перетином називається безліч елементів системи, відмова яких необхідний і достатній для відмови системи;
• якщо всі елементи, що належать мінімального перетину, відмовили, то і вся система відмовляє.
Для мостиковой схеми визначимо всі мінімальні шляху як
а мінімальні перерізи - як
Нехай для досліджуваної системи знайдені всі мінімальні шляху. При цьому деякі елементи системи можуть належати кільком мінімальним шляхах.
Імовірність роботи мінімального шляху дорівнює добутку ймовірностей роботи всіх вхідних в нього елементів.
Якщо хоч один з мінімальних шляхів системи працездатний, то система працездатна. Отже, якщо ми все мінімальні шляхи з'єднаємо паралельно, то отримаємо систему з надійністю не меншою, ніж надійність вихідної системи.
Таким чином, уявлення системи у вигляді паралельного з'єднання мінімальних шляхів дає верхню (завищену, оптимістичну) оцінку надійності системи.
Для отримання оцінки надійності зверху на основі мінімальних шляхів.
1) знаходимо все мінімальні шляхи системи;
2) елементи кожного мінімального шляху з'єднуємо послідовно;
3) всі отримані на попередньому кроці ланцюжка з послідовним з'єднанням елементів з'єднуємо паралельно.
Для мостиковой схеми паралельне з'єднання міні-шляхів дає систему на рис. 5.9.
Мал. 5.9. Паралельне з'єднання мінімальних шляхів для мостиковой схеми
Оптимістичність оцінки за методом мінімальних шляхів очевидна з того, що відмова елемента, що входить в кілька мінімальних шляхів, наприклад першого, призводить до втрати одного шляху (1, 2), а в реальній системі його відмова викликає відмова також мінімального шляху (1,5, 4).
Нехай для досліджуваної системи знайдені всі мінімальні перерізи. Кожному мінімального перетину можна порівняти систему з паралельно з'єднаних елементів цього мінімального перетину [1, 4].
Система відмовляє, якщо відмовляють всі елементи хоча б одного мінімального перетину, тобто для всіх її мінімальних перетинів хоча б один елемент буде працездатний.
Уявімо систему у вигляді послідовного з'єднання мінімальних перетинів.
Таким чином, для оцінки по методу мінімальних перетинів.
1) знаходимо все мінімальні перерізи системи;
2) елементи кожного мінімального перетину з'єднуються паралельно;
3) всі мінімальні перерізи з'єднуються послідовно.
Надійність отриманої системи з послідовно-паралельним з'єднанням не перевищує надійності вихідної системи, так як ненадійність елементів, що входять в кілька мінімальних перетинів, враховується в кілька разів.
Для мостиковой схеми послідовне з'єднання мінімальних перетинів призводить до системи на рис. 5.10 [1, 4].
Рис . 5. 10. Послідовне з'єднання мінімальних перетинів для мостиковой схеми
Таким чином, отримана верхня і нижня оцінка систем [1, 4]:
Використовуючи відомі формули для відповідних паралельно-послідовних з'єднань елементів, отримаємо
де {А р А 9 , А м ), {В ,, В 2 , ..., B N } - безлічі мінімальних шляхів і мінімальних перетинів.
Отже, для мостиковой схеми отримуємо оцінку надійності знизу і зверху як
при рівній надійності елементів отримуємо
Результати розрахунку надійності мостиковой схеми по методу мінімальних шляхів (крива 1 ) і перетинів (крива 2) при X = 10 -4 год -1 представлені на рис. 5.11, а , а при X = 10 6 ч -1 - на рис. 5.11, б. На рис. 5.11, а крива 3 відповідає точній оцінці на основі повного перебору.
Результати оцінки похибки розрахунку надійності мостиковой схеми по методу мінімальних перетинів і шляхів представлені на рис. 5.12. На рис. 5.12, а при X = 10 -4 год -1 крива 1 відображає різницю оцінки надійності за методом мінімальних шляхів і мінімальних перетинів, крива 2 - різницю оцінки за методом мінімальних шляхів з точною оцінкою, а крива 3 - різницю розрахунку за мінімальними перетинах з точною оцінкою. На рис. 5.12, б
і
Мал. 5.11. Надійність мостиковой схеми по методу мінімальних шляхів і перетинів
Мал. 5. 12. Похибка оцінки надійність мостиковой схеми по методу мінімальних шляхів і перетинів
при X = 10 " 6 ч -1 крива 1 відображає різницю оцінки надійності за методом мінімальних шляхів і точної оцінки, а крива 2 - різницю розрахунку за мінімальними перетинах з точною оцінкою.
З представлених залежностей видно досить висока точність методів мінімальних шляхів і перетинів, особливо в найбільш цікавому для практики діапазоні параметрів високої надійності елементів. Метод мінімальних перерізів цікавий для інженерних розрахунків, так як він дає нижню (обережну) оцінку надійності, при цьому метод мінімальних шляхів може використовуватися для оцінки похибки розрахунку надійності, так як він дає оптимістичний (завищений) результат.